专题22.2二次函数的图象与性质（1）（限时满分培优训练）-【拔尖特训】2023-2024学年九年级数学上册尖子生培优必刷题（解析版）【人教版】

【拔尖特训】2023-2024学年九年级数学上册尖子生培优必刷题（人教版）专题22.2二次函数的图象与性质（1）（限时满分培优训练）班级：___________________姓名：_________________得分：_______________注意事项：本试卷满分100分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2023春·江苏盐城·八年级校考期中）下列函数的图象与y=5x2的图象形状相同的是（A．y=2x2 B．y=-5x2+2 C．【答案】B【分析】找到与y=5x【详解】解：∵形状相同的两个二次函数的二次项系数的绝对值相等，∴y=5x2与故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是了解二次项系数的绝对值相等的二次函数形状相同，难度较小．2．（2023·浙江·九年级假期作业）若二次函数y=ax2的图像经过点P-3,4A．3,4 B．（-3,-4 C．-4,3 D．4,-3【答案】A【分析】先确定出二次函数图像的对称轴为y轴，再根据二次函数的对称性解答．【详解】解：∵二次函数y=ax2的对称轴为∴若图像经过点P-3,4，则该图像必经过点3,4故选：A．【点睛】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，主要利用了二次函数图像的对称性，确定出函数图像的对称轴为y轴是解题的关键．3．（2023·浙江·九年级假期作业）对于二次函数y=-x2，下列说法正确的是（A．函数有最小值 B．函数图象开口向下C．函数图象顶点坐标是1,-1 D．y随x增大而减小【答案】B【分析】根据二次函数的性质进行逐项判断即可．【详解】解：二次函数y=-x2，开口向下，有最大值，对称轴为y轴，顶点为当x<0时，y随x的增大而增大，当x>0时，y随故A，C，D不符合题意；B符合题意；故选B．【点睛】本题考查的是二次函数y=ax2的性质，熟记二次函数4．（2023秋·河南驻马店·九年级校考期末）已知抛物线y=ax2a>0过A-2，A．y1>0>y2 B．y1>【答案】B【分析】根据二次函数图象与系数的关系，可知a>0时，抛物线开口向上，对称轴为y轴，再根据点A、B的横坐标离对称轴的距离即可求解．．【详解】解：∵y=ax∴抛物线的开口向上，对称轴为y轴，A-2，y1在对称轴的左侧，B1∴y故选：B．【点睛】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，解题的关键是要熟练其相关的性质并能运用数形结合的思想解题．5．（2023·浙江·九年级假期作业）函数 ①y=3x2， ②y=3A． ①> ②> ③ B．【答案】D【分析】根据二次函数的性质进行求解即可．【详解】解：∵3=3>∴图象开口大小的顺序是②>故选：D．【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，熟知对于二次函数y=ax2a≠06．（2023·浙江·九年级假期作业）已知二次函数y=(a-2)x2，当x>0时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是（A．a>0 B．a>2 C．a≠2 D．a<2【答案】D【分析】二次函数y=(a-2)x2+2，显然，a-2≠0，可以按：（1）当a-2<0；（2【详解】解：二次函数y=(a-2)x2+2（1）当a-2<0，此时二次函数开口向下，当x>0时，y随x的增大而减小，符合题意，∴a<2；（2）当a-2>0，此时二次函数开口向上，当x>0时，y随x的增大而增大，不符合题意；综上所述，a的取值范围为：a<2．故选：D．【点睛】本题考查了二次函数系数与函数图像的关系，掌握二次函数的系数与图像的关系是解题的关键．7．（2022秋·山东烟台·九年级统考期中）关于函数y=ax2(a≠0)A．a的值越大，开口越大 B．a的绝对值越大，开口越大C．a的绝对值越大，开口越小 D．a的值越小，开口越小【答案】C【分析】抛物线的开口方向由a的符号确定，开口大小由a确定，据此回答．