平面力系 理论力学

第二章平面力系§2-1平面汇交力系1.平面汇交力系合成的几何法、力多边形规则平面汇交力系平面力偶系两种简单力学，复杂力学的组成元素。AF1F2F3F4F2F3F4FRF1AFR结论：平面汇交力系可简化为一合力，其大小和方向等于各分力的矢量和（几何和），合力作用线通过汇交点。F2F3F4FRF1A特例：共线力系——各力作用线沿同一直线。代数和矢量的加法与减法矢量A与矢量B相加遵从平行四边行法则，记作：A+B=CBABCAACBαβ多个矢量相加遵从多边形法则。A+B+C=FBFAC矢量加法满足交换律：A+B=B+A矢量加法满足结合律：(A+B)+C=A+(B+C)矢量减法记作：A-B=CCAB平面汇交力系平衡的几何条件力多边形自行封闭3.力的投影与力的解析表达式

x

y

x

y

o投影分量

x

y

x

y

o力的解析表达式大小方向4.平面汇交力系的解析法5.平面汇交力系的平衡条件——平衡方程§2-2平面力对点之矩·平面力偶1.力对点之矩（力矩）O—矩心h—力臂空间平面大小：方向：垂直于OAF平面FrhoA矢量的叉乘(也称叉积、矢积、向量积)矢量A与矢量B叉乘仍为矢量，记作：A×B=CC的大小等于以A和B为邻边所决定的平行四边行面积，其方向垂直于A和B所决定的平面，而且A、B和C组成右手螺旋系统(由A转向B的角度应小于π)ABCφ叉乘具有如下性质：1.A×A=02.两非零矢量A和B平行的充要条件是A×B=03.A×B=-B×A4.

(λ

A)×B=λ(A×B)=A×(λB)，λ为实数5.C×(A+B)

=C×A+C×B设矢量A和B在同一直角坐标系中，叉乘可表示为：注意到得可用行列式表述为2.合力矩定理——平面汇交力系的合力对平面内任一点之矩等于所有各分力对该点之矩的代数和。证明：由于两边同叉乘r得如果是平面力系则为代数和3.力偶与力偶理论力偶——由两个大小相等，方向相反，且不共线的平行力组成。d—力偶臂组成的平面—力偶作用面BAF`FdBAF`Fd定义：平面力偶力偶对物体的作用效应，由两个因素决定：（1）力偶矩的大小（2）力偶在作用面内的转向4.力偶的性质(1)力偶不能简化为一个力，即不能与一个力等效。证明：设ABC对C点取矩当则ABC对C点取矩(2)力偶中两个对任意点之矩之和等于力偶矩，即力偶矩与矩心无关。BA证明：任选一点O(3)只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意移转，且可同时改变力偶中力的大小与力臂的长短，对刚体的作用效果不变。5.平面力偶系的合成与平衡条件(1)平面力偶系的合成结论：在同平面内的任意个力偶可合成为一个合力偶，合力偶矩等于各个力偶矩的代数和。(2)平面力偶系的平衡条件——平衡条件平面力偶系的合成平面力偶系平衡的充分必要条件：力偶系所有各力偶的代数和等于零。§2-3平面任意力系的简化1.力的平移定理设F作用在刚体的A点，现将F平移到指定点B。BArFBF"F'F"=F'=FArFM=Mo(F)F'MBF'=FA平面任意力系向作用面内一点简化主矢和主矩设平面一般力系F1，F2，，Fn

分别作用于刚体。F1FnF2P1P2PnOOMOF’1F’nF’2OM1MnM2O—简化中心——主矢——主矩简化结果：一个力——原力系的主矢，作用在简化中心。一个力偶——原力系对简化中心的主矩。

固定端约束FyFxM注意：（1）力系无论向哪一点简化，主矢都不变，即主矢与简化中心无关。（2）主矩与简化中心有关。3.

