2023年广东省汕头市潮南区中考数学模拟试卷+

2023年广东省汕头市潮南区中考数学模拟试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的

一项）

1.汕头海湾隧道是中国首条兼顾城市道路和一级公路功能的水下盾构隧道，全长6680

米，总投资57亿元，数据57亿元用科学记数法表示为（）

A.5.7x107B.57x108C.0.57x109D.5.7x109

2.一只蚂蚁从数轴上4点出发爬了4个单位到了相反数B点所在的位置，则点4所表示

的是（）

A.—2或2B.—2C.2D.4或—4

3.如图所示，从上面看该几何体的形状图为（）

Arm

BrTTTTl

c-1；|Hl

D.

4.如果线段40和线段BO分别是AMNO边MN上的中线和高，那么下列判断正确的是

（）

A.AO>BOB.AO>BOC.AO<BOD.AO<B0

5.式子也不有意义，贝H的值可能是（）

x-4

A.4B.8C.12D.16

6.某工程甲单独完成要25天，乙单独完成要20天,若乙先单独干10天，剩下的由甲单

独完成，设甲、乙一共用x天完成，则可列方程为（）

A叶型+卫=1B皿+七出=1C七型+史=1D叶3+〃=1

A20十25125+20125十201525+251

7.已知4（a,0）和点B（0,5）两点，则直线与坐标轴围成的三角形的面积等于10,贝b

的值是（）

A.-4B.4C.±4D.±5

8.如图，直线AB交x轴于点C,交反比例函数y=?（a>1）的图象于力、B两点，过

点B作BDly轴，垂足为点D,若SABCD=5,则a的值为（）

A.8B.9C.10D.11

9.如图，在Rt△ABC中，。为斜边4c的中点,E为BO上一点，尸为CE中点.若4E=AD,

DF=2,

A.2/7B.3C.2V-3D.4

10.一辆快车和一辆慢车将一批物资从甲地运往乙地，其中快车送达后立即沿原路返

回，且往返速度的大小不变，两车离甲地的距离y（单位：km）与慢车行驶时间t（单位:

八）的函数关系如图，则两车先后两次相遇的间隔时间是（）

A.hB.—h.C.—hD.—h

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.请填写一个常数，使得关于x的方程/一2x+=0有两个不相等的实数根.

12.在实数范围内分解因式：4/—8=.

13.如图，已知4（2,3）,8（0,2）,在刀轴上找一点C,使得|4C-的值最大，则此时

点C的坐标为.

斗

•A

'B

O

14.如图，在〃1BCD中，对角线4C,8。交于点0,

AB1AC,AH1BD于点H,若AB=2,BC=2口

则AH的长为.

15.如图，将半径为2,圆心角为120。的扇形04B绕

点4逆时针旋转60。，点0,B的对应点分别为O',B',

中阴影部分的面积是

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步

骤）

16.（本小题8.0分）

计算：（新1+（TT-2022）°-3tan30°+|3-<I2|.

17.（本小题8.0分）

解不等式组+r并求其最大整数解.

18.（本小题8.0分）

如图，已知△ABC,Z.BAC=90°.

（1）尺规作图：过点4作一条直线交8C于D,使其将△ABC分成两个相似三角形（保留作

图痕迹，不写作法）；

（2）若4。=4,tan^BAD=1,求CD的长.

A

19.(本小题9.0分)

某中学为了预测本校应届毕业女生“一分钟跳绳”项目考试情况，从九年级随机抽取部

分女生进行该项目测试，并以测试数据为样本，绘制出如图所示的部分频数分布直方图

(从左到右依次分为六个小组，每小组含最小值，不含最大值)和扇形统计图.

根据统计图提供的信息解答下列问题：

(1)补全频数分布直方图，并指出这个样本数据的中位数落在第小组；

(2)若测试九年级女生“一分钟跳绳”次数不低于160次的成绩为优秀，本校九年级女生

共有260人，请估计该校九年级女生“一分钟跳绳”成绩为优秀的人数；

(3)若“一分钟跳绳”次数不低于220次的成绩为满分，在这个样本中，小洁、小慧都是

满分，从成绩为满分的女生中任选二人做示范，用树状图或列表法求小洁和小慧都被选

中概率.

20.(本小题9.0分)

为维护我国海洋权力海监部门对我国领海实行了常态化巡航管理如图，海警船4在C岛

的正西方向，当岛主发现有海盗船时，测得海盗船在C岛的西北方向上的B处，已知海

警测得海盗船在海警船4北偏东60。的位置8上，海警船若以60海里/时的速度航行到海

盗船处需要1小时.

