重难突破06 乘法公式的几何背景及应用原卷版

重难突破06乘法公式的几何背景及应用重难突破一、单选题1．（2022春·浙江杭州·七年级阶段练习）有若干张面积分别为a2、b2、ab的正方形和长方形纸片，小明从中抽取了1张面积为b2的正方形纸片，6张面积为ab的长方形纸片．若他想拼成一个大正方形，则还需要抽取面积为a2的正方形纸片（）A．4张 B．8张 C．9张 D．10张2．（2023春·山东济南·七年级统考期末）如图分割的正方形，拼接成长方形的方案中，可以验证（

）A．(a+b)(a-b)=a2-C．(a-b)2=a3．（2023春·七年级课时练习）如图，两个正方形的边长分别为a，b，如果a+b=5，ab=6，则阴影部分的面积为（）A．2.5 B．2 C．3.5 D．14．（2023春·江苏苏州·七年级统考期中）某小区有一正方形草坪ABCD如图所示，小区物业现对该草坪进行改造，将该正方形草坪AB边方向的长度增加3米，AD边方向的长度减少3米，则改造后的长方形草坪面积与原来正方形草坪面积相比(

)A．增加6平方米 B．增加9平方米 C．减少9平方米 D．保持不变5．（2022春·山东淄博·六年级统考期中）如图是同四个完全相同的长方形拼成的一个大正方形，通过此图可以验证成立的等式是（

）A．a+b2-a-bC．a+b2=a6．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，M是AG的中点，B是AG上一点．分别以AB、BG为边，作正方形ABCD和正方形BGFE，连接MD和MF．设AB＝a，BG＝b，且a＋b＝10，ab＝8，则图中阴影部分的面积为（

）A．46 B．59 C．64 D．817．（2022春·浙江杭州·九年级期末）如图，是由四个形状大小都相同的矩形拼成的一个正方形，已知矩形的两边长分别为a和b(a>b)，则中间空白部分的面积是（

）A．12ab B．a2+2ab+b28．（2022春·江苏泰州·七年级校考阶段练习）如图为某正方形的房屋结构平面图，其中主卧与客卧都为正方形，主卧与客卧的边长差为2米，则主卧与客卧面积之和比其余面积（阴影部分）多（

）平方米A．12米 B．10米 C．8米 D．4米9．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，矩形ABCD的周长是10cm，以AB，AD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和ADGH的面积之和为17cm2，那么矩形ABCD的面积是（）A．3cm2 B．4cm2 C．5cm2 D．6cm210．（2022春·七年级课时练习）如图1可以用来解释：(2a)2=4a2，则图2可以用来解释（

）A．(a+b)2=a2+2ab+b2 B．(a-b)2=a2-2ab+b2C．(a+b)(a-b)=a2-b2 D．(a+2b)(a-b)=a2+ab-2b211．（2022春·山东青岛·七年级统考期中）将两个边分别为a和b的正方形拼在一起，B、C、G三点在同一直线上，连接AE、EG，若两正方形的边长满足a+b=15，ab=35，则阴影部分的面积为（

）A．95 B．85 C．90 D．10012．（2023春·安徽宿州·七年级安徽省泗县中学校联考阶段练习）有2张边长为a的正方形纸片，4张边长分别为a，b（b>a）的矩形纸片，5张边长为b的正方形纸片，从中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为（

）A．a+b B．2a+b C．3a+b D．a+2b13．（2022秋·河南新乡·八年级统考学业考试）若用等式表示下图中图形面积的运算，则可列式（

）A．(a+b)2=aC．(a+b14．（2023春·浙江绍兴·八年级校联考期中）我国古代数学家研究过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程x2+5x﹣14＝0，即x（x+5）＝14为例说明，《方图注》中记载的方法是：构造图（如图）中大正方形的面积是（x+x+5）2，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×14+52，因此x＝2．则在下面构图中，能正确说明方程x2﹣3x﹣10＝0的构图是（

）

A．

B．

C．

D．

15．（2023春·七年级课时练习）如图，由4个全等的小长方形与一个小正方形密铺成一个大的正方形图案，该图案的面积为100，里面的小正方形的面积为16，若小长方形的长为a，宽为b，则下列关系式中：①a2+2ab+b2=100；②a2-2ab+b2A．1 B．2 C．3 D．416．（2023春·陕西西安·七年级校联考期末）有3张边长为a的正方形纸片，5张边长为b(a<b)的正方形纸片，4张边长为a和b的长方形纸片，从中取出若干张（每种至少取一张）．拼成一个正方形（无缝隙不重叠），则拼成的正方形边长最长为（

）A．a+b B．2a+b C．a+2b D．3a+b17．（2023春·湖南益阳·七年级校考期中）四张长为a，宽为b（a>b）的长方形纸片按如图所示的方式拼成一个边长为a＋b的正方形，则图中阴影部分的面积为（

）A．a2+2b2 B．2ab-b218．（2022春·七年级单元测试）如图，将甲图中阴影部分无重叠、无缝隙地拼成乙图，根据两个图形中阴影部分的面积关系得到的等式是（

