材料力学第6章弯曲应力

第6章弯曲应力第6章弯曲应力

6.1纯弯曲与横力弯曲

前一章的研究说明，一般情况下，梁的横截面上既有弯矩又有剪力。弯矩M是垂直于横截面的内力系的合力偶矩，剪力Q是切于横截面的内力系的合力。也就是说，横截面上只有与正应力有关的法向内力元素dFN=σdA才能合成为弯矩，而与剪应力有关的切向内力元素dFS=dA才能合成为剪力。所以，在梁的横截面上，一般是既有正应力又有剪应力。弯矩只与横截面上的正应力有关，剪力只与剪应力有关。

如图6.1(a)所示的简支梁中，外力对称地作用在梁的纵向对称面内，其计算简图、剪力图和弯矩图分别如图6.1(b)、(c)和(d)所示。可以看出，在CD段内，梁横截面上剪力等于零，而弯矩为常量，因而只有正应力而没有剪应力，这种弯曲称为纯弯曲。图5.2中火车轮轴两个车轮之间的一段梁就是发生的纯弯曲。在AC和BD两段内，梁横截面上既有弯矩又有剪力，因而既有正应力又有剪应力，这种弯曲称为横力弯曲或剪切弯曲。

图6.1

本章主要讨论等直梁在平面弯曲时弯曲正应力和弯曲剪应力的计算公式及相应的强度计算。

6.2弯曲正应力

纯弯曲是弯曲中最根本的情况。下面首先研究纯弯曲时的正应力，再将它推广到横力弯曲时正应力的计算。

纯弯曲试验

纯弯曲试验容易在材料试验机上实现。为了便于观察杆件的变形，在变形前的杆件外表作纵向线aa和bb，并作与它们垂直的横向线mm和nn(见图6.2(a))，然后在杆件的纵向对称面内施加大小相等、方向相反的力偶(见图6.2(b))，使其发生纯弯曲变形。可以观察到：变形后纵向线aa和bb变成了弧线(见图6.2(b))；横向线mm和nn仍然保持直线，它们相对转动了一个角度Δθ后，仍垂直于弧线aa和bb；梁发生如图6.2(b)所示的凸向下的弯曲变形后，靠近梁顶面的纵向线缩短了，靠近梁底面的纵向线伸长了。

图6.2

根据这些实验现象，可以对纯弯曲变形作如下假设：(1)平面假设

平面假设即变形前为平面的梁的横截面，变形后仍保持为平面，且仍然垂直于变形后的梁轴线。

(2)单向受力假设

单向受力假设即纵向纤维之间无相互挤压，只受到轴向拉伸或压缩。设想梁由众多平行于轴线的纵向纤维所组成。发生如图6.3所示凸向下的弯曲变形后，必然引起靠近梁底面的纵向纤维伸长，靠近梁顶面的纵向纤维缩短。由于横截面仍保持为平面，所以沿截面高度，应由靠近梁底面的纵向纤维的伸长连续地、逐渐地演变为靠近梁顶面的纵向纤维的缩短，由此断定中间必定有一层纤维的长度保持不变，这一层称为中性层。中性层与横截面的交线称为中性轴，如图6.3所示。显然，位于中性层上、下两侧的纵向纤维的轴向变形是相反的，一侧表现为伸长，另一侧必然表现为缩短。

图6.3

依据上述分析，弯曲变形可描述为横截面绕各自中性轴的轻微转动。由于梁上的载荷都作用于梁的纵向对称面内，所以梁的整体变形应对称于纵向对称面，这就要求中性轴与纵向对称面垂直。

纯弯曲正应力

纯弯曲时横截面上只有正应力，全部正应力的合力应该等于该横截面上的弯矩。由于纯弯曲时梁横截面上正应力的分布规律未知，因此，不能直接由弯矩M来确定正应力σ。和推导圆轴扭转剪应力计算公式相似，需要从研究构件的变形入手，综合考虑变形几何关系、物理关系以及静力平衡关系，才能得到纯弯曲时的正应力。

