文科物理-第3章 现代物理学 第3节 混沌与分形

混沌与分形“混沌是令人振奋的，它开辟了简化复杂问题的途径；混沌是令人忧虑的，它给科学中建立模型的传统方法带来疑问；混沌是令人神往的，它把数学、科学和技术联姻；但最重要的混沌是美的化身！”混沌是20世纪物理科学中第三次大革命1“南美洲亚马逊河流域热带雨林中的一只蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，可以在两周以后引起美国德克萨斯州的一场龙卷风。”2蝴蝶效应

牛顿发现并总结了运动定律，创立了万有引力理论，这些定律既能用来计算行星的规律，预测彗星的行踪，计算宇宙飞船的发射，又能用于各种机械的运行，解决日常的各种力学题．牛顿的成就带给了科学界哲学思想上的确定论，也就是认为一个系统的行为都是有规则的．一个系统，只要弄清楚它所处的环境，立出它的运动方程式，知道它的初始条件，则以后的运动状况都可以计算出来。列出大气运动方程，根据初始条件，能准确预报天气?3美国数学家、气象学家洛伦兹。他选择了带有12个变量的方程组，反映了天气的最主要因素。洛伦兹在他简陋的计算机上，把天气简化到只剩下骨头架子。但是，随着洛伦兹的打印机一行一行地输出，那风和温度的行为看起来真有点像在地球上的样子。它们与洛伦兹心目中对天气的直觉是一致的，如他想象的那样自我重复，随着时间的变化显示出似曾相识的模式，气压时升时降，气流忽南忽北。4

1961年冬季的一天，为了考察一条更长的序列，洛伦兹走了一条捷径。他没有令整个计算从头运行，而是从中途开始。作为计算的初值，他直接打入了上一次的输出结果。然后他穿过大厅下楼，清静地去喝一杯咖啡。一个小时之后他回来时，看到了出乎意料的事。就是这件事播下了一门新科学的种子。5用0.506代替0.506127得到的代表气候的曲线和原曲线分布如下图6洛仑兹认为，这件事反映了在大气运动的过程中，即使误差和不确定性很小，但也有可能在过程中将其积累起来，经过一连串的逐级放大，最终形成巨大的大气运动。也就是说初始条件的微小变化，经过长期的演变后，会导致结果发生很大的变化——也就是对初始条件的敏感依赖性。长期天气预报是不可能的！7丢失一个钉子，坏了一只蹄铁；坏了一只蹄铁，折了一匹战马；折了一匹战马，伤了一位骑士；伤了一位骑士，输了一场战斗；输了一场战斗，亡了一个帝国。反映对初始条件的敏感依赖性的谚语有：差之毫厘谬以千里8虫口问题—逻辑斯蒂方程生命具有多样性，种类繁杂而又扑朔迷离。千万个物种共同生活在地球这个巨大的容器中，他们通过相互作用而构成生态系统，以维持生命共同演化。为了研究种群数量的演变，我们建立种群变化的模型。为了叙述上的方便，我们以某种无世代交叠的昆虫为例，就是每年夏天成虫产卵后全部死亡，第二年春天每个虫卵又孵化出一只虫子。9的最大取值为1，代表昆虫达到饱和；最小为0，代表此物种灭绝。一般情况只能是小数了，如果取值是0.5，代表昆虫数只有饱和值的一半。为单位计数的话，则用和第n代和第n+1代的昆虫数。

由于食物有限和其他种群的捕杀等因素，昆虫(实际上任何物种)是不可能无限增长的，在一定的生存环境中都有一个所能允许的极限值(或称饱和值)如果我们用饱和值10考虑食物有限和其他种群的捕杀等因素我们建立模型：一旦知道初始条件即可得到一系列的值：这个数值系列叫数值流，形成一条状态演化的“轨道”。11种群数随参数的变化：2稳定值的交替4稳定值的交替8稳定值的交替16稳定值的交替12倍周期分岔自相似的几何结构当时，计算结果变得一片混乱，完全不可预测。这就叫做混沌。13混沌学的意义混沌的发现和混沌学的建立，同相对论和量子论一样，是对牛顿确定性经典理论的重大突破，为人类观察物质世界打开了一个新的窗口。所以，许多科学家认为，20世纪物理学永放光芒的三件事是：相对论、量子论和混沌学的创立。14混沌现象的基本特征1、确定论系统的内禀随机性2、对初始条件的极度敏感性3、平庸吸引子4、奇怪吸引子5、混沌运动中的普适常数15分形“明天谁不熟悉分形，谁就不能被认为是科学上的文化人”——美国物理学家惠勒161几何图形的维数我们从几何中知道：直线的维数是1，方形、圆、椭圆等平面图形的维数是2，立方体、球等立体图形的维数是3。一般将维数理解为在图形中确定一个点的位置需要的独立坐标数。17是测度单位图形得到的测量单元(线段、方形和立方体)数图形的维数D定义为：这里的ε是测量单元的尺寸（测量光滑曲线用尺子、测量规则平面图形用正方形或圆、测量规则立体图形用立方体或球，测量的方法是用这些单元连续地覆盖图形)182规则分形和它们的分维2.1Cantor（康托尔）集三等分直线段，挖去中段，再把剩下的二段各三等分挖去中段，如此无限的进行下去(图2.1)得到由无穷多离散的点组成的cantor集(图中为了醒目，将线段画成有一定厚度)。19

