高级宏观经济学-第五讲 无限期期动态模型

《中级宏观经济学》2023/12/23第五讲无限期动态模型2

第五讲

无限期动态模型

2023/12/23第五讲无限期动态模型3

第一节基本决策环境

2023/12/23第五讲无限期动态模型4

基本环境

2023/12/23第五讲无限期动态模型5偏好

2023/12/23第五讲无限期动态模型6技术

2023/12/23第五讲无限期动态模型7禀赋

2023/12/23第五讲无限期动态模型8资源约束

2023/12/23第五讲无限期动态模型9在介绍了基本决策环境以后，按照我们以前的分析思路，接下去我们应该分析行为人的最优化行为，然后进行均衡分析，最终得到每期均衡的数量解和价格解或者分析计划最优的情形，求出每期的均衡数量解。但是，现在，我们面临的是一个无限期模型，用处理两期模型的方法来求解均衡解几近不可能，所以，在这里，我们首先插入一部分，介绍一下动态规划的基本知识，然后，直接利用动态规划的知识去处理无限期的问题。2023/12/23第五讲无限期动态模型10第二节动态规划简介

2023/12/23第五讲无限期动态模型11因为我们在前面已经证明了竞争均衡解也是帕雷托最优解。因此，我们可以通过求解社会计划者问题来获得竞争均衡的有关数量解，这样，上面这个无限期模型中的社会计划者最优化问题可以正规地描述如下：2023/12/23第五讲无限期动态模型122023/12/23第五讲无限期动态模型132023/12/23第五讲无限期动态模型142023/12/23第五讲无限期动态模型152023/12/23第五讲无限期动态模型162023/12/23第五讲无限期动态模型172023/12/23第五讲无限期动态模型18为了实现这一目标，现在，让我们首先来仔细观察社会计划者面临的这个最优化问题，实际上，这个最优化问题具有一个非常特殊的结构——递归结构（recursivestructure）。这一点非常重要，它是我们能运用动态规划方法来求解这个最优化问题的关键所在。2023/12/23第五讲无限期动态模型19贝尔曼方程（Bellman’sequation）

2023/12/23第五讲无限期动态模型202023/12/23第五讲无限期动态模型212023/12/23第五讲无限期动态模型222023/12/23第五讲无限期动态模型232023/12/23第五讲无限期动态模型242023/12/23第五讲无限期动态模型252023/12/23第五讲无限期动态模型262023/12/23第五讲无限期动态模型272023/12/23第五讲无限期动态模型282023/12/23第五讲无限期动态模型292023/12/23第五讲无限期动态模型302023/12/23第五讲无限期动态模型312023/12/23第五讲无限期动态模型32应用猜测法求解贝尔曼方程

2023/12/23第五讲无限期动态模型332023/12/23第五讲无限期动态模型342023/12/23第五讲无限期动态模型352023/12/23第五讲无限期动态模型362023/12/23第五讲无限期动态模型372023/12/23第五讲无限期动态模型382023/12/23第五讲无限期动态模型392023/12/23第五讲无限期动态模型402023/12/23第五讲无限期动态模型412023/12/23第五讲无限期动态模型422023/12/23第五讲无限期动态模型432023/12/23第五讲无限期动态模型44一个例子：无限期吃蛋糕问题

2023/12/23第五讲无限期动态模型452023/12/23第五讲无限期动态模型462023/12/23第五讲无限期动态模型472023/12/23第五讲无限期动态模型482023/12/23第五讲无限期动态模型492023/12/23第五讲无限期动态模型502023/12/23第五讲无限期动态模型51第三节计划经济下的最优

2023/12/23第五讲无限期动态模型522023/12/23第五讲无限期动态模型532023/12/23第五讲无限期动态模型54借助贝尔曼方程方法求解稳定均衡解

如果在动态最优化问题中的值函数是可微的、凹的，也就是说，假如（5.47）式中的值函数是可微的、凹的，我们能用一阶条件来表述社会计划者的最优化问题。

欧拉方程的推导

2023/12/23第五讲无限期动态模型552023/12/23第五讲无限期动态模型562023/12/23第五讲无限期动态模型572023/12/23第五讲无限期动态模型58方程（5.54）式实际就是我们熟悉的欧拉方程。该式的第一部分表示的是消费者在时期t少消费一单位商品而引起的效用损失；第二部分表示的是消费者因为在时期t减少了一单位消费，这一单位消费品在时期（t+1）成为了资本品，因而可以导致时期（t+1）的消费增加，从而效用增加，当然，为了具有可比性，我们必须把时期（t+1）增加的效用贴现到时期t去。在最优时，显然净效用的变化应该为零。2023/12/23第五讲无限期动态模型59模型的动态学