(1)变形几何关系

弯曲变形前和变形后的梁段分别表示于图6.4(a)和(b)。以梁横截面的对称轴为y轴且向下为正(见图6.4(c))。以中性轴为z轴，但中性轴的位置尚待确定。在中性轴尚未确定之前，x轴只能暂时认为是通过原点的横截面的法线。根据弯曲平面假设，变形前相距为dx的两个横截面，变形后各自绕中性轴相对旋转了一个角度dθ，且仍然保持为平面。这就使得距中性层为y的纵向纤维bb的长度变为

这里ρ为中性层的曲率半径。纵向纤维bb的原长度为dx，且bb=dx=OO。由于变形前、后中性层内纵向纤维OO的长度不变，所以

根据应变的定义，可以求得纵向纤维bb的应变为

可见，纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比，沿截面高度呈线性分布。

图6.4

(2)物理关系

根据单向受力假设，每一根纵向纤维都是单向拉伸或压缩，纵向纤维之间无相互挤压。当应力小于材料比例极限时，由胡克定律知

将式(a)代入上式，得

这说明，横截面上任一点的正应力与该点到中性轴的距离y成正比。也就是正应力沿截面高度线性分布，沿截面宽度均匀分布，中性轴上正应力为零，如图6.4(d)所示。

(3)静力平衡关系

由式(b)还不能确定纯弯曲时正应力的大小，因为中性轴z的位置和曲率半径ρ的大小尚未确定，须结合静力平衡关系才能推导出正应力计算公式。

横截面上的微内力σdA组成垂直于横截面的空间平行力系(见图6.4(c)中只画出了该力系中的一个微内力σdA)，这一力系只可能简化成３个内力分量，即平行于x轴的轴力N，对y轴和z轴的力偶矩My和Mz。它们分别是

横截面上的内力应与截面左侧的外力平衡。在纯弯曲的情况下，截面左侧的外力只有对z轴的力偶Me(见图6.4(c)和(d))。由于内、外力必须满足平衡方程

所以，

即

这样，横截面上内力系最终只简化为一个力偶矩Mz，它也就是弯矩M，即

根据平衡方程，弯矩M与外力偶矩Me大小相等，方向相反。

将式(b)代入式(c)，得

其中E/ρ是不等于零的常量，所以有∫AydA=Sz=0，即横截面对z轴的静矩必须等于零，亦即z轴(中性轴)通过截面形心。这就完全确定了z轴和x轴的位置。中性轴通过截面形心又包含在中性层内，所以梁横截面的形心连线(轴线)也在中性层内，其长度不变。

将式(b)代入式(d)，得

式中积分

是横截面对y轴和z轴的惯性积。由于y轴是横截面的对称轴，必然有Iyz=0(见附录)。所以式(g)是自然满足的。

将式(b)代入式(e)，得

式中积分∫Ay2dA=Iz是横截面对z轴(中性轴)的惯性矩。于是式(h)改写为

式中

——梁轴线变形后的曲率。

式(6.1)说明，EIz越大，那么曲率越小，故EIz称为梁的抗弯刚度。从式(6.1)和式(b)中消去，得

这就是纯弯曲时正应力的计算公式。可见，在中性轴上，弯曲正应力等于零。对于图6.4中所建立的坐标系，在弯矩M为正的情况下，y为正时σ为拉应力，y为负时σ为压应力。除此之外，一点的应力是拉应力还是压应力也可由弯曲变形直接判定。以中性层为界，梁凸出的一侧受拉，凹入的一侧受压。

导出公式(6.1)和公式(6.2)时，为了方便，把梁横截面画成矩形。但是在推导过程中，并没有使用过矩形截面的几何特性。因此，只要梁有一纵向对称面，且载荷作用在这个平面内，公式就是适用的。

横力弯曲正应力

公式(6.2)是在纯弯曲情况下导出的。但工程中更常见的弯曲是横力弯曲，这时梁横截面上不仅有正应力还有剪应力。剪应力的存在使得横截面变形后不再保持为平面而发生翘曲，同时，横力弯曲时纵向截面上还有横向力引起的挤压应力。因此，纯弯曲时采用的平面假设和单向受力假设对于横力弯曲不再适用。但进一步的分析说明，对于跨度与截面高度之比大于5的细长梁，应用公式(6.2)计算横力弯曲时的正应力并不会引起很大的误差，且能够满足工程问题所需要的精度。因此，将公式(6.2)推广为