(1)问此时海盗船离C岛的距离BC是多少海里？

(2)若海盗船以30海里/时的速度向C岛出发，海警船在接到岛主报警后以60海里/时的

速度向C岛出发，问海警船能否赶在海盗船之前到达C岛进行拦截(/2x1.41,C=

1.73)?

21.(本小题9.0分)

在矩形ZBCD中，力B=4,AC=6,将矩形折叠，使点4落在点P处，折痕为DE.

图①图②

(1)如图D,若点P恰好在边BC上，连接AP,求装的值；

(2)如图②，若E是AB的中点，EP的延长线交BC于点F,求BF的长.

22.(本小题12.0分)

如图，以AB为直径的。。外接于AABC,过4点的切线4P与BC的延长线交于点P,乙4PB

的平分线分别交AB，AC于点D,E,其中ZE,BD(4E<BD)的长是一元二次方程,一

5x+6=0的两个实数根.

(1)求证：PABD=PB-AE；

(2)若线段BC上存在一点M,使得四边形4DME是菱形，请求出菱形面积.

23.(本小题12.0分)

已知二次函数y=/+(7n—2)%+ni-4,其中m>2.

(1)当该函数的图象经过原点。(0,0),求此时函数图象的顶点4的坐标；

(2)求证：二次函数y=x2+(m-2)x+m-4的顶点在第三象限；

(3)如图，在(1)的条件下，若平移该二次函数的图象，使其顶点在直线y=—2上运

动，平移后所得函数的图象与y轴的负半轴的交点为B,求AZOB面积的最大值.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：57亿=5700000000=5.7x109.

故选：D.

科学记数法的表示形式为ax10皿的形式，其中lS|a|<10,n为整数.确定n的值时，要看

把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对

值210时，”是正整数，当原数绝对值<1时，n是负整数

此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为ax10”的形式，其中1<|a|<

10,n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值.

2.【答案】A

【解析】解：由题意可知，两数互为相反数，且两数对应点的距离为4,

・••两点到原点距离=4+2=2,

.•.这两个数分别为2,-2.

故选：A.

由题意可知，两数互为相反数，且两数对应点的距离为4,可分析出两点到原点距离为2,

即可求解.

本题考查了数轴上两点间距离，相反数的意义，解题关键是分析出互为相反数的两数对应点

距离为4.

3.【答案】C

【解析】解：根据能看见的轮廓线用实线表示，看不见的轮廓线用虚线表示，

从上面看到的是矩形，且有看不见的轮廓线，

因此选项C中的图形符合题意；

故选：C.

根据能看见的轮廓线用实线表示，看不见的轮廓线用虚线表示，进而得出答案.

本题考查从上面看几何体的形状图，理解看不见的轮廓线用虚线表示是正确判断的前提.

4.【答案】B

【解析】解：••・线段OB是AOMN边上的高,

OB1MN,

由垂线段最短可知，0BW04,

故选：B.

根据三角形的高的概念得到AN1BC,根据垂线段最短判断.

本题考查的是三角形的角平分线、中线和高的概念，掌握垂线段最短是解题的关键.

5.【答案】B

【解析】解：•.•匚孚有意义，

x-4

,rlO-x>0

**tx-40'

・•・x<10且汇*4,

v4=4,8V10且8。4,12>10,16>10,

...式子色更有意义，贝辰的值可能是8.

x-4

故选：B.

根据式子W与有意义，可得［1°二喘°,据此求出x的取值范围，判断出x可能的取值即

可.

此题主要考查了二次根式、分式有意义的条件，解答此题的关键是要明确：(1)二次根式中

的被开方数是非负数；(2)分式有意义的条件是分母不等于零.

6.【答案】C

【解析】解：设甲、乙一共用x天完成，则剩下的甲单独干(4-10)天，

由题意可得："2;°+M

故选：C.

设甲、乙一共用工天完成，则剩下的甲单独干(％-10)天，然后根据题意，列出方程即可.

本题考查一元一次方程的应用，明确题意，准确找出等量关系是解题的关键.

7.【答案】C

【解析】解：假设直角坐标系的原点为0,则直线48与坐标轴围成的三角形是以04、0B为

直角边的直角三角形，

•・・4(见0)和点8(0,5),

・•・0A=\a\,OB—5,

:.OAxOB=-x|a|x5=10,

•••\a\=4,

・•・a=±4.