）

A．aB．aC．aD．(a+b)19．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图所示、有三种卡片，其中边长为a的正方形卡片有1张，长为a，宽为b的矩形卡片有4张，边长为b的正方形卡片有4张，用这9张卡片刚好供成一个大正方形，则这个大正方形的边长为（）A．a+2b B．2a+2b C．2a+b D．a+b20．（2022·河北邯郸·校考三模）现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片各4块（边长如图，a>b）．嘉嘉准备从中挑选一些纸片紧密拼接成一个正方形，下列无法实现的方案是（

）A．2块甲、1块乙、4块丙 B．1块甲、4块乙、4块丙C．4块甲、1块乙、4块丙 D．1块甲、1块乙、2块丙二、填空题21．（2023春·四川成都·七年级统考期末）如图，在长方形ABCD中，AB=30，BC=20，点E，F是BC、CD上的点，且BE=DF=x，分别以FC、CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CEMN，若长方形CEPF的面积为220平方单位，则图中阴影部分的面积和为平方单位．22．（2023春·七年级单元测试）如图是用四张相同的长方形纸片拼成的图形，请利用图中空白部分的面积的不同表示方法写出一个关于a、b的恒等式.23．（2023·广东江门·校考三模）一个底面是正方形的长方体，高为6，底面正方形边长为10．如果它的高不变，底面正方形边长增加a，那么它的体积增加．24．（2022春·七年级单元测试）图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，得到四块形状和大小完全相同的小长方形，然后按图（2）所示拼成一个大正方形，则中间空白部分的面积是．（用含a，b的式子表示）25．（2022春·甘肃兰州·七年级校考期中）如图，点P是线段AB上的一点，且AB＝10，分别以AP、BP为边作正方形，设AP＝x，这两个正方形的面积之和S，则S关于x的关系式为．26．（2022春·江苏苏州·七年级昆山市第二中学校考期中）如图，长方形ABCD的面积为5，且长AD比宽AB多3，以该长方形中相邻的两边为边长向外作两个正方形（如图所示），则这两个正方形（阴影部分）的面积之和为．27．（2022秋·上海青浦·七年级校考期中）如图（1），是一个长为2a，宽为2b(a>b)的矩形，用剪刀沿矩形的两条对称轴剪开，把它分成四个全等的小矩形，然后按图（2）拼成一个新的正方形，则中间空白部分的面积为．28．（2022秋·北京·八年级统考期末）如图，根据图形，写出一个正方形ABCD的面积的表达式．（一个即可）29．（2022秋·内蒙古通辽·八年级校考期末）如图1，将边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形（a>b）,将剩下的阴影部分沿图中的虚线剪开，拼接后得到图2，这种变化可以用含字母a，b的等式表示为．30．（2022·七年级单元测试）一个正方形的边长是a-12b31．（2023春·浙江杭州·七年级校联考期中）有两个正方形A，B，将A，B并列放置后构造新的长方形得到图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得到图乙，若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为10和32，则正方形B的面积为．