【详解】解：因为a越大，抛物线的开口越小；a越小，抛物线的开口越大．故选：C．【点睛】本题考查了抛物线的开口，开口大小由a确定：a越大，抛物线的开口越小；a越小，抛物线的开口越大．8．（2022秋·河北唐山·九年级校考阶段练习）若y=1-mxm2-2是二次函数，最大值为0A．m=±2 B．m=±2 C．m=2 D．【答案】C【分析】根据二次函数的定义（形如y=ax2+bx+c，a,b,c为常数，且a≠0的函数叫做二次函数）可得m2-2=2【详解】解：由题意得：m2解得m=2，故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的定义和性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．9．（2023·广东珠海·珠海市紫荆中学校考三模）如图，分别过点Pii，0i=1、2、3、……作x

A．20222023 B．20232024 C．20212023【答案】B【分析】根据Ai的纵坐标与Bi的纵坐标的绝对值之和为【详解】解：∵点Pii，0i=1、2、3、……∴Aii∴Ai∴1A∴1A故选：B．【点睛】本题考查了二次函数与一次函数图象上点的坐标特征，根据题意找出题中规律是解题的关键．10．（2023·四川达州·统考一模）如图，已知点A1,A2,...,A2024在函数y=2x2位于第二象限的图像上，点B1,BA．1012 B．10122 C．20232 D【答案】B【分析】根据正方形对角线平分一组对角可得OB1与y轴的夹角为45°，然后表示出OB1的解析式，再与抛物线解析式联立求出点B1的坐标，然后求出OB1的长，再根据正方形的性质求出OC1，表示出C1B2的解析式，与抛物线联立求出【详解】解：∵OA∴OB1与y轴的夹角为∴OB1的解析式为联立方程组得：y=xy=2解得x1=0y∴B点的坐标是：(12，∴OB同理可得：正方形C1A2…依此类推，正方形C2023A2024故选B．【点睛】本题考查了二次函数的对称性，正方形的性质，表示出正方形的边长所在直线的解析式，与抛物线解析式联立求出正方形的顶点的坐标，从而求出边长是解题的关键．二、填空题11．（2023·浙江·九年级假期作业）抛物线y=12x2，y=-3x【答案】对称轴都是y轴（答案不唯一）【分析】根据二次函数的性质进行求解即可【详解】解：∵形如y=ax2的函数图象的对称轴是y轴，顶点是∴抛物线y=12x2，y=-3x2，故答案为：对称轴都是y轴（答案不唯一）．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．12．（2023·上海·九年级假期作业）如果抛物线y=m-2x2有最高点，那么m【答案】m<2【分析】根据二次函数y=m-2x2【详解】解：∵抛物线y=m-2∴抛物线开口向下，∴m-2<0，∴m<2，故答案为：m<2．【点睛】此题主要考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟知二次函数的最值与开口方向的特点．13．（2023·上海·九年级假期作业）已知抛物线y=ax2在对称轴左侧的部分是下降的，那么a的取值范围是【答案】a>0/0<a【分析】利用二次函数的性质得到抛物线开口向上，则可得a>0．【详解】解：∵抛物线y=ax∴抛物线开口向上，∴a>0，故答案为：a>0．【点睛】本本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下．14．（2022秋·湖南长沙·九年级统考期中）对于二次函数y=ax2a≠0，当x取x1，x2x【答案】0【分析】先判断出二次函数图像对称轴为y轴，再根据二次函数的性质判断出x1，x【详解】解：二次函数y=ax2的对称轴为∵x取x1∴x1，∴x∴当x取x1+x故答案为：0．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，熟记性质并判断出x1，x15．