Cantor集的维数测个图Cantor集的总长度202.2Koch（科赫）曲线挖去直线1／3中段后，加上等边三角形的二边，形成四段等长线段组成的折线，如此无限进行下去，形成处处连续、但处处不可微的Koch曲线21Koch曲线的分维为：22海岸线的长度是多少？1967年曼德布罗特在《科学》上发表题为《英国海岸线有多长?统计自相似性与分数维数》的著名论文。此文的缘由在于曼德布罗特发现许多国家公布的公共边界线存在极大的误差，即大国公布的公共边界线小，而小国公布的公共边界线大。原因在于边界线是一个复杂的曲线，所用的测量尺度越小，测量的长度越大。测量海岸线长度时人们发现，所用尺子越短，海岸线长度就越长，并且海岸线长度没有限度。23科赫曲线可以很好地模拟海岸线。同理，一个国家的国土面积也没有限度，测量所用的矩形块面积越小，测得的国土面积就越大。矩形块面积趋于零时，国土面积趋于无穷大。冯·科赫于1904年通过初等方法构造了这种处处不可微的连续曲线，并且讨论了该曲线的性质。由于该曲线的构造极为简单，从而改变了人们认为连续而不可微曲线的构造一定非常复杂的看法。24特别重要的是，该曲线是第一个人为构造的具有局部与整体相似的结构，被称为自相似结构。252.3Sierpinski(谢尔宾斯基)图形正三角形四等分成四个小三角形，挖去中间的一个，把剩下的三个小三角形四等分挖去中间的一个，如此无限的进行下去得到面积趋于零、由无穷多线段组成的Sierpinski三角毯26Sierpinski

图形分维27Sierpinski-Menger(谢尔宾斯基-门格尔)海绵立方体27等分（三个方向均三等分)成27个小立方体，挖去1个体心和6个面心位置上的小立方体，留下20个小立方体，如此无限进行下去，得到和Siepinski图形密切有关的Sierpinski-Menger海绵(图2.4)。28利用立方体为测量单元并不断缩小其尺寸为

得到图形有个单元。

Sierpinski-Menger

海绵分形维数29自相似性

分形具有“粗糙和自相似”的直观特点。一个系统的自相似性是指某种结构或过程的特征从不同的空间尺度或时间尺度来看都是相似的，或者某系统或结构的局域性质或局域结构与整体类似。另外，在整体与整体之间或部分与部分之间，也会存在自相似性。一般情况下自相似性有比较复杂的表现形式，而不是局域放大一定倍数以后简单地和整体完全重合。

30人们在观察和研究自然界的过程中，认识到自相似性可以存在于物理、化学、天文学、生物学、材料科学、经济学，以及社会科学等众多的科学之中，可以存在于物质系统的多个层次上，它是物质运动、发展的一种普遍的表现形式，即是自然界普遍的规律之一。下面举几个例子来说明自相似性。太阳系的构造与原子的结构作一对比，就会发现这两个系统在某些方面具有惊人的相似。虽然这两个系统在自然界中尺度相差如此悬殊，但它们物质系统之间存在着自相似的性质。31一棵大树由许多树枝和树叶组成，若把一根树枝与该棵大树相比，在构成形式上完全相似。又会发现该树枝上分叉长出来的更小的细枝条，仍具有大树构成的特点。当然，这只能是在一定尺度上呈现相似性，不会无限扩展下去。另外，树枝与树枝之间，树叶与树叶之间，也呈现出明显的自相似性。再仔细观察树叶的叶脉，也可以发现类似的自相似结构。32由上面我们可以看到，自然界的分形，其自相似性并不是严格的，而是，在统计意义下的自相似性，海岸线也是其中一个例子。凡是满足统计自相似性的分形称之为无规分形。另外，还有所谓有规分形,这类分形,由于它是按一定的数学法则呈现，因此具有严格的自相似性。所谓Koch曲线，就是属于有规分形。33由部分是以自身同等的方式存在于整体之中的传统看法，进而认识到部分以与整体相似的方式存在于整体之中。这是人类认识史上的一大进步，具有深远的哲学意义。自相似性为我们理解部分与整体的辩证关系提供了新的科学依据。分形理论已经对方法论和自然观产生强烈影响，从分形的观点看世界，我们发现，这个世界是以分形的方式存在和演化着的世界。343自然界的分形星系分布的分形特征及其分维35地表形态与地质的分形构造36美丽的分形艺术37图10曼德勃罗集图38图10曼德勃罗集图394041图10a曼德勃罗集逐步放大图42图11曼德勃罗集逐步放大图43图12曼德勃罗集逐步放大图44图13曼德勃罗集“峡谷地带”放大图45图16

广义曼德勃罗集46图17广义曼德勃罗集47图15对应于曼德勃罗集的朱丽亚集48图14朱丽亚集图谱49朱丽亚集图谱50515253图18高维朱丽亚集54图19高维朱丽亚集的投影图55朱丽亚集图谱56575859分形项链60616263东方龙6465666768分形树69分形山70分形岛71分形花72分形画73分形画74

结束语分形理论是一门重要的新学科，它的历史很短，但是卷入分形狂潮的除数学家和物理学家外，还有化学家、生物学家、地貌学与地震学家、材料学家等，在社会科学与人文科学方面，大批哲学家、经济学家、金融学家乃至作家画家和电影制作家都蜂拥而入。著名的电影“星球大战”就是利用分形技术创作的。75

由于分形的最重要