第2课时含30°角的直角三角形的性质

13.3.2等边三角形第十三章轴对称导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第2课时含30°角的直角三角形的性质八年级数学上〔RJ〕教学课件1精选ppt学习目标1．探索含30°角的直角三角形的性质．〔重点〕2．会运用含30°角的直角三角形的性质进行有关的证明和计算．〔难点〕2精选ppt导入新课问题引入问题1

如图，将两个相同的含30°角的三角尺摆放在一起，你能借助这个图形，找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？别离拼接ACB3精选ppt问题2将一张等边三角形纸片，沿一边上的高对折，如下图，你有什么发现？4精选ppt讲授新课含30°角的直角三角形的性质一性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.ABCD如图，△ADC是△ABC的轴对称图形，因此AB=AD,∠BAD=2×30°=60°，从而△ABD是一个等边三角形.再由AC⊥BD,可得BC=CD=AB.你还能用其他方法证明吗？5精选ppt证法1证明：在△ABC中，∵∠C=90°，∠A=30°,∴∠B=60°．延长BC到D，使BD=AB，连接AD，那么△ABD是等边三角形．又∵AC⊥BD,已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°.求证：BC=AB．ABCD

证明方法：倍长法∴

BC=AB．

∴BC=

BD．

6精选pptEABC

证明2：在BA上截取BE=BC，连接EC.

∵∠B=60°，BE=BC.∴△BCE是等边三角形，

∴∠BEC=60°，BE=EC.∵∠A=30°，∴∠ECA=∠BEC-∠A=60°-30°=30°.∴AE=EC，∴AE=BE=BC，∴AB=AE+BE=2BC.∴

BC=AB．

证明方法：截半法7精选ppt知识要点含30°角的直角三角形的性质在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.应用格式：∵

在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，

ABC∴

BC=AB．

8精选ppt√判断以下说法是否正确：1〕直角三角形中30°角所对的直角边等于另一直角边的一半．

2〕三角形中30°角所对的边等于最长边的一半。

3〕直角三角形中较短的直角边是斜边的一半。

4〕直角三角形的斜边是30°角所对直角边的2倍．9精选ppt例1如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3cm，那么AB的长度是()A．3cmB．6cmC．9cmD．12cm典例精析注意：运用含30°角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角三角形．D解析：在Rt△ABC中，∵CD是斜边AB上的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝∠B＝30°.在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6cm，在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12cm.∴AB的长度是12cm.应选D.10精选ppt例2如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，假设PC＝3，那么PD等于()A．3B．2C.1.5D．1解析：如图，过点P作PE⊥OB于E，∵PC∥OA，∴∠AOP＝∠CPO，∴∠PCE＝∠BOP＋∠CPO＝∠BOP＋∠AOP＝∠AOB＝30°.又∵PC＝3，∴PE＝1.5.∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA，∴PD＝PE＝1.5.应选C.EC11精选ppt方法总结：含30°角的直角三角形与角平分线、垂直平分线的综合运用时，关键是寻找或作辅助线构造含30°角的直角三角形．12精选ppt例3

如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB.DE恰好是∠ADB的平分线．CD与DB有怎样的数量关系？请说明理由．解：理由如下：∵DE⊥AB，∴∠AED＝∠BED＝90°.∵DE是∠ADB的平分线，∴∠ADE＝∠BDE.又∵DE＝DE，∴△AED≌△BED(ASA)，13精选ppt在Rt△ACD中，∵∠CAD＝30°，∴AD＝BD，∠DAE＝∠B.∵∠BAD＝∠CAD＝∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝∠B.∵∠BAD＋∠CAD＋∠B＝90°，∴∠B＝∠BAD＝∠CAD＝30°.∴CD＝AD＝BD，即CD＝DB.14精选ppt方法总结：含30°角的直角三角形的性质是表示线段倍分关系的一个重要的依据，如果问题中出现探究线段倍分关系的结论时，要联想此性质．15精选ppt想一想：图中BC、DE分别是哪个直角三角形的直角边？它们所对的锐角分别是多少度？例4如图是屋架设计图的一局部，点D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE垂直于横梁AC，AB=7.4cm，∠A=30°，立柱BC、DE要多长？ABCDE16精选pptABCDE解：∵DE⊥AC,BC⊥AC,∠A=30°，∴BC=AB,DE=AD.∴BC=AB=×7.4=3.7(m).又AD=AB,∴DE=AD=×3.7=1.85(m).答：立柱BC的长是3.7m，DE的长是1.85m.17精选ppt例5:等腰三角形的底角为15°,腰长为20.求腰上的高.ACBD15°15°20解:过C作CD⊥BA,交BA的延长线于点D.∵∠B=∠ACB=15°(),∴∠DAC=∠B+∠ACB=15°+15°=30°，))∴CD=AC=×20=10.18精选ppt方法总结：在求三角形边长的一些问题中，可以构造含30°角的直角三角形来解决．此题的关键是作高，而后利用等腰三角形及外角的性质，得出30°角，利用含30°角的直角三角形的性质解决问题.19精选ppt当堂练习1.如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下局部与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为()A．6米B．9米C．12米D．15米2.某市在旧城改造中，方案在一块如下图的△ABC空地上种植草皮以美化环境，∠A＝150°，这种草皮每平方米售价a元，那么购置这种草皮至少需要()A．300a元B．150a元C．450a元D．225a元BB20精选ppt4.在△ABC中,∠A:∠B:∠C=1:2:3,假设AB=10,那么BC=.55.如图，Rt△ABC中，∠A=30°，AB+BC=12cm，那么AB=______.ACB83.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，AB=4．那么BD=.A

B

C

D

1第3题图第5题图21精选ppt6.在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE是AB的垂直平分线，BE=5，那么求AC的长．解：连接AE，∵DE是AB的垂直平分线，∴BE=AE，∴∠EAB=∠B=15°，∴∠AEC=∠EAB+∠B=30°．∵∠C=90°，∴AC=AE=BE=2.5．22精选ppt7.在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°

，D是BC的中点，DE⊥AB于E点，求证：BE=3EA.证明：∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°.∵D是BC的中点，∴AD⊥BC∴∠ADC=90°，∠BAD=∠DAC=60°.∴AB=2AD.∵DE⊥AB，∴∠AED=90°，∴∠ADE=30°，∴AD=2AE.∴AB=4AE，∴BE=3AE.23精选ppt8.如图，△ABC是等边三角形，D,E分别为BC、AC上的点，且CD=AE，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q,求证:BP=2PQ.拓展提升∴△ADC≌△BEA.证明：∵△ABC为等边三角形，∴AC=BC=AB,∠C=∠BAC=60°，∵CD=AE，24精选ppt∴∠CAD=∠ABE