此即横力弯曲时正应力的计算公式。

最大弯曲正应力

公式(6.2)和公式(6.3)均说明，弯曲正应力不仅与M有关，而且与y/Iz有关，亦即与截面的形状和尺寸有关。所以，对于等截面梁，假设横截面对称于中性轴(如矩形、圆形、圆环形和工字形等截面)，那么横截面上最大拉应力和最大压应力相等，梁内最大正应力发生在弯矩数值最大的截面且距中性轴最远的边缘处，即

而对于变截面梁，虽然是等截面梁但中性轴不是横截面对称轴的梁，在计算最大弯曲正应力时不能只注意弯矩数值最大的截面，应综合考虑My/Iz的值(参看例6.5和例6.8)。

引用记号

那么公式(6.4)改写为

式中W——抗弯截面系数。

抗弯截面系数综合反映了截面的形状、尺寸对弯曲强度的影响，其量纲为长度的３次方。

表6.1给出了几种常用截面对中性轴z的惯性矩Iz及抗弯截面系数W。至于其他各类型钢的Iz，W，那么可从型钢规格表中查到。表6.1几种常用截面对中性轴z的惯性矩Iz及抗弯截面系数W

续表

假设中性轴不是横截面的对称轴，例如，T形截面(见图6.5)，那么横截面上最大拉应力和最大压应力不相等。引用记号y1和y2分别表示截面的下边缘、上边缘到中性轴的距离，且W1=Iz/y1，W2=Iz/y2，那么当弯矩为正值时，最大拉应力和最大压应力分别为

图6.5

例6.1如图6.6所示，矩形截面悬臂梁受集中力和集中力偶作用。试求Ⅰ—Ⅰ截面和固定端Ⅱ—Ⅱ截面上A，B，C，D４点处的正应力。

图6.6

解矩形截面对中性轴的惯性矩为

对于Ⅰ—Ⅰ截面，弯矩MⅠ=20kN·m，根据式(6.2)，各点正应力分别为

其中，A点处为最大压应力，D点处为最大拉应力，B点处为拉应力。

对于Ⅱ—Ⅱ截面，弯矩MⅡ=20-15×3=-25kN·m，所以

其中，A点处为最大拉应力，D点处为最大压应力，B点处为压应力。

例6.2如图6.7(a)所示简支梁，由56a号工字钢制成，其截面简化后的尺寸如图6.7(b)所示。集中力F=150kN。试求梁危险截面上的最大正应力和同一截面上翼缘与腹板交界处a点(见图6.7(b))的正应力。

图6.7

解(1)求支座反力

由梁的平衡方程可求得支座反力

FA=BB=75kN

(2)绘制内力图，判定危险截面

所绘制的梁的弯矩图如图6.7(c)所示。可见，截面C为危险截面，相应的最大弯矩值为Mmax=375kN·m。

(3)应力计算

查型钢表可得，56a号工字钢截面的抗弯截面系数W=2342cm3，且Iz=65586cm4。所以，依据式(6.5)，危险截面的最大正应力为

根据式(6.2)，危险截面上a点的正应力为

注意直梁横截面上的正应力在与中性轴垂直的方向是按直线规律变化的，因此，当已经求得横截面上的最大正应力σmax时，同一横截面上的正应力σa也可按比例求得，即

在以上的计算中没有考虑钢梁的自重，因为由自重引起的正应力与由外加载荷所引起的正应力相比极小。所以在一般情况下，梁的自重可以忽略不计。6.3弯曲剪应力

横力弯曲的梁横截面上既有弯矩又有剪力，因此，横截面上既有正应力又有剪应力。弯曲剪应力分布较复杂，截面形状不同，分布规律也不相同。下面讨论几种常用的对称截面梁横截面上的弯曲剪应力。

矩形截面梁

如图6.8(a)所示矩形截面梁的任意截面上，剪力Q皆与截面的对称轴y重合(见图6.8(a))。关于横截面上剪应力的分布规律，作以下两个假设：①横截面上各点的剪应力的方向都平行于剪力Q；②剪应力沿截面宽度均匀分布。在截面高度h大于宽度b的情况下，以上述假设为根底得到的解，与精确解相比有足够的准确度。按照这两个假设，在距中性轴为y的横线pq上，各点的剪应力都相等，且都平行于Q。再由剪应力互等定理可知，在沿pq切出的平行于中性层的pr平面上，也必然有与相等的′，而且′沿截面宽度也是均匀分布的(见图6.8(d))。