（2022秋·辽宁营口·九年级校考阶段练习）如图，Rt△OAB的顶点A(-3,6)在抛物线y=ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点【答案】(32【分析】根据Rt△OAB的顶点A(-3,6)在抛物线y=ax2上，计算得a=23，即可得抛物线的解析式为y=23x，根据点A(-3,6)，Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD得OB=OD=3，根据CD∥x轴得点D【详解】解：∵Rt△OAB的顶点A(-3,6)在抛物线∴(-3)2a=2∴抛物线的解析式为y=2∵点A(-3,6)，Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到∴OB=OD=3，∵CD∥∴点D和点P的纵坐标均为3，∴令y=3，得23解得，x=±3∵点P在第一象限，∴点P的坐标为：(3故答案为：(3【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，旋转的性质，解题的关键是掌握利用待定系数法求出二次函数解析式．16．（2023春·吉林长春·九年级校考阶段练习）如图，正方形OABC的顶点B在抛物线y=2x2的第一象限的图象上，若点B的纵坐标是横坐标的2倍，则对角线AC的长为【答案】5【分析】可设B点的横坐标为a，则B点的纵坐标为2a，将Ba,2a代入抛物线，即可求出B点坐标，再根据正方形对角线相等的性质，可得AC=OB，根据B点的坐标求出OB【详解】解：如图，连接AC，BO,∵四边形ABCD是正方形，∴AC=OB，设B点的横坐标为a，则B点的纵坐标为2a，将Ba,2a得：2a=2a解得：a1=0（不符合题意，舍去），∴B1,2∴AC=OB=1-0故答案为：5．【点睛】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，正方形的性质，求出点B是解题的关键．三、解答题17．（2023·浙江·九年级假期作业）已知y=k+2xk2+k-4是二次函数，且当x<0（1）求k的值；（2）直接写出顶点坐标和对称轴．【答案】（1）k=-3；（2）顶点坐标是（0，0），对称轴是y轴．【分析】（1）根据二次函数的次数是二，可得方程，根据二次函数的性质，可得k+2<0，可得答案；（2）根据二次函数的解析式，可得顶点坐标，对称轴．【详解】解：（1）由y=k+2xk2+k-4是二次函数，且当x<0k2解得k=-3；（2）由（1）得二次函数的解析式为y=-x2，y=-x2的顶点坐标是（0，0），对称轴是y轴．【点睛】本题考查了二次函数的定义以及二次函数的性质，利用二次函数的定义得出方程是解题关键．18．（2023·浙江·九年级假期作业）已知二次函数y=1(1)根据已知的图像部分画出这个函数图象的另一部分（直接在网格中作图即可）．(2)判断点(-2，(3)求当y=4时对应的函数图象上的点的坐标．【答案】(1)见解析；(2)点(-2，(3)(22,4)和【分析】（1）根据对称性可直接画出图象；（2）代入横坐标或纵坐标都可判断；（3）代入y=4即可求出坐标．【详解】（1）如图所示，（2）当x=-2时，y=1∴点(-2，（3）当y=4时，4=1∴x=±22∴y=4时，对应的函数图象上的点的坐标为：(22,4)和【点睛】本题考查了二次函数的图象，解题关键是运用好数形结合的思想．19．（2023·浙江·九年级假期作业）二次函数y＝x2的图象如图所示，请将此图象向右平移1个单位，再向下平移4个单位．（1）请直接写出经过两次平移后的函数解析式；（2）请求出经过两次平移后的图象与x轴的交点坐标，并指出当x满足什么条件时，函数值小于0？（3）若A（x1，y1），B（x2，y2）是经过两次平移后所得的函数图象上的两点，且x1＜x2＜0，请比较y1、y2的大小关系．（直接写结果）【答案】（1）y＝（x﹣1）2﹣4；（2）（﹣1，0），（3，0），当﹣1＜x＜3时，函数值小于0；（3）y1＞y2【分析】（1）根据函数平移的特点：左加右减、上加下减，可以写出平移后的函数解析式；（2）根据（1）中的函数解析式可以求得经过两次平移后的图象与x轴的交点坐标，并指出当x满足什么条件时，函数值小于0；（3）根据平移后函数的图象可知，当x＜1时，y随x的增大而减小，从而可以写出y1、y2的大小关系．【详解】解：（1）平移后的函数解析式为y＝（x﹣1）2﹣4；（2）平移后的函数图象如图所示，当y＝0时，0＝（x﹣1）2﹣4，得x1＝﹣1，x2＝3，即经过两次平移后的图象与x轴的交点坐标是（﹣1，0），（3，0），当﹣1＜x＜3时，函数值小于0；（3）由图象可得，A（x1，y1），B（x2，y2）是经过两次平移后所得的函数图象上的两点，且x1＜x2＜0，则y1＞y2．