江苏省南师附中2023-2024高一上学期期中数学试卷及答案

南京师大附中2023-2024学年度第一学期高一年级期中考试数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.已知集合，则集合（）A. B. C. D.2.函数的增区间是（）A B. C. D.3.若命题“，使得”是真命题，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.4.已知幂函数的定义域为，且，则的值为（）A. B.0 C.1 D.25.已知二次函数的图像与轴交于两点，则关于的不等式的解集为（）A. B. C. D.6.有一个非常有趣的数列叫做调和数列，此数列的前项和已经被研究了几百年，但是迄今为止仍然没有得到它的求和公式，只是得到它的近似公式：当很大时，其中称为欧拉—马歇罗尼常数，至今为止都还不确定是有理数还是无理数．由于上式在很大时才成立，故当较小时计算出的结果与实际值之间是存在一定的误差的，已知，用上式估算出的与实际的的误差绝对值近似为（）A0.03 B.0.12 C.0.17 D.0.217.函数的图象大致为（）A. B. C. D.8.已知互不相同的实数，满足，则的值为（）A. B.1 C.2 D.3二．多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）9.下列各个选项中，满足的集合有（）A. B. C. D.10.下列四组函数中，与（或）表示同一函数的有（）A. B.C. D.11.下列各个选项中，是的充分不必要条件的有（）A.在中，是钝角，是钝角三角形B.均为无理数，为无理数C.D.12.当时，用表示不超过的最大整数，如：．已知函数，则（）A. B.函数的值域为C.存在无数多个，有 D.存在无限实数集，对于，当时，有三．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知，则______．14.若函数在区间上有两个不同的零点，则实数的取值范围是____________．15.已知函数，若存在非零实数，使得，则实数的取值范围是______．16.已知，则的最小值为______．四．解答题（本大题共6小题，共70分．）17.计算：（1）（2）18.设函数（1）利用函数单调性的定义，证明：函数在上单调递增：（2）当时，求函数最大值．19.南京马拉松作为江苏省的省会马拉松赛，创办于2015年，六年的时间它已成为中国马拉松金牌赛事世界田联标牌赛事，有穿越中华门、玄武湖、总统府等经典景点的比赛路线，为了迎接2023年11月南京马拉松赛的回归，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（如图）上设计三个等高的宣传栏（栏面分别为两个全等的直角三角形和一个等腰三角形），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为．为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度也都是），．（1）当时，求海报纸（矩形）周长：（2）为了节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形的面积最小）？20.设甲：，乙：．（1）当时，求甲中不等式的解集；（2）若甲是乙必要不充分条件，求的取值范围．21.已知定义在上的函数满足，且在上单调递减．（1）证明：函数是偶函数；（2）解关于的不等式．22.设．（1）若对于，且，都有成立，求的取值范围；（2）若关于的方程有实根，求的取值范围．答案1.D2.A3.D4.C5.A6.B7.B8.B9.AC10.BD11.AC12.BCD13.0.514.15.16.17.（1）原式（2）原式18.（1）证明：任取、，且则因为，所以，，，故．所以在单调递增（2）当且仅当，即当时取等号，所以最大值为19.（1）设，直角三角形另一个直角边长为则有宣传栏的面积为且海报周长又由，即因为，则，所以海报周长答：海报纸的周长为（1）由（1）知当且仅当时取等，此时，解得即长和宽时，使用纸量最少20.（1）时，甲：①时，甲：，解得，故②时，甲：，解得，故③时，甲：，解得，故综上所述，甲中不等式的解集为（2）乙：（ⅰ）时①时，甲：，解得②时，甲：，解得③时，甲：，解得由题意得，乙中不等式的解集是甲中不等式的解集的真子集所以要满足题意则，解得（ⅱ）时①时，甲：，解得②时，甲：，解得此时甲中不等式的解集为，满足题意（ⅲ）时①时，甲：，解得②时，甲：，化简得③时，甲：，解得要满足题意则，解得，此时综上所述，的取值范围是21.（1）令得，即令得，即令得，即所以是偶函数得证（1）由已知定义所以即，所以因为是偶函数，且在单调递减所以即的解集为22.（1）由函数，因为即化简整理得①当时，，打开整理得，不成立，舍去②当时，，打开整理得，恒成立，满足题意综上所述，的取值范围是（2）设，则有要满足题意，则至少有