图6.8

如以横截面m—m和n—n从如图6.8(a)所示梁中取出长为dx的微段，设作用于微段左右截面的剪力为Q，弯矩分别为M和M+dM(见图6.8(b))，再以平行于中性层且距中性层为y的pr平面从这一段梁中截出一局部prmn，那么在这一截出局部的左侧面rm上，作用着因弯矩M引起的正应力，而在右侧面pn上，作用着因弯矩M+dM引起的正应力。在顶面pr上，作用着剪应力′。以上３种应力(即两侧面正应力和顶面剪应力)都平行于x轴(见图6.8(c))。在右侧面pn上，由微内力σdA组成的内力系的合力是

式中——侧面pn的面积。

正应力σ应按公式(6.3)计算，于是

式中

是横截面的局部面积对中性轴的静矩，也就是距中性轴为y的横线pq以下的面积对中性轴的静矩。同理，可以求得左侧面rm上的内力系合力N1为

在顶面pr上，与顶面相切的内力系的合力是

N2，N1和dQ′的方向都平行于x轴，应满足平衡方程

，即

将N2，N1和dQ′的表达式代入上式，得

简化后得出

根据公式(6.2)，

，于是上式改写为

其中′虽是距中性层为y的pr平面上的剪应力，但由剪应力互等定理可知，它等于横截面的横线pq上的剪应力，即

式中Q——横截面的剪力；

b——截面宽度；

Iz——整个截面对中性轴的惯性矩；

S*z——截面上距中性轴为y的横线以外局部面积对中性轴的静矩。

式(6.6)是矩形截面梁弯曲剪应力的计算公式。

对于矩形截面(见图6.9)，可取dA=bdy，于是式(b)化为

图6.9

这样，公式(6.6)可以写成

从公式(6.7)看出，沿截面高度剪应力按抛物线规律变化。在截面上、下边缘的各点处y=±h2，剪应力=0。随着到中性轴距离y的减小，剪应力逐渐增大。在中性轴上各点处(y=0)，剪应力为最大，其值为

如将

代入上式，即可得

式中

——梁截面上的平均剪应力。

可见，矩形截面梁的最大剪应力为平均剪应力的1.5倍。

根据上述分析和剪切胡克定律，剪应变沿高度也按抛物线分布。在中性层上的单元体剪应变到达最大值，随着与中性层距离的增加，剪应变逐渐减小，在上、下外表处剪应变γ=0。因此，在横力弯曲时横截面将不再保持为平面而发生翘曲。但是，如果相邻横截面间的剪力相同，那么其翘曲程度相同，相邻横截面间纵向线段在其变形前后长度并无变化。这种翘曲变形并不影响由弯矩引起的正应变，在纯弯曲中所建立的弯曲正应力公式仍然成立。假设梁受分布载荷作用，相邻横截面的剪力将不再相同，其翘曲程度也不相同，相邻横截面间纵向线段的长度将因此而发生变化，但对细长梁而言，这种变化极其微小，所以对弯曲正应力的影响仍可忽略不计。

工字形截面梁

如图6.10(a)所示的工字形截面由腹板和上、下翼缘组成。腹板截面是一个狭长矩形，关于矩形截面上剪应力分布的两个假设仍然适用。用相同的方法，必然导出相同的应力计算公式，即

图6.10

假设需要计算腹板上距中性轴为y处的剪应力，那么S*z为图6.10中画阴影线局部的面积对中性轴的静矩，即

于是腹板上的剪应力

可见，沿腹板高度，剪应力也是按抛物线规律分布的(见图6.10(b))。以y=0和分别代入公式(6.9)，求出腹板上的最大和最小剪应力分别为

因为腹板的宽度b远小于翼缘的宽度B，max和min实际上相差不大，所以，可以认为在腹板上剪应力大致是均匀分布的。假设以图6.10(b)中应力分布图的面积乘以腹板宽度b，即可得到腹板上的总剪力Q1。计算结果说明，Q1等于(0.95~0.97)Q。可见，横截面上的剪力Q的绝大局部由腹板所承担。既然腹板几乎承担了截面上的全部剪力，而且腹板上的剪应力又接近于均匀分布，这样，就可用腹板的截面面积除剪力Q，近似地得到腹板内的剪应力为