故选：C.

根据三角形的面积公式和已知条件列等量关系式求解即可.

本题主要考查了三角形的面积和直角坐标系的相关知识，需注意坐标轴上到一个点的距离为

定值的点有2个.

8.【答案】D

【解析】解：设点B的坐标为（叫等），

■:S〉BCD=5，且a>L

1a-1_

A--m---=5,

2m

解得：a=11,

经检验，a=11是原分式方程的解，

故选：D.

设点B的坐标为（成号1）,然后根据三角形面积公式列方程求解.

本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，准确识图，理解反比例函数图象上点的坐标特

征是解题关键.

9.【答案】D

【解析】解：•••C为斜边AC的中点，尸为CE中点，DF=2,

・•・AE=2DF=4,

vAE=AD,

・•・AD—4,

在RtAABC中，D为斜边AC的中点，

•••BD=^AC=AD=4,

故选：D.

根据三角形中位线可以求得4E的长，再根据£E=4D,可以得到4。的长，然后根据直角三

角形斜边上的中线和斜边的关系，可以求得BD的长.

本题考查直角三角线斜边上的中线和斜边的关系、三角形的中位线，解答本题的关键是求出

4。的长.

10.【答案】B

【解析】解：根据图象可知，慢车的速度为弓km/h.

对于快车，由于往返速度大小不变，总共行驶时间是4/1,

因此单程所花时间为2儿故其速度为与km/h.

所以对于慢车，y与t的函数表达式为y=1t（0<t<6）.......①.

^(t-2)(2<t<4)…•…②，

对于快车，y与t的函数表达式为、=

—(t—6)4<t<6)....③,

联立①②，可解得交点横坐标为t=3,

联立①③，可解得交点横坐标为t=4.5,

因此，两车先后两次相遇的间隔时间是1.5,

故选：B.

根据图象得出，慢车的速度为看km/h,快车的速度为与km/儿从而得出快车和慢车对应的y

与t的函数关系式.联立两个函数关系式，求解出图象对应两个交点的坐标，即可得出间隔

时间.

本题主要考查根据函数图象求一次函数表达式，以及求两个一次函数的交点坐标.解题的关

键是利用图象信息得出快车和慢车的速度，进而写出y与t的关系.

11.【答案】0(答案不唯一)

【解析】

【分析】

本题考查了根的判别式，牢记“当/>0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键.

根据方程的系数结合根的判别式A=b2-4ac>0,即可得出关于c的不等式，解之即可求

出c的取值范围.

【解答】

解：a=1,b——2.

vA=b2-4ac=(-2)2—4xlxc>0,

c<1.

故答案为：0(答案不唯一).

12.【答案】4(x+V-2)(X-73)

【解析】解：4%2-8

=4(*2-2)

=4(x+y/~2')(x—

故答案为：4(%+<7)(%-^).

首先提取公因式，进而利用平方差公式分解因式得出即可.

此题主要考查了实属范围内分解因式，熟练利用平方差公式分解因式是解题关键.

13.【答案】(一4,0)

【解析】解：如图所示，连接ZB交工轴于点C,此

时b4C—BC|=48值最大，即点C为所求的点.

设直线48的解析式为y=kx+b,代入点4(2,3),B(0,2),

得片+/=3,解得：卜=今

故直线48解析式为y=：尤+2.

令y=gx+2中y=0,则得x=-4,故点C坐标为(-4,0).

故答案为：(-4,0).

连接交x轴于点C,此时L4C-BCI=4B值最大，求出直线4B的解析式，令y=0,即可

找到点C坐标.

本题考查了线段差最大值的求法，待定系数法求一次函数解析式，正确找到点C位置是解题

关键.

14.【答案】亨

【解析】fW：-.-ABLAC,AB=2,BC=2<3,

•••AC=J(2d_22=

在MBCD中，OA=OC,OB=OD,

:.OA=OC=

在Rt△。48中，

OB=J22+(/7)2=<6>

又AH1BD,

-AH=^OA-AB,即2x4.4"=gx2X「，

解得4口=亨.

故答案为：亨.

在RtAABC和RMOAB中，分别利用勾股定理可求出BC和08的长，又4"1OB,可利用等

面积法求出AH的长.

本题主要考查平行四边形的性质，勾股定理，等面积思想等，熟知等面积法是解题关键.

