4.1 数列的概念与简单的表示 人教A版2019选择性讲义

数列的概念与简单的表示本讲义整体上难度中等偏上，题目有一定的分层，题量略大！1数列的相关概念(1)定义：数列是按照一定次序排列的一列数；(2)数列的项：数列中的每一个数叫做这个数列的项，第一项常称为首项；(3)数列的表示：数列的一般形式可以写成a1,a2数列的分类分类标准名称含义例子按项的个数有穷数列项数有限的数列1,2,3,4,….,n无穷数列项数无限的数列1,2,3,4,…,n,n+1….按项的大小递增数列a2,4,8,…,2n,…递减数列a1,常数列每项都相等的数列1,1,1,…摆动数列每项的大小忽大忽小的数列1,-2,3,-4,5,…3数列与函数的关系数列就是定义在正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3....n})上的函数f(n)，其图象是一系列有限或无限孤立的点PS日后研究数列的性质可以从函数的角度出发，比如单调性，最值等.数列an4通项公式如果数列{an}的第n项与序号Eg数列1,0,1,0，…，其通项公式可以是an=注：(1)an与{an}是不同的概念，{an(2)数列的项与它的项数是不同的概念，数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，它是一个函数值；而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值.5递推公式若已知数列{an}的第一项a1(或前n项)，且任一项an和它的前一项an-1(Ega1(初始条件)，an=3a16an与S若Sn为数列an的前n则an【题型一】数列的相关概念【典题1】下列有关数列的说法正确的是.①数列-1,0,1与数列1,0,-1是同一数列；②数列0,1,2,3,…可以表示为{n} ③数列{1n2-1}的第④每一个数列的通项公式都是唯一确定的．【解析】对于①，数列是有序的，故数列-1,0,1与数列1,0,-1是不同的数列，故选项①错误；对于②，数列0,1,2,3,…可以表示为{n-1}，故选项②错误；对于③，数列{1n2-1}的第k-1对于④，数列的通项公式可以有多个，故选项④错误．故选：③．【点拨】注意集合与数列的在“顺序、异同性、表示方法”上的区别.数列是有序性，集合是无序性的；集合是互异性的，但数列不作要求.【典题2】求数列{2n【解析】an方法一作差法an+1所以an+1<an，故数列{方法二作商法an+1又∵an>0，所以an+1<an方法三函数思想an∵fx=3x+4在(0,+∞)递减，∴故数列{2n+11n+4}是【点拨】求证数列单调性，常用方法有三：作差法，比较an+1-a作商法，比较an+1an与1视通项公式为函数解析式，用函数单调性的方法处理，此时要注意n的取值范围是正整数.巩固练习1(★)下列叙述正确的是()A．数列1,3,5,7与7,5,3,1是同一数列 B．数列0,1,2,3,…的通项公式是anC．－1,1,－1,1,…是常数列 D【答案】D【解析】根据题意，依次分析选项：对于A、数列1,3,5,7与数列7,5,3,1中顺序不同，不是同一数列，故A错误；对于B、数列0,1,2,3,…的通项公式是an=n－对于C、常数列的通项为an=a，则－对于D、1,2,22,故选：D．2(★)下列说法不正确的是()A．数列不一定有通项公式 B．数列的通项公式不一定唯一 C．数列可以用一群孤立的点表示 D．数列的项不能相等【答案】D【解析】根据题意，依次分析选项：对于A，数列不一定有通项公式，如某班级每天消耗的文具数量，A正确；对于B，数列的通项公式可以有多个，不一定唯一，B正确；对于C，数列中n为正整数，可以用一群孤立的点表示，C正确；对于D，数列的项的可以相等，D错误；故选：D．3(★)下列叙述正确的是()A．数列{nn+1}是递增数列 B．数列0,1,2,3,…C．数列0,0,0,1,…是常数列 D．数列1,3,5,7与7,5,3,1是相同的数列【答案】A【解析】依题意，设y=nn+1=1-1n+1，n∈{n}表示单元素集合，这个集合只有一个元素n，显然数列0,1,2,3,…不能用它表示；故B错误；因为数列0,0,0,1,…中的常数不相等，故它不是常数列，C错误；数列根构成该数列的项的顺序有关，所以数列1,3,5,7与7,5,3,1是不同的数列，故D错误．故选：A．4(★)下列数列中，156是其中一项的是()A．{n2+1} B．{n2-1}【答案】C【解析】根据题意，依次分析选项：对于A，若数列为{n2+1}对于B，若数列为{n2-1}对于C，若数列为{n2+n}，则有n2+n=156，解可得n=12或-13对于D，若数列为{n2+n-1}故选：C．5(★★)数列an是递增数列，则anA．an=-1n B．an=n2-3【答案】A【解析】根据题意，依次分析选项：