在翼缘上，也应有平行于Q的剪应力分量，分布情况比较复杂，但数值很小，并无实际意义，所以通常并不计算。此外，翼缘上还有平行于翼缘宽度B的剪应力分量，它与腹板内的剪应力比较，一般也是次要的，所以通常也不计算。工字梁翼缘的全部面积都在离中性轴最远处，每一点的正应力都比较大，所以翼缘承担了截面上的大局部弯矩。

圆形截面梁

当梁的横截面为圆形时，已经不能再假设截面上各点的剪应力都平行于剪力Q。由于截面边缘上各点的剪应力与圆周相切，这样，在水平弦AB的两个端点上与圆周相切的剪应力作用线相交于y轴上的某点p(见图6.11(a))。此外，由于对称，AB中点C的剪应力必定是垂直的，因而也通过p点。由此可以假设，AB弦上各点剪应力的作用线都通过p点。如果再假设AB弦上各点剪应力的垂直分量

是相等的，于是对

来说，就与对矩形截面所作的假设完全相同，所以可用公式(6.6)来计算，即

式中b——AB弦的长度；

S*z——图6.10(b)中画阴影线的面积对z轴的静矩。

图6.11

在中性轴上，剪应力为最大值

max，且各点的

y就是该点的总剪应力。对中性轴上的点

代入式(c)，并注意到

，最后得出

式中

——梁截面上的平均剪应力。

可见，圆形截面梁的最大剪应力是平均剪应力的

倍。

最大弯曲剪应力

不管何种截面，只要满足矩形截面剪应力的两个假设，其截面上的剪应力均可用公式(6.6)计算。对于等截面直梁，最大弯曲剪应力发生在剪力Q最大截面的中性轴上，即

式中Qmax——最大剪力；

S*zmax——中性轴以外面积对中性轴的静矩；

b——中性轴处截面宽度。

例6.3如图6.12所示，矩形截面简支梁在跨度中央受集中力P作用。P=40kN，L=10m，h=200mm，b=100mm。求m—m截面上距中性轴y=50mm处的剪应力，并比较梁内最大的正应力和剪应力。

图6.12

解(1)求支座反力

由梁的平衡方程可求得支座反力

FA=FB=20kN

(2)应力计算

m—m截面上剪力Q=20kN。截面对中性轴的惯性矩Iz及截面阴影局部面积对中性轴的静矩S*z分别为

所以，根据式(6.6)，距中性轴y=50mm处的剪应力为

(3)最大正应力和剪应力比较

梁跨度中央截面，所以根据式(6.5)和式(6.8)，最大正应力和最大剪应力分别为

那么

由此可见，最大正应力与最大剪应力比值的数量级为梁的跨度与截面高度之比(跨高比)。而工程中梁的跨高比较大，因而弯曲正应力是梁的主要控制因素。

6.4弯曲强度条件及其应用

一般情况下，梁内同时存在着弯曲正应力和弯曲剪应力。

弯曲正应力强度条件

在6.2节中已经讨论了最大弯曲正应力的计算。一般情况下，最大弯曲正应力发生在弯矩M最大截面上离中性轴最远的边缘处，相应的强度条件为

式中［σ］——材料的弯曲许用应力。

对于抗拉和抗压强度相等的塑性材料(如低碳钢)，只要绝对值最大的正应力不超过许用应力即可。对于抗拉和抗压强度不等的脆性材料(如铸铁)，那么最大拉应力和最大压应力应分别不超过各自的许用应力。即

σtmax≤［σt］，σcmax≤［σc］

式中σtmax，σcmax——最大拉应力和最大压应力；

［σt］，［σc］——材料的许用拉应力和许用压应力。

弯曲剪应力强度条件

在6.3节中已经讨论了最大弯曲剪应力的计算。一般情况下，最大弯曲剪应力发生在剪力Q最大截面的中性轴上，相应的强度条件为

式中［

］——材料的剪切许用应力。

弯曲强度计算

进行弯曲强度计算时，从理论上讲，梁应同时满足正应力强度条件和剪应力强度条件。而事实上，在设计梁的截面时，一般先按正应力强度条件设计，再按剪应力强度条件校核。对于细长实心截面梁，其控制因素主要是弯曲正应力。满足弯曲正应力强度条件的梁，通常也能满足剪应力强度条件，所以无须再进行剪应力强度校核。但是在下述一些情况下，那么必须进行剪应力强度校核：