15.【答案】2C—年

【解析】解：连接。。'，BO',

••・将半径为2,圆心角为120。的扇形04B绕点4逆时针旋转60。,

Z.OAO'=60°,

。4。'是等边三角形，

/.AOO'=60°,00'=OA,

•••当。'中o。上，

vZ.A0B=120°,

•••z.0'0B=60°,

。。'8是等边三角形，

•••^AO'B=120°,

v"O'B'=120°,

NB'O'B=120°,

乙O'B'B=乙O'BB'=30°,

・•・图中阴影部分的面积=S.BOB-(S扇腕,OB—SAOO，B)=：X1x一(史翳■—2x2x

O=2C-与，

故答案为2，？-与.

连接00',B0',根据旋转的性质得到404。'=60°,推出△。4。'是等边三角形，得至此4。0'=

60°,推出△OO'B是等边三角形，得到乙40'B=120。，得到NO'B'B=NO'BB'=30。，根据

图形的面积公式即可得到答案.

本题考查了扇形面积的计算，等边三角形的判定和性质，旋转的性质，正确的作出辅助线是

解题的关键.

16.【答案】解：原式=2+1—3x?+2，3—3

=3-/3+2AT3-3

=V-3-

【解析】利用负整数指数幕的意义，零指数暴的意义，特殊角的三角函数值和绝对值的意义

化简运算即可.

本题主要考查了实数的运算，负整数指数幕的意义，零指数幕的意义，特殊角的三角函数值

和绝对值的意义，正确利用上述法则与性质化简运算是解题的关键.

17.【答案】解：①1今

(2(2%—1)<5%4-1(2)

由①得：X<1,

由②得：x>-3,

则不等式组的解集为：—3Wx<l,

则不等式组的最大整数解为0.

【解析】分别求出每一个不等式的解集，然后确定不等式组的解集，在解集内找到最大整数

即可.

本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；

同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.

18.【答案】解：(1)如图，40为所作.

(2)由作图知，ADLBC,

^ADB=90°,

•A・•CAD=A4,tannZA-BnADBDBD4

AO43

BD=y,

VZ-BAD=Z.ADB=Z.ADC=90°,

・・・乙B+/.BAD=乙BAD+Z-CAD=90°,

・'・Z-B=4CAD,

・•.△ABD-^LCAD,

・・.丝=吗

BDAD

4CD

・・・>=丁,

3

:.CD=3.

【解析】(1)过点A作4。18C于。，利用相似三角形的判定方法可得到△ABD与AC力。相似；

(2)根据垂直的定义得到4408=90。，根据三角函数的定义得到8。=学，根据相似三角形

的性质即可得到结论.

本题考查了作图-相似变换、勾股定理、相似三角形的判定与性质以及三角形面积的计算;

熟练掌握勾股定理和相似三角形的判定与性质是解决问题的关键.

19.【答案】三

【解析】解：(1)总人数是：10+20%=50(人),

第四组的人数是：50-4-10-16-6-4=10,

频数(人数)

1701100130160K190220250(跳绳次数)

中位数位于第三组，

故答案为：三；

(2)该校九年级女生“一分钟跳绳”成绩为优秀的人数是：50-96-4X260=104(人);

(3)将成绩满分的4人分别记作4、B、C、D,列表如下：

ABCD

A(B,A)CD,A)

B(4B)(C,B)(D，B)

C(4C(B,C)(D，C)

D(4。(B,D)(C,D)

由表知，共有121冲等可能结果，事1中小洁和小慧都被选中的有2种结果，

21

所以小洁和小慧其能被选中的概率关J126'

(1)首先求得总人数，然后求得第［用组的人数，即可作出统计图；

(2)利用总人数260乘以所占的比伤J即可求解；

(3)列表得出所有等可能结果，从「中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可.

本题考查读频数1》布直方图的能丈和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时,

必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题.

20.【答案】解：(1)由题意得，AB

乙BAC=30°,

过B作BD1AC于D,

Z.ADB=乙CDB=90°,

BD=\AB=30(海里)，

vZ.BCA=45°,

BC==30V-7x42.3(海里),

答：此时海盗船离C岛的距离BC约是42.3海里;

(2)由(1)知BD=30(海里),Z.BAC=30°,乙BCA=45°,

AD=SBD=30/3海里，CD=BD=30海里，

AC=AD+CD=（30/3+30）（海里）,

•••海警船在接到岛主报警后到达C岛需要迎无，1.37（小时），海盗船到达C岛需要等g"

6030

1.41（小时），

•••1.37<1.41,

•••海警船能赶在海盗船之前到达C岛进行拦截.