对于A，an=-1n，有an-an-1=1n-1-1n=1n(n-1)，又由n≥2，则an-an-1>0，数列an是递增数列，符合题意；

对于B，a6(★★)已知数列{an}是递增数列，且对于任意n∈N*【答案】λ>-【解析】∵数列{an}是递增数列，∴对于任意n∈∴n+12+2λ(n+1)+1>∵数列{-2n+12}7(★★★)已知数列{bn}满足bn=2λ(-12【答案】(【解析】数列{b则bn+1当n为偶数时，6λ<2n+1(-1由于{2n+1)2n}为递增数列，则数列{2n+1)∴6λ<20，即λ<10当n为奇数时，6λ<2n+1(-1由于{-(2n+1)2n}为递减数列，则数列{-(2n+1)∴6λ>-6，∴λ>-1，综上所述实数λ的取值范围是(-【题型二】数列与函数的关系【典题1】数列{an}的通项an=-2n【解析】方法一数列的单调性根据题意，an-1则an-当1≤n≤3时，an-当n>3时，anan先递增后递减，而a故数列{an}各项中最大项是第方法二函数法依题意，an表示抛物线f(n)=-2n2又y=-2故到对称轴x=9故当n=2时，a故数列{an}各项中最大项是第【点拨】数列是特殊的函数，可用数形结合的方法，但要注意自变量n是正整数.【典题2】数列{an}的通项an=【解析】an=∵f(x)=x+2x在(0,7∴an=12(n+7n)在而a2此时an=n【点拨】根据数列的通项公式想到与之对应的函数，形如y=一次函数巩固练习1(★)已知数列{an}的通项公式为an=-3nA．第13项 B．第14项 C．第15项 D．第16项【答案】C【解析】根据题意，数列{an}则an-1则an当1≤n≤15时，an-a当n≥16时，an-a故数列{an}故选：C．2(★)已知数列{an}的通项公式为an=n2+kn+2，若对于n∈A．k≥-3 B．k>-3 C．k≥-2 D．k>-2【答案】A【解析】若an+1≥an成立，则函数则对称轴-k2≤故选：A．3(★★)数列12A．既有最大项，又有最小项 B．有最大项，无最小项 C．无最大项，有最小项 D．既无最大项，又无最小项【答案】A【解析】∵210=1024,211=2048，

∴根据指数函数的单调性知，12n-2022在1≤n≤10时为减数列且为负，在n≥11时为减数列且为正，

4(★★)已知数列{an}的通项为an=n+2n-k，对任意n∈NA．k≤6 B．5<k<6 C．k>6 D．6<k<7【答案】D【解析】an=n+2∵对任意n∈N*，都有∴n=6时，an由k是正数以及反比例函数的单调性可知6－k<0且∴正数k的取值范围是6<k<7．故选：D．5(★★)已知数列{an}的前n项和为Sn，an=(3n-19)∙5A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【解析】根据题意，数列{an}当n≤6时，有an<0，当n≥7则当n=6时，Sn故选：B．6(★★★)数列{an}中，an=2n+kn，若对任意n∈N*，都有【答案】[12,24]【解析】数列{an}中，an=2n+故有2n+kn≥6+k3当n=3时，k∈R当n≥4时，k≤6n，当n=2时，k≥12，当n=1时，k≥6．综上，实数k的取值范围为[12,24].7(★★)已知数列{an}的通项公式是an=(2n+1)(910)n【答案】9【解析】令a=(9可得n≤8.5．∴{an}8(★★)设an=n2-2kn+6n∈N*,【答案】(1)略；(2)是k≤2【解析】(1)证明：a=2n解得k<2n+12，∴k<32．