①梁的跨度较短，或在支座附近作用较大的载荷，以致梁的弯矩较小而剪力颇大。

②铆接或焊接的工字形梁，如腹板较薄而截面高度颇大，以致厚度与高度的比值小于型钢的相应比值。

③经焊接、铆接或胶合而成的梁，对焊缝、铆钉或胶合等，一般要进行剪应力计算。

④在木梁中，由于木材顺纹抗剪能力较差，当剪应力较大时，梁很可能沿中性层破坏，所以也应校核其剪应力。

同时还应该指出的是，在薄壁梁的某些点处，如工字形截面梁的腹板与翼缘交界处，正应力和剪应力数值都较大，这种在正应力和剪应力联合作用下点的强度校核问题将在后续的强度理论章节中讨论。

例6.4外伸梁受力如图6.13(a)所示。梁由钢板焊接而成，截面尺寸如图6.13(d)所示。材料的许用应力为［σ］=120MPa，［］=60MPa。试校核梁的强度，并求焊缝ab处的剪应力。

图6.13

解(1)求支座反力

由梁的平衡方程可求得支座反力

RA=25kN,RB=105kN

(2)绘制内力图

梁的剪力图和弯矩图分别如图6.13(b)、(c)所示。可见，

，max=40kN·m，均发生在B截面处。

(3)计算截面的几何性质

图6.13(d)中y为横截面对称轴。选择参考坐标轴z1，确定形心C的位置。

通过形心C的z轴为中性轴，横截面对中性轴的惯性矩为(4)强度校核

沿B截面高度的正应力分布如图6.13(e)所示，最大正应力发生在截面的下边缘处，根据强度条件式(6.12)可得

那么正应力满足强度要求。

沿B左截面高度的剪应力分布如图6.13(f)所示，最大剪应力发生在中性轴处，

根据强度条件式(6.13)可得

那么剪应力也满足强度要求，故梁平安。

可以看出，对于细长实心截面梁，其控制因素主要是弯曲正应力。满足弯曲正应力强度条件的梁，通常也能满足剪应力强度条件。

(5)求焊缝ab处的剪应力

在焊缝ab处将截面截为两局部，求出其中任一局部(例如左局部)对中性轴z的静矩

所以，焊缝ab处的剪应力

例6.5T形截面铸铁梁的载荷和截面尺寸如图6.14(a)所示。铸铁的抗拉许用应力为［σt］=30MPa，抗压许用应力为［σc］=160MPa。截面对中性轴的惯性矩为Iz=763cm4，且y1=52mm。试校核梁的强度。

图6.14

解(1)求支座反力

由梁的平衡方程可求得支座反力

RA=2.5kN,RB=10.5kN

(2)绘制弯矩图

所绘制的梁的弯矩图如图6.14(b)所示。可见，最大正弯矩在截面C处，MC=2.5kN·m，最大负弯矩在截面B处，MB=-4kN·m。

(3)强度校核

T形截面对中性轴不对称，同一截面上的最大拉应力和压应力并不相等。计算最大应力时，应将y1和y2分别代入公式(6.4)。在截面B上，弯矩是负的，最大拉应力发生在上边缘各点(见图6.14(c))，且

最大压应力发生在下边缘各点，且

在截面C上，虽然弯矩MC的绝对值小于MB，但MC是正弯矩，最大拉应力发生在截面的下边缘各点，而这些点到中性轴的距离却比较远，因而就有可能发生比截面B更大的拉应力。