2023/12/23第五讲无限期动态模型602023/12/23第五讲无限期动态模型612023/12/23第五讲无限期动态模型622023/12/23第五讲无限期动态模型632023/12/23第五讲无限期动态模型642023/12/23第五讲无限期动态模型652023/12/23第五讲无限期动态模型662023/12/23第五讲无限期动态模型672023/12/23第五讲无限期动态模型682023/12/23第五讲无限期动态模型692023/12/23第五讲无限期动态模型702023/12/23第五讲无限期动态模型712023/12/23第五讲无限期动态模型722023/12/23第五讲无限期动态模型732023/12/23第五讲无限期动态模型74稳定均衡解

2023/12/23第五讲无限期动态模型752023/12/23第五讲无限期动态模型76资本的运动方程我们很容易就能获得，因为它是由预算约束条件给出的。而消费的运动方程的获取就不那么容易了，因为它就是欧拉方程。在上面的分析中，我们是借助动态规划的知识来正规地推导欧拉方程的。但就推导欧拉方程而言，除了借助动态规划方法来得到外，我们仍旧是可以借助我们熟悉的拉格朗日方法来得到的！下面就让我们看看如何借助拉格朗日方法来推导无限期模型中的欧拉方程。2023/12/23第五讲无限期动态模型77借助拉格朗日方法求解稳定均衡解

2023/12/23第五讲无限期动态模型782023/12/23第五讲无限期动态模型792023/12/23第五讲无限期动态模型802023/12/23第五讲无限期动态模型812023/12/23第五讲无限期动态模型82方程（5.54）就是我们熟悉的欧拉方程，其表达式与我们借助贝尔曼方程推导出来的欧拉方程是完全一样的。这说明非常重要的一点：重要的是要理解经济分析的思路，一旦明白了经济分析的脉络，你会发现许多数学只是一种工具，一种能使我们的分析更具效率、更简洁的工具，而不致于迷失在数学的海洋中！2023/12/23第五讲无限期动态模型83第四节分散经济下的最优

2023/12/23第五讲无限期动态模型84虽然我们借助计划者最优问题可以求得最优的均衡资本数量，但是，为了决定竞争均衡的价格，我们还是需要通过分别分析消费者和企业的最优化问题，从而得到一些求解的有用信息。2023/12/23第五讲无限期动态模型854.1消费者的问题

消费者储存资本并进行投资（也即，他们的财富是以资本的形式表示的），在每一时期里，消费者都会把资本租给企业并向企业出售自己的劳动。因为劳动并不会给消费者带来任何负效用，因此，不论工资率为多少，劳动供给始终是1单位。消费者实际上就相当于在求解如下一个跨期最优化问题：2023/12/23第五讲无限期动态模型862023/12/23第五讲无限期动态模型872023/12/23第五讲无限期动态模型882023/12/23第五讲无限期动态模型892023/12/23第五讲无限期动态模型902023/12/23第五讲无限期动态模型912023/12/23第五讲无限期动态模型924.2企业的问题

2023/12/23第五讲无限期动态模型934.3竞争均衡价格

2023/12/23第五讲无限期动态模型942023/12/23第五讲无限期动态模型95

数学附录：

包洛定理（Theenvelopetheorem）2023/12/23第五讲无限期动态模型962023/12/23第五讲无限期动态模型97该定理意味着在计算值函数的导数时，我们只需要考虑参数a对原函数的直接影响就够了，而不用考虑它对原函数的间接影响，因为在最优时间接影响为零。2023/12/23第五讲无限期动态模型98进一步阅读的文献Benveniste,L.andScheinkman,J.1979.“OntheDifferentiabilityoftheValueFunctioninDynamicModelsofEconomics.”Econometrica47,727-732.Cass,D.1965.“OptimumGrowthinanAggregativeModelofCapitalAccumulation.”