第04讲 确定圆的条件（知识解读+真题演练+课后巩固）（原卷版）

第04讲确定圆的条件了解点与圆的三种位置关系，能够用数量关系来判断点与圆的位置关系。掌握不在一条直线上的三点确定一个圆,掌握不在同一直线上的三个点作圆的方法。能画出三角形的外接圆,了解三角形的外心。知识点1点与圆的位置关系设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：d<r点P在⊙O内；d=r点P在⊙O上；d>r点P在⊙O外。知识点2过三点的圆过三点的圆不在同一直线上的三个点确定一个圆。三角形的外接圆经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。3、三角形的外心三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。【题型1根据线段长度判断点与圆的位置关系】【典例1】（2023•增城区一模）已知⊙O的半径为5，当线段OA＝6时，则点A与⊙O的位置关系是（）A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．不能确定【变式1-1】（2023•拱墅区模拟）已知⊙O的半径为4，若PO＝3，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．无法判断【变式1-2】（2023•越秀区校级一模）已知⊙O的半径是8，点P到圆心O的距离d为方程x2﹣4x﹣5＝0的一个根，则点P在（）A．⊙O的内部 B．⊙O的外部 C．⊙O上或⊙O的内部 D．⊙O上或⊙O的外部【变式1-3】（2023•徐汇区模拟）矩形ABCD中，AB＝8，BC＝3，点P在边AB上，且BP＝3AP，如果圆P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（）A．点B，C均在圆P外 B．点B在圆P外，点C在圆P内 C．点B在圆P内，点C在圆P外 D．点B，C均在圆P内【题型2根据点坐标判断点与圆的位置关系】【典例2】（2023•南海区校级模拟）已知在平面直角坐标系中，P点坐标为（3，4），若以原点O为圆心，半径为5画圆，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．不能确定【变式2-1】⊙O的半径为5，圆心O的坐标为（0，0），点P的坐标为（4，3），则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．点P在⊙O上或⊙O外【变式2-2】（2021秋•青冈县期末）一个点到圆的最大距离为11cm，最小距离为5cm，则圆的半径为（）A．6cm或16cm B．3cm或8cm C．3cm D．8cm【变式2-3】（2022秋•荔湾区校级期末）已知⊙O半径为4，圆心O在坐标原点上，点P的坐标为（3，4），则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．不能确定【题型3根据点与圆的距离求半径】【典例3】（2023•东洲区模拟）在同一平面内，点P到圆上的最大距离为5，最小距离为1，则此圆的半径为（）A．3 B．4或6 C．2或3 D．6【变式3-1】（2022秋•宛城区校级期末）已知点P为平面内一点，若点P到⊙O上的点的最长距离为5，最短距离为1，则⊙O的半径为．【变式3-2】（2022•鄞州区校级开学）已知圆外点到圆上各点的距离中，最大值是6，最小值是1，则这个圆的半径是．【题型4确定圆的条件】【典例4】（2023•江西）如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【变式4-1】（2022秋•裕华区校级期末）下列条件中，不能确定一个圆的是（）A．圆心与半径 B．直径 C．平面上的三个已知点 D．三角形的三个顶点【变式4-2】（2022秋•沙坪坝区校级月考）下列条件中能够确定一个圆的是（）A．已知圆心 B．已知半径 C．已知三个点 D．过一个三角形的三个顶点【变式4-3】（2022•湖里区校级二模）平面直角坐标系内的三个点A（1，﹣3）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3），确定一个圆，（填“能”或“不能”）．【题型5根据三角形的外接圆的性质求角度】【典例5】（2022秋•信都区校级期末）如图，点O是△ABC的外接圆的圆心，若∠A＝80°，则∠BOC为（）A．100° B．160° C．150° D．130°【变式5-1】（2023春•朝阳区校级月考）如图，已知⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝56°，则∠BCD的度数是（）A．24° B．28° C．34° D．56°【变式5-2】（2023•方城县模拟）如图，△ABC和△ABD内接于⊙O，∠ABC＝80°，∠D＝50°，则∠BAC的度数为（）A．40° B．45° C．50° D．60°【变式5-3】（2023春•株洲期中）如图，⊙O是△ABC的外接圆，半径为5cm，若BC＝5cm，则∠A的度数为（）A．30° B．25° C．15° D．10°【题型6根据三角形的外接圆的性质求线段长度】【典例6】（2023•雁塔区校级模拟）如图，⊙O的半径为2，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB，OC，若∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长为（）A．2 B． C． D．【变式6-1】（2023•灞桥区模拟）如图，AB是⊙O的直径，AB＝8，△BCD内接于⊙O，若∠BCD＝60°，则圆心O到弦BD的距离是（）A．5 B．3 C．2 D．1【变式6-2】（2023•雁塔区模拟）如图，△BCD内接于⊙O，点B是的中点，CD是⊙O的直径．若∠ABC＝30°，AC＝4，则BC的长为（）A．5 B． C． D．