平面内一力和一力偶的合成OM结果：合成为一合力。OdA（1）主矢和主矩都等于零

平衡力系

（2）主矢等于零，主矩不等于零

一合力偶（3）主矢不等于零，主矩等于零

一合力

（4）主矢和主矩都不等于零

一合力

4.平面任意力系的简化结果分析合力矩定理（伐里农定理）——平面一般力系的合力对作用面内任一点的矩，等于力系各力对同一点的矩的代数和。设两边同乘

r则向z轴投影§2-4平面任意力系的平衡条件和平衡方程zOMOF——平衡条件——平衡方程矢量的点乘(也称点积、标积)矢量A与矢量B点乘为数量，记作：矢量在坐标轴上的投影可表示为该矢量与沿坐标轴正方向的单位矢量的点乘。即，当有：矢量点乘运算的性质：1.

2.当且仅当两矢量之一为零矢量或两矢量垂直时，有：5.

结合律，

λ为实数4.

分配律，3.

交换律，6.

令：有：

条件：AB的连线不垂直于x轴。ABx求证：当，且AB的连线垂直于x轴时，有。证：由由AB的连线垂直于x轴，得在平面上，由上两式可判断两矢量平行，即此外，由最后得：

条件：A、B、C不共线。ABC求证：当，且A、B、C三点共线时，有。证：由ABC三点共线，得，其中是实数。由上式两边同叉乘再求和，得：代入已知条件后，得：超静定问题——未知约束反力的数目超过了独立平衡方程的数目。静定问题——未知约束反力的数目不多于独立平衡方程的数目。平面平行力系的平衡方程§2-5物体系的平衡·静定和超静定问题

已知:P、m、q。求：支座A、B的约束反力例2-1解

①简化分布力由合力矩定理求合力的作用线

已知：P＝10kN，q＝10kN/m，M＝20kN

m求：A之约束反力例2-2解：

一般先从整体分析，不能解决再考虑分离体，整体有4个未知量。

先考虑BC，求出Nc。分布载荷应先截断后简化。其中：

以整体为研究对象已知：q1＝4kN/m

P＝2kN

q2＝2kN/m

m＝2kN

m

求：（1）固定端A与支座B处的约束反力（2）销钉C所受的力例2-3解：

（1）画整体的受力图，由图示可知，有4个未知的约束反力。因此，需考虑分离体的平衡。

考虑CB梁

考虑整体

（2）求销钉C所受力

再考虑销钉（汇交力系）

由BC梁求

已知：P

AD＝DB＝a，

AC＝dR求：A、C处的约束反力例2-4解：

取整体

考虑CB

取整体

已知：构件自重不计，E处为光滑接触，F，a已知，求A，B处的约束反力。例2-5解：取整体得得由得由取杆EC得由取杆AED取整体得由

已知：AC＝CD＝DH＝DE＝1m，r＝0.3m，BD＝1.2m，Q＝2kN。各杆件和滑轮的自重不计。求：C、D、H杆在D

处所受的力。例2-6

取AC、CDH及滑轮。§2-6平面简单桁架的内力计算南京机场沈阳机场拉压杆桁架——由一些直杆彼此在两端用铰链连接而成的几何形状不变的结构。平面桁架——杆件在同一平面内。节点——杆件与杆件相连接的铰链。假设（理想桁架）：（1）各杆两端用光滑铰链连接。（2）所有载荷在桁架平面内，作用于节点上。（3）各杆自重不计。如考虑自重，将其等效加于两端节点上。平面简单桁架——以三角形桁架为基础，每增加一个节点需增加两根杆件。

计算桁架杆件内力的两种方法：1.节点法（1）以节点为研究对象（2）应用汇交力系的平衡方程（3）一般假设杆的内力为拉力

平面简单桁架(静定)：杆件数=2*结点数-3。（<号则不构成桁架，>号则称为平面复杂桁架(超静定)）。2.截面法

（1）以桁架中被截出的某一部分为研究对象（2）应用平面一般力系的平衡方程解：（1）画受力图（2）求支座反力已知:P=10KN。求：各杆内力。P30°123452m2mABP23452m2mABCP2452m2mABD例2-6（3）取节点为研究对象S1S2ACS3S4S’1已知:各杆长为1m,F1=10KN,F1=7KN

。求：1、2、3杆的内力。例2-660°F1123ABCDEFGF2FAXFAYFBYP30°123452m2mABP2