∴k≤1是{an}为递增数列的充分不必要条件；

(2)解：∀n∈N*,【题型三】由数列前几项求数列通项公式【典题1】写出下列数列{an}的一个通项公式：(1)-7,14,-21,28，…；(2)14，38，516，732【解析】分解结构法(1)数列-7,14,-21,28，序号1234……n符号-+-+-1绝对值71421287n项-1故an=-1n7n；((2)数列14，38，516序号1234……n分子13572n-1分母4816322项(2n-1)(分子相邻数之间的差是2，是等差数列；分母相邻数之间是2倍的关系，是等比数列)故a变形法(3)数列2,5,10,17,26,…中若每项减去1，则变成1,4,9,16,25,…，这些数都是完全平方数，易想到数列的通项是n2则原数列只需要在这基础上加回1便可，即an(4)数列2,32,332,3332,33332,….中若每项加上1，则变成3,33,333,3333,33333,….，再每项乘以3，变成9,99,999,9999,99999,…其中9=10-1,99=102-1，999=则其通项bn要求原数列的通项公式，则“逆回去”，除以3再减1可得an巩固练习1(★)数列-15,17,-19A．(-1)n-12n+3B．(-1)n3n+2C【答案】D【解析】由a1=-15，排除A,C，由分母为奇数列，分子为-1n故选：D．2(★)下列可作为数列1,2,1,2,1,2,…的通项公式的是()A．an=1+(-1)n-12B．a【答案】B【解析】根据题意，数列1,2,1,2,1,2,…其奇数项为1，可以看作3+(-1)2，偶数项为2，可以看作3-(-1)其通项公式可以为：an故选：B．3(★)数列1,85,15A．an=n22n+1B．an【答案】D【解析】根据题意，数列1,8有a1=1×33=1，a2=则an故选：D．4(★★)已知数列1,3,5,7,…,A．第22项 B．第23项 C．第24项 D．第28项【答案】B【解析】∵35=45，令45=2n-1，解得n=23．∴35是此数列的第5(★★)写出以下各数列的一个通项公式．(1)1,-12,14,-18,…(4)12,56,【答案】(1)an=-1n+1×12n-1(4)an【题型四】递推公式【典题1】下列给出的图形中，星星的个数构成一个数列，则该数列的一个递推公式可以是()A.an+1=anC．an+1=an【解析】根据题意，可得a1=1，a2=3，a发现规律：an而a故an+1即an=故选：B．【典题2】已知数列{an}满足a【解析】由条件知an+1-∴把以上n-1个式子累加得到an∴∵a故a【点拨】这是累加法，适合形如an+1=巩固练习1(★)在数列{an}中，a1A．2 B．3 C．-1 D．1【答案】C【解析】a1则a2=1-2=-1，a3=1+1=2，故选：C．2(★)在数列{an}中，a1=1，a2=A．12 B．25 C．52【答案】B【解析】∵1令n=3，得1a1+1a3=2a故选：B．3(★)在数列{an}中，an+1=2 A.35B.45【答案】C【解析】a可见数列{an}的最小正周期为4，而2012=4×503，所以a4(★★)已知数列{an}满足an=1(n=1,2)an-1A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【解析】∵数列{an}满足an∴a1=为斐波那契数列，可得an除以4的余数分别为：1,1,2,3,1,0,1,1,2,3,1,0,…其余数的周期为6，而2016=4×504，∴a2016除以4所得到的余数是故选：A．5(★★)在数列{an}中，a1=1，a11=3，且任意连续三项的和为9【答案】5【解析】∵an+an+1∴1+a可得a4=1，同理可得：∴a可得：a2016故答案为：5．6(★★★)在数列{an}中，已知a1=1，a2=5，且a【答案】-1【解析】法一：令n=1，则a3令n=2，则a4令n=3，则a5令n=4，则a6令n=5，则a7令n=6，则a8∴数列{an}∴a法二：an+2=an+3=①+②得an+3∴an+3=-an，∴∴a∴由a1=1,a∴a7(★★)已知a1=1,an【答案】a【解析】∵an=n又有an∵a∴a8(★★★)设数列{an}是首项为1的正项数列，且n+1【答案】a【解析】{an}是首项为1可得n(a即有n(a由{an}可得(n+1)a则na可得an=1n，【题型五】an与Sn【典题1】已知数列an的前n项和为Sn=n2⋅an(n⩾2)A．2(n+1)2 B．2n(n+1) C．1【解析