因此，最大拉应力发生在截面C的下边缘各点处。但从所得结果可看出，无论是最大拉应力或最大压应力都未超过许用应力，强度条件是满足的。

例6.6一机器重50kN，安装在两根工字钢外伸梁的外伸端上，如图6.15(a)所示。假设材料的许用应力为［σ］=60MPa，［］=40MPa。试选择工字钢型号。

图6.15解先按正应力强度条件选择截面，然后按剪应力强度条件进行校核。

(1)绘制内力图

每根外伸梁在自由端受25kN载荷作用，梁的计算简图、剪力图和弯矩图分别如图6.15(b)、(c)和(d)所示。可见，

(2)设计截面，选择工字钢型号

先依据最大弯矩选择工字钢型号。由弯曲正应力强度条件式(6.12)，有

查型钢表，25a号工字钢，Wz=401.88cm3。虽然它比要求的小了3.5%，但工程中一般偏差不大于5%是允许的。故初选25a号工字钢。

再校核梁的剪应力。由型钢表查出25a号工字钢，

腹板宽度b=8mm。所以，由弯曲切应力强度条件式(6.13)，有

即剪切强度足够，故可选用25a号工字钢。

例6.7如图6.16(a)所示，起重机的钢梁由两根工字钢组成，起重机自重Q=50kN，起重量P=10kN。材料的许用应力为［σ］=160MPa，［

］=100MPa。试选择工字钢型号。

图6.16解钢梁受力如图6.16(b)所示，其上PC，PD为起重机作用于梁上的移动载荷。图6.16(c)为起重机的受力图，由平衡方程可得

PC=10kN，PD=50kN

由弯矩图(见图6.16(d))可知，梁内最大弯矩只可能发生在C，D两截面。设PD距梁右端为x，那么支座反力

RA=58-6x，RB=2+6x

所以，C，D截面的弯矩分别为

令

得x1=4.83m，所以D截面弯矩的最大值

MDmax=MD(x1)=58×4.83-6×4.832=140.2kN·m

同理，可得C截面弯矩的最大值MCmax=104.2kN·m。

由剪力图(见图6.16(e))可知，

由于0≤x≤8，所以，当x=0时，

由弯曲正应力强度条件式(6.12)，有

所以，

查型钢表，选用28a号工字钢，其抗弯截面系数W=508.15cm3，Iz/S*z=24.62cm，腹板宽度b=8.5cm。所以，依据弯曲切应力强度条件式(6.13)，有

因此，选用28a号工字钢能同时满足弯曲正应力和剪应力强度条件。

例6.8一槽形截面铸铁梁如图6.17(a)所示。b=2m，Iz=5493×104mm4，铸铁的许用拉应力为［σt］=30MPa，许用压应力为［σc］=90MPa。试求梁的许可载荷［F］。

图6.17

解(1)求支座反力

由梁的平衡方程可求得支座反力

(2)绘制弯矩图

所绘制的梁的弯矩图如图6.17(c)所示。可见，最大正弯矩在截面C处，MC=Fb/4，最大负弯矩在截面B处，MB=-Fb/2。

(3)求许可载荷

由横截面尺寸可知，中性轴到上、下边缘的距离分别为

y1=134mm，y2=86mm

经分析可知，无论是对截面C还是对截面B而言，该梁的强度均由最大拉应力控制。因此，分别计算截面C和截面B的最大拉应力，并与材料相应的许用应力相比较，从而求出许可载荷［F］。

根据弯曲正应力强度条件，对于截面C，那么有

由此可得F≤24.6kN。

对于截面B

由此可得F≤19.2kN。

取其中较小者，即得该梁的许可载荷［F］=19.2kN。

例6.9如图6.18所示两个尺寸完全相同的矩形截面悬臂梁，用一螺栓联成一体承受载荷P作用。已经梁的许用应力［σ］，螺栓的许用剪应力［

］。求梁的许可载荷［P］和螺栓的最小直径d。

图6.18

解由弯曲正应力强度条件

所以

在［P］作用下，截面中性轴处的剪应力最大，即

根据剪应力互等定理，梁中性层上的剪应力

′=max，故中性层上的剪力

Q′即为螺栓承受的剪力。由螺栓剪应力强度条件

得螺栓直径

即螺栓的最小直径为

6.5提高弯曲强度的措施

按强度要求设计梁时，主要是依据梁的正应力强度条件

因此，要提高梁的承载能力，可以从两个方面考虑：一方面是合理安排梁的受力情况，以降低最大弯矩Mmax的数值；另一方面那么是采用合理的截面形状，以提高抗弯系数W的数值。现将工程中常采用的几种措施分述如下。