【点睛】本题考查的是二次函数的图像与性质，属于基础题型，记住平移的口诀“左加右减、上加下减”.20．（2023·浙江·九年级假期作业）已知函数y=（m+2）(1)满足条件m的值．(2)m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点的坐标，这时x为何值时y随x的增大而增大？(3)m为何值时，抛物线有最大值？最大值是多少？这时x为何值时，y随x的增大而减小．【答案】(1)2或-3(2)当m=2时，抛物线的最低点为（0,0），当x≥0时，y随(3)当m=-3时，二次函数的最大值是0，当x≥0时，y随x的增大而减小【分析】（1）根据二次函数的定义可求得m的值；（2）根据二次函数的性质得当m+2>0时，抛物线有最低点，然后根据二次函数的性质确定顶点坐标和增减性；（3）根据二次函数的性质得到当m=-3时，抛物线开口向下，函数有最大值，然后根据二次函数的性质确定最大值和增减性．【详解】（1）解：根据题意得m+2≠0且m2解得m1=2所以满足条件的m值为2或-3．（2）解：当m+2>0时，抛物线有最低点，所以m=2，此时抛物线解析式为y=4x所以抛物线的最低点为（0,0），当x≥0时，y随（3）解：当m=-3时，抛物线开口向下，函数有最大值；此时抛物线解析式为y=-x所以二次函数的最大值是0，当x≥0时，y随x的增大而减小．【点睛】本题考查了二次函数的定义和二次函数的最值，解决本题的关键是要注意二次函数的二次项系数不为零．21．（2022春·江苏·九年级专题练习）有一座桥，桥孔的形状是一条开口向下的抛物线y=-1(1)画出桥孔抛物草图；(2)利用图象求：当水平线离开抛物线顶点2米时，水面的宽是多少米？(3)利用图象求：当水面宽为6米时，水平线离顶点的距离为多少米？（精确到0.1米）【答案】(1)见解析(2)4米(3)4.5米【分析】（1）由二次函数性质可知抛物线开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为0,0，据此即可画出函数图象；（2）将y=-2代入解析式得到x的值，即可得到答案；（3）由抛物线的对称性可知，x1=-3，x2【详解】（1）解：函数图象如图所示：（2）解：将y=-2代入解析式得：-1解得：x1=-2，故水面的宽度=2--2（3）解：由抛物线的对称性可知：x1=-3，将x=3代入得：y=-1【点睛】本题考查了二次函数额实际应用，熟练掌握二次函数的图象和性质，抛物线的对称性是解题关键．22．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，在正方形ABCD中，已知：点A，点B在抛物线y=2x2上，点C，点D在(1)求点A的坐标；(2)连接BD交抛物线于点P，求点P的坐标．【答案】(1)A(2)P点的坐标为1【分析】（1）根据题意设Aa，2a，则B-a，（2）根据待定系数法求得直线BD的解析式，然后与抛物线解析式联立成方程组，解方程组即可求得P点的坐标．【详解】（1）解：由题意可设Aa，2a∵点A在抛物线y=2x∴2a=2a∴a=1或a=0（舍去），∴A1（2）解：设直线BD的解析式y=kx+b，∵B-1，2∴-k+b=2k+b=0，解得k=-1∴直线BD为y=-x+1，由y=-x+1y=2x2解得x=-1∴P点的坐标为12【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，表示出正方形各个点的坐标是解题的关键．23．（2022秋·山东泰安·九年级校考阶段练习）如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20m，如果水位上升3m水面CD的宽是10m．(1)求此抛物线的函数表达式．(2)在正常水位时，有一艘宽8m、高2.5m的小船，它能通过这座桥吗？(3)现有一艘船以每小时5km的速度向此桥径直驶来，当船距此桥35km时，桥下水位正好在AB处，之后水位每小时上涨0.25m，当水位在CD处时，将禁止船只通行．如果该船按原来的速度行驶，能否安全通过此桥？【答案】(1)y=-(2)能安全通过，理由见详解(3)