一元多项式习题及解答

习题一A组1.判别是否为数域？解是．2.设，，求，，．解，，．3．设，求的展开式中各项系数的和．解由于的各项系数的和等于，所以．4.求除以的商与余式．(1)；(2)．解(1)用多项式除法得到所以，．(2)用多项式除法得到所以，．5．设是两个不相等的常数，证明多项式除以所得余式为．证明依题意可设，则解得故所得余式为．6.问适合什么条件时，能被整除？(1)，；(2)，．解(1)由整除的定义知，要求余式．所以先做多项式除法，要求，所以．即时，可以整除．(2)方法同上．先做多项式除法，所得余式为，所以，即或时，可以整除．7.求与的最大公因式:(1)；(2)；(3)．解(1)用辗转相除法得到用等式写出来，就是，，，所以．(2)同样地，所以.(3)同样用辗转相除法，可得．8.求使：(1)：(2)：(3)．解(1)利用辗转相除法，可以得到，，．因而，，并且所以(2)利用辗转相除法，可以得到，，．因而，，并且所以．(3)利用辗转相除法，可以得到，．因而，并且所以．9.设的最大公因式是一个二次多项式，求的值．解利用辗转相除法，可以得到，由题意，与的最大公因式是一个二次多项式，所以解得．10.设，求和．解用去除，得余式，由题意要求知，即解得．11.证明：如果，，那么．证明由条件可知，存在和使得，存在和使得．用乘以第一式得，代入第二式得，即，所以．12.证明：如果与不全为零，且，那么．证明由于，与不全为零，所以．两边同时除以，有，所以．13.证明：如果，且为与的一个组合，那么是与的一个最大公因式．证明由题意知是与的公因式．再由条件设．又设为与的任一公因式，即，则由上式有．故而是与的一个最大公因式．14.证明：，其中的首项系数为1．证明显然是与的一个公因式．下面来证明它是最大公因式．设满足，则．由上题结果知，是与的一个最大公因式，又首项系数为1，所以．15.设多项式与不全为零，证明．证明设，则存在多项式，使．因为与不全为零，所以．上式两边同时除以，有，故成立．16．分别在复数域、实数域和有理数域上分解为不可约因式之积．解在实数域上的分解式为．在复数域上的分解式为．在有理数域上是不可约多项式．否则，若可约，有以下两种可能．（1）有一次因式，从而它有有理根，但，所以无有理根．（2）无一次因式，设，其中为整数．于是，，，，又分两种情况：①，又，从而由，得，矛盾；②，则，矛盾．综合以上情况，即证．17.求下列多项式的有理根：(1)；(2)；(3)．解(1)由于是首项系数为1的整系数多项式，所以有理根必为整数根，且为的因数．的因数有：，计算得到：故是的有理根．再由多项式除法可知，是的单根．(2)类似（1）的讨论可知，的可能的有理根为：，计算得到，故是的有理根．再由多项式除法可知，是的2重根．(3)类似地，的可能的有理根为：，计算得到．故，是的有理根．再由多项式除法可知，是的4重根，是的单根．18．若实系数方程有一根（为实数，），则方程有实根．证明设原方程有三个根．不失一般性，令，从而有，由根与系数的关系可知，所以，即，故．这说明有实根．19.证明：如果，那么．证明因为，所以．因此，令，则有，即．20.下列多项式在有理数域上是否可约？(1)；(2)；(3)；(4)，p为奇素数；(5)，k为整数．解（1）的可能的有理根为：，而，所以它在有理数域上不可约．（2）由Eisenstein判别法，取素数，则不能整除1，而，但是不能整除2，所以该多项式在有理数域上不可约．（3）令，代入有．取素数，由Eisenstein判别法知，在有理数域上不可约，所以在有理数域上不可约．(4)令，代入，得，取素数，由Eisenstein判别法知，在有理数域上不可约，所以在有理数域上不可约．(5)令，代入，得，取素数，由Eisenstein判别法知，在有理数域上不可约，所以在有理数域上不可约．B组1．设，，是实数域上的多项式，(1)若，则．(2)在复数域上，上述命题是否成立？证明(1）当时，有，所以，命题成立．如果，不全为零，不妨设．当时，为奇数；当时，因为，都是实系数多项式，所以与都是首项系数为正实数的奇次多项式，于是也有为奇数．而这时均有，且为偶数，矛盾．因此有，从而有．(2)在复数域上，上述命题不成立．例如，设，，，其中为自然数，有，但，．2.设，满足,．证明.证明两式相加得到.由可知.两式相减得到.故，即.3．设，证明(1)若，，则；(2)若，是否有?解(1)因为，，故存在多项式，使得．于是．由于，故有，即．(2)否．例如取，，，．虽然且，但不能整除．4．当为何值时，和的最大公因式是一次的？并求出此时的最大公因式．解显然．当时，，则．当时，，则．这时．5．证明：对于任意正整数，都有．证明由题意可知与不全为零．令，则，从而，所以对任意正整数，有，于是有，即．又由，，有，，因此是与的首项系数为1的最大公因式，从而有．6.设且，证明．证明设，则．由于，，故．又设，由上式及，可得，，从而，于是，即也是和的最大公因式，即．7．设，，且与不全为零，证明是与的一个最大公因式的充分必要条件是．证明必要性．若是与的一个最大公因式，则存在多项式使，于是．由与不全为零知，因此有，即．充分性．若，则存在多项式，使．两边同时乘有．由是与的一个公因式知，是与的一个最大公因式．8．设和是两个多项式，证明当且仅当．证明必要性．设，若与不互素，则有不可约公因式，使，所以或．不妨设，由可知，因此是和的公因式，与互素矛盾，故与互素．充分性．设，则存在使，，上式说明．9.如果，那么，．证明的两个根为和，所以，．因为，所以，故有即解得，从而，．10.若，则的根只能是零或单位根．证明因为，故存在多项式，使．设为的任一根，即，则．也就是说，当为的一根时，也为的一根．依此类推，可知也是的根．由于的根的个数有限，故必定存在正整数(不妨设)，使得，．于是有即，或者，即为单位根．11.设是一个整系数多项式，且都是奇数，则没有整数根．证明设，假设有整数根，则整除，即，其中商式也是一个整系数多项式．事实上，设，代入上式并比较两端同次幂系数，得，因为是一个整系数多项式，所以，也是整数，令分别代入展开式，得．由于都是奇数，则及都必须是奇数，这是不可能的，所以，不能有整数根．12．证明对于任意非负整数，都有．证明