欧拉法完整分

4.3一阶微分方程的求解一阶微分方程的求解可归结为在给定初始条件下，求微分方程的初值问题

数值解法的基本思想：在初值问题存在唯一解的时间区间内，在若干个时间离散点上，用差分方程代替微分方程，然后逐点求解差分方程，得到各时间离散点、…处的函数近似值、…

当两相邻离散点之间的间隔较小时，用一阶差商取代一阶导数

一.前向欧拉法令步长，则其近似值为：

前向欧拉法的几何意义：在任一步长内，用一段直线代替函数的曲线，此直线段的斜率等于该函数在该步长起点的斜率。

例1.应用前向欧拉法解初值问题取步长h=0.1，并把计算结果与精确解比较解：据前向欧拉法又有：微分方程是一阶线性微分方程，

可求出其通解：则方程的解为：

从而有：

带入初值可得计算结果列表（为前向欧拉法计算近似值，

为精确值）n

01.000011.10.2718281830.3459198770.074019169421.20.6847555780.866642536031.2769783441.6072150780.33023673641.42.0935476882.6203595510.52681186351.53.1874451223.9676662940.78022117261.64.6208178465.7209615261.10014368071.76.4663963787.9638734781.497477100分析：当步长不是很小时，前向欧拉法的精度不是很高。步长取定后，步数越多，误差越大。由于前向欧拉法舍弃一阶导数以后诸项，造成的截断误差是的数量级，故称为二阶精度。用一阶差商近似代替在一个步长终点的一阶导数，则原微分方程化为：二、后向欧拉法对于给定初始条件的微分方程

其近似值：

在任一步长内，用一段直线代替函数的曲线，此直线段的斜率等于该函数在该步长终点的斜率。

后向欧拉法的几何意义：

例2.应用后向欧拉法解初值问题取步长h=0.1，并把计算结果与精确解比较解：据后向欧拉法又计算结果列表（为后向欧拉法计算近似值，

为精确值）n

01.000011.10.4442827750.345919877-0.09836289821.21.1068555350.866642536-0.24021299931.32.0409606121.607215078-0.43374553441.43.3084097732.620359551-0.68805022251.54.9809113233.967666294-1.01324502961.67.1415858565.720961526-1.42062433071.79.8866975397.963873478-1.922824061三.梯形法及其预估-校正法用一阶差商近似地代替函数在一个步长起点和终点的一阶导数的平均值

梯形公式（欧拉中点公式）近似值：显然，梯形公式是隐式法，一般求需要解方程，常采用迭代法，初值由显式的欧拉公式给出：然后将替代梯形公式等式右边出现的当步长h足够小，且由前向欧拉法计算的已是较好的近似，则迭代一、二次即可例3.应用梯形预估-校正法解初值问题取步长h=0.1，并把计算结果与精确解比较解：据前向欧拉法梯形预估-校正计算结果列表（为梯形预估-校正法计算

近似值，为精确值）n

01.000011.10.3423777890.3459198770.00354208821.20.8583145370.8666425360.00832799831.31.5927496431.6072150780.01446543541.42.5982982392.6203595510.02206131251.53.9364441143.9676662940.03122218061.65.6789071035.7209615260.04205442371.77.9092092167.9638734780.054664262Matlab程序:y(1)=0;t=1:0.1:2;h=0.1;fork=1:10y0(k+1)=y(k)+h*(0.2/t(k))*y(k)+t(k)^2*exp(t(k)));

%前向欧拉法预估y(k+1)=y(k)+h/2*(0.2/t(k))*y(k)+t(k)^2*exp(t(k))+0.2/t(k+1))*y0(k+1)+t(k+1)^2*exp(t(k+1)));

%一次校正end四、龙格－库塔法（R－K法）前向欧拉法为显式的一步法，使用方便，