32．（2022春·河北保定·七年级统考期末）如图是一个长为2m，宽为2n（m＞n）的长方形，用剪刀剪成四个一样的小长方形拼成一个正方形，则正方形中空白的面积为．33．（2022秋·河南许昌·八年级校考期中）有若干个大小形状完全相同的小长方形现将其中4个如图1摆放，构造出一个正方形，其中阴影部分面积为34；其中5个如图2摆放，构造出一个长方形，其中阴影部分面积为100（各个小长方形之间不重叠不留空），则每个小长方形的面积为．34．（2022春·山东烟台·八年级统考期末）如图，两个正方形Ⅰ，Ⅱ和两个矩形Ⅲ，Ⅳ拼成一个大正方形，已知正方形Ⅰ，Ⅱ的面积分别为6和3，那么大正方形的面积是．35．（2022春·江苏泰州·七年级统考期中）如图，用图1中2张B型纸片（长为a、宽为b的长方形）按图2所示的方法放置于1张A型纸片（边长为α的正方形）上，已知B型纸片的面积是7，阴影部分的面积是8，则B型纸片的周长是．三、解答题36．（2023春·浙江·七年级专题练习）阅读思考：定义：把一个式子或一个式子的部分改写成完全平方式或者几个完全平方式的和的形式，这种解题方法叫配方法．用途：配方法是初中数学一种很重要的变形技巧，是初中数学很重要的一种思想方法，应用很广泛，应用它可以简捷地处理一些解方程、因式分解、化简二次根式、证明恒等式、求代数式的最值问题．方法：下面用拼图的方法来体会配方的过程．例如：将代数式x2+2x（即x(x+2)）写成(x+h)2+k的形式（其中h、k为常数），配方的过程中，可以看成将一个长是x(x+2)x2+2xx2+2×1x2+2×1⋅x+1-1(x+1)所以，x（1）模仿：用拼图的方法将式子x2+4x写成(x+h)2+k的形式（其中（2）总结：在配方过程中，代数式需要先加上_____，再减去这个数或者代数式；（3）应用：①x2-6x+____=______②已知x2-2x+y37．（2023秋·河北廊坊·八年级统考期末）数学活动课上张老师用图中的1张边长为a的正方形A纸片，1张边长为b的正方形B纸片和2张宽、长分别为a，b的长方形C纸片，拼成了如图②所示的大正方形．观察图形解答下列问题．(1)由图①和图②可以得到的因式分解等式为______（用含a，b的代数式表示）；(2)小高用这种纸片拼出一个面积为a+2b2a+3b的大长方形，求需要A，B，C(3)如图③，已知C是线段AB上的动点，分别以AC，BC为边在AB的两侧作正方形ACDE和正方形BCFG．若AB=6，且两个正方形面积之和S1+S38．（2023春·山东泰安·六年级校考阶段练习）从边长为a的正方形中减掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）上述操作能验证的等式是；（2）运用你从（1）写出的等式，完成下列各题：①已知：a-b=3，a2-b②计算：1-139．（2023春·浙江·七年级期中）若满足7-xx-4=2，求设7-x=a，x-4=b，则7-xx-4=ab=2，所以(x-7)2（1）若x满足9-xx-3=3，求（2）如图，已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别为AD，DC上的点，且AE=1，CF=4，长方形EMFD的面积是28，分别以MF，DF为边做正方形，求阴影部分面积．40．（2023春·江苏无锡·七年级校考期中）知识生成：我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到a+b2直接应用：（1）若xy=3，x+y=5，直接写出x2+y2的值类比应用：（2）填空：①若x3-x=1，则x②若x-4x-6=2，则x-4知识迁移：（3）两块完全一样的直角三角形（∠ABD=∠CBE=90°）如图2所示放置，其中C，B，D在一直线上，连接AC，DE，若AE=4，S△ABD=10，求四边形ACDE的面积

41．（2023春·安徽池州·七年级统考期中）完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2，适当的变形，可以解解：因为a+b=3，所以(a+b)2=9，即a2+2ab+b根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：(1)若x+y=8，x2+y(2)如图，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB=6，两正方形的面积和S1

42．（2023春·山东枣庄·七年级校考阶段练习）如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）(1)观察图2请你写出a+b2、a-b2、ab之间的等量关系是(2)根据（1）中的结论，若x+y=7，x⋅y=134，则x-y=(3)拓展应用：若2022-m2+m-202343．（2022春·河北邢台·七年级统考期末）有两张完全相同的边长为m正方形纸片，先将其中的一张按图1所示分成两个边长分别为6和n的正方形和两个长方形，再将边长为n的正方形与另一张边长为m的正方形纸片按图2所示方式拼接成一个大的正方形，若阴影部分的面积为32；(1)m-n=______；(2)求m2(3)拓展，将3个边长为m和2个边长为n的正方形，按图3所示拼接并构成一个大正方形，求阴影部分的面积．44．（2022春·山东烟台·六年级统考期末）数学是研究现实世界的数量关系与空间形式的科学，同学们，下面我们就用数形结合思想来解决下面问题吧！(1)将图①甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，你根据两个图形的面积关系得到的数学公式是___．(2)将图②甲中阴影部分的一个小长方形变换到图乙位置，你根据两个图形的面积关系写出一个等式：a-b()=a2+ab-(3)若把（2）中你写出的等式当做公式用，计算：(x-y)(x+2y)(4)③甲是一个长为2a，宽为2ba>b的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图③乙那样拼成一个正方形，则图③乙中间空余的部分的面积是_________(5)观察图③乙，请你写出三个代数式a+b2，a-b2，ab之间的等量关系是_________．根据（5）中等量关系解决如下问题：若m+n=-7，mn=3.25，求45．（2022春·河北保定·七年级统考期中）乘法公式的探究及应用．（1）如图1，可以求出阴影部分的面积是（写成两数平方差的形式）；（2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的宽是，长是，面积是（写成多项式乘法的形式）（3）比较图1，图2的阴影部分面积，可以得到乘法公式（用式子表达）（4）应用所得的公式计算：（1﹣122）（1﹣132）（1﹣142）…（1﹣46．（2022秋·江苏泰州·七年级校考期中）将若干个同样大小的小长方形纸片拼成如图形状的大长方形（小长方形纸片长为a，宽为b，请你仔细观察图形，解答下列问题：（1）a和b之间的关系满足_____________________．（2）图中阴影部分的面积与大长方形面积的比值是___________．（3）请你仔细观察图中的一个阴影部分，根据它面积的不同表示方法，请你写出(a-b)2，a+b2与ab应用：根据探索中的等量关系，解决如下问题：x+y=5，xy=947．（2022秋·江苏泰州·七年级江苏省黄桥中学校考期中）在下列横线上用含有a，b的代数式表示相应图形的面积．（1）①________；②__________；③__________；④_______________