【变式6-3】（2023•成县三模）如图，△ABC是圆O的内接三角形，AB＝BC，∠BAC＝30°，AD是直径，AD＝10，则AC的长为（）A． B． C．5 D．51．（2023•巴中）如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠C＝25°，则∠BAO＝（）A．25° B．50° C．60° D．65°2．（2023•自贡）如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，连接BD，∠DCA＝41°，则∠ABC的度数是（）A．41° B．45° C．49° D．59°3．（2023•台湾）如图的方格纸中，每个方格的边长为1，A、O两点皆在格线的交点上，今在此方格纸格线的交点上另外找两点B、C，使得△ABC的外心为O，求BC的长度为何（）A．4 B．5 C． D．4．（2022•梧州）如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB＝AC，∠BAC＝36°，在上取点D（不与点A，B重合），连接BD，AD，则∠BAD+∠ABD的度数是（）A．60° B．62° C．72° D．73°5．（2023•常州）如图，AD是⊙O的直径，△ABC是⊙O的内接三角形．若∠DAC＝∠ABC，AC＝4，则⊙O的直径AD＝．6．（2023•金昌）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D是⊙O上一点，∠CDB＝55°，则∠ABC＝°．7．（2023•广安）如图，△ABC内接于⊙O，圆的半径为7，∠BAC＝60°，则弦BC的长度为．8．（2022•黑龙江）如图，在⊙O中，AB是⊙O的弦，⊙O的半径为3cm．C为⊙O上一点，∠ACB＝60°，则AB的长为cm．10．（2022•玉林）如图，在5×7网格中，各小正方形边长均为1，点O，A，B，C，D，E均在格点上，点O是△ABC的外心，在不添加其他字母的情况下，则除△ABC外把你认为外心也是O的三角形都写出来．11．（2022•南京）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在BC上，BD＝CE．过A，D，E三点作⊙O，连接AO并延长，交BC于点F．（1）求证AF⊥BC；（2）若AB＝10，BC＝12，BD＝2，求⊙O的半径长．1．（2023秋•文成县期中）在同一平面内，已知⊙O的半径为5，点A在⊙O外，则OA的长度可以等于（）A．6 B．5 C．3 D．02．（2023秋•玄武区期中）平面内，已知⊙O的半径是4cm，线段OP＝5cm，则点P（）A．在⊙O外 B．在⊙O上 C．在⊙O内 D．不能确定3．（2022秋•大洼区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（3，6），B（1，4），C（1，0），则△ABC外接圆的圆心坐标是（）A．（4，2） B．（4，3） C．（5，3） D．（5，2）4．（2023秋•萧山区期中）已知点A在直径为8cm的⊙O内，则OA的长可能是（）A．8cm B．6cm C．4cm D．2cm5．（2023秋•西城区校级期中）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BOC＝100°，则∠A的度数为（）A．30° B．50° C．80° D．100°6．（2023秋•福州期中）如图，正方形ABCD的边长为6，点E是正方形外一动点，且点E在CD的右侧，∠AED＝45°，P为AB的中点，当E运动时，线段PE的最大值为（）A． B． C． D．7．（2023•鼓楼区校级三模）如图，矩形ABCD的宽为10，长为12，E是矩形内的动点，AE⊥BE，则CE最小值为（）A．9 B．8 C．7 D．68．（2023秋•长沙期中）在同一平面内，点P到圆上的点的最大距离为6，最小距离为4，则此圆的半径为（）A．2 B．5 C．1 D．5或19．（2023秋•溧阳市期中）如图，在平面直角坐标系中，A（4，0）、B（0，3），以点B为圆心，2为半径的⊙B上有一动点P．连接AP，若点C为AP的中点，连接OC，则OC的最小值是（）A．1.5 B．2 C．25 D．310．（2023秋•江阴市期中）下列语句：（1）三点确定一个圆；（2）直径所对的圆周角是直角；（3）三角形的外心到三角形各边的距离相等；（4）同弧或等弧所对的圆周角相等．其中正确的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个11．（2023秋•思明区校级期中）在平面直角坐标系中，以原点O为圆心作半径为5的圆，则以下四个点在圆上的是（）A．（3，0） B．（0，6） C．（2，4） D．（3，4）12．（2023秋•乐清市期中）如图，D是等边△ABC外接圆上的点，且∠CAD＝20°，则∠ACD的度数为（）A．20° B．30° C．40° D．45°13．（2023秋•龙湾区月考）如图，直角坐标系中A（0，4），B（4，4），C（6，2），经过A，B，C三点的圆，圆心为M，若线段DM＝4，则点D与⊙M的位置关系为（）A．点D在⊙M上 B．点D在⊙M外 C．点D在⊙M内 D．无法确定14．（2023秋•普兰店区期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则这个三角形的外接圆的半径是（）A．10 B．5 C．4 D．315．（2023•黄山一模）在△ABC中，若O为BC边的中点，则必有：AB2+AC2＝2AO2+2BO2成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE＝4，EF＝3，点P在以DE为直径的半圆上运动，则PF2+PG2的最小值为（）A． B． C．10 D．3416．（2023秋•上城区期中）如图，在平面直角坐标系中，A、B、C是⊙M上的三个点，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）．（1）在图上标出圆心M，圆心M的坐标为