【解析】（1）过B作8DJ.4C于D,解直角三角形即可得到结论；

（2）由（1）知BD=30（海里），/.BAC=30°,/.BCA=45°,求得4D==30门海里，

CD=BD=30海里，得到4c=AD+CD=30，？+30（海里），求出海警船在接到岛主报

警后到达C岛需要吗警。1.37（小时），海盗船到达C岛需要照-1.41（小时），进行比

较，即可得到结论.

本题考查了解直角三角形的应用一方向角问题，解题的关键是将实际问题转化为直角三角形

来求解.

21.【答案】解：（1）如图①中，取DE的中点M,连接PM.

•••^BAD="=90°,

由翻折可知，AO=OP,AP1DE,42=43,^DAE=Z.DPE=90°,

在RtAEPD中，=

•••PM=EM=DM,

:.z.3=Z-MPD,

・•・zl=z3+乙MPD=2z3,

vZ-ADP=2/3,

・・・zl=Z.ADP.

-AD//BC,

:.Z.ADP=乙DPC,

・•・Z1=乙DPC,

v乙MOP=zC=90°,

△POM〜人DCP,

PO_CD_4_2

PM=PD-6=3*

AP_2PO__2

~DE-2PM-3'

(2)如图②中，过点P作GH〃BC交AB于G,交。。于H.则四边形4G”。是矩形，设EG=x,则

BG=2-x

图②

・・•5=乙EPD=90°,乙EGP="HP=90°,

:.Z-EPG+乙DPH=90°,(DPH+(PDH=90°,

・・・乙EPG=乙PDH,

••△EGPfPHD,

.EG_PG_EP_1

‘丽=丽=方=寸

・・・PH=3EG=3%,DH=AG=2+%,

在RtZkPHD中，vPH2+DH2=PD2,

(3x)2+(2+%)2=62,

解得X=9负值已经舍弃)，

・•・BG=c2—-8=2

在RMEGP中，GP=；DH=(,

vGH//BC,

EGP~AEBF,

EGGp

-----

E88F

EGGP

-----

E88F

8

-1

5

--1

2

【解析】(1)如图①中，取。E的中点M,连接PM.证明△POMsACCP,利用相似三角形的

性质求解即可.

(2)如图②中，过点P作GH〃BC交48于G,交CD于H.设EG=x,则8G=4-x.证明△EGPF

PHD,推出黑=嘉=案=』=；,推出PG=2EG=3x,DH=AG=4+x,在Rt△PHD

rtiUnru1ZJ

中，由P42+。42=PD2,可得(3x)2+(4+X)2=122,求出x,再证明AECPsAEBF,

利用相似三角形的性质求解即可.

本题考查翻折变换，相似三角形的判定和性质，矩形的性质等知识，解题的关键是正确寻找

相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题.

22.【答案】⑴证明：:DP平分~1P8,

/-APE-乙BPD,

•“P与。。相切，

•••ABAP=Z.BAC+/.EAP=90°,

•••AB是。。的直径，

/.ACB=Z.BAC+Z.B=90°,

Z.EAP=4B,

•••△PAE^^PBD,

=竺，

AEBD

・・・PA・BD=PB•AE；

(2)解：作。GLAC于点G,

P

由于4E,BDf,AE<BD）的长是--5%4-6=0的两个实数根,

解得：AE=2,BD=3,

由⑴可知:?，

P42

・•・cosZ-APC=—=

CD3

2

:.cosZ.BAC=cosZ-APC=

:.sinZ.BAC—?，

・D•・G一=V~5-，

AD3

・・,四边形4DME是菱形，

・•・AD=AE=2,

DG=

•••菱形面积为：DG.AE=2x亨=亨

【解析】(1)利用角平分线得到乙4PE=乙BPD,推导出4E4P=乙B,从而得到4PAE"PBD,

利用相似三角形的性质即可求出答案;

(2)依据-5x+6=0求得4E=2,BD=3,由(1)可知：£=£，进而得出cos乙4PC=

霭=|,cos如lC=cos4Ape=|,sin/BAC=一，解得DG=浮，然后利用平行四边形

的面积即可求出菱形4DME的面积.

本题考查圆的综合问题，涉及圆周角定理，锐角三角函数的定义，平行四边形的判定及其面

积公式，相似三角形的判定与性质，综合程度较高，考查学生的灵活运用知识的能力.

23.【答案】(1)解：把。(0,0)代入y=/+(7n一2)%+TH-4得：m-4=0,解得m=4,

・•・y=%24-2%=(%+I)