合理安排梁的受力情况

改善梁的受力情况，尽量降低梁内最大弯矩，相对地说，也就是提高了梁的强度。

(1)合理布置梁的支座

以如图6.19(a)所示均布载荷作用下的简支梁为例

图6.19

假设将两端支座各向内移动0.2l(见图6.19(b))，那么最大弯矩减小为

只是前者的1/5。也就是说，按图6.19(b)布置支座，载荷还可提高４倍。设计锅炉筒体及吊装长构件时，其支承点不设在两端(见图6.20)就是利用这个原理。另外，还可以通过增加中间支座以到达降低最大弯矩Mmax的效果。增加支座后的梁成为超静定梁(静不定梁)，其内力分析将在后续章节中讨论。

图6.20

(2)合理布置载荷

对如图6.21(a)所示的梁，当集中载荷位置不受限制时，可尽量靠近支承(见图6.21(b))。

图6.21

这样，梁内的最大弯矩将比载荷作用在跨度中点小得多。此外，在条件允许的情况下，应尽可能把较大的集中力分散成较小的力，或者改变成分布载荷。例如，将如图6.21(a)所示的载荷改为如图6.22(a)、(b)所示的情况，那么最大弯矩都降低为原来的1/2。许多木结构建筑就是利用这一原理(见图6.22(c))。

图6.22

梁的合理截面

假设把弯曲正应力的强度条件改写为

可见，梁所能承受的最大弯矩Mmax与抗弯截面系数W成正比，W越大越有利。另一方面，使用材料的多少和自重的大小，那么与截面面积A成正比，面积越小越经济，越轻巧。因而合理的截面形状应该是截面面积A较小，而抗弯截面系数W较大。例如，对于截面高度h大于宽度b的矩形截面梁，抵抗垂直平面内的弯曲变形时，假设将截面竖放(见图6.23(a))，那么Wz1=bh2/6；假设将截面平放，那么Wz2=b2h/6。显然，二者之比

所以竖放比平放有较高的抗弯强度，更为合理。因此，房屋和桥梁等建筑物中的矩形截面梁，一般都是竖放的。

图6.23截面的形状不同，其抗弯截面系数Wz也就不同。可以用比值Wz/A来衡量截面形状的合理性和经济性。比值Wz/A较大，那么截面的形状就较为经济合理。可以算出矩形截面的比值Wz/A为

圆形的比值Wz/A为

几种常用截面的Wz/A比值已列于表6.2中。从表中所列数值可以看出，工字钢或槽钢比矩形截面经济合理，矩形截面比圆形截面经济合理。所以桥式起重机的大梁以及其他钢结构中的抗弯杆件，经常采用工字形截面、槽形截面或箱形截面等。从正应力的分布规律来看，这也是可以理解的。因为弯曲时梁截面上的点离中性轴越远，正应力越大。为了充分利用材料，应尽可能地把材料放到离中性轴较远处。圆形截面在中性轴附近聚集了较多的材料，使其未能充分发挥作用。为了将材料移置到离中性轴较远处，可将实心圆截面改成空心圆截面，至于矩形截面，如把中性轴附近的材料移置到上、下边缘处(见图6.24)，就成为了工字形截面。采用槽形截面或箱形截面也是同样的道理。

表6.2几种常用截面的Wz/A值

图6.24以上是从静载抗弯强度的角度讨论问题。事物是复杂的，不能只从单方面考虑。例如，把一根细长的圆杆加工成空心杆，势必因加工复杂而提高本钱。又如轴类零件，虽然也承受弯曲，但它还承受扭转，还须完成传动任务，对其还有结构和工艺上的要求。考虑到这些方面，采用圆轴就比较切合实际了。在讨论截面的合理形状时，还应考虑材料的特性。对于抗拉和抗压强度相等的材料(如碳钢)，宜采用对中性轴对称的截面，如圆形、矩形、工字形等。这样可使截面上、下边缘处的最大拉应力和最大压应力数值相等，且同时接近许用应力。对于抗拉和抗压强度不相等的材料(如铸铁)，宜采用中性轴偏于受拉一侧的截面形状，例如，如图6.25所示的一些截面。对这类截面，如能使y1和y2之比接近于以下关系：

式中σtmax，σcmax——最大拉应力和最大压应力；

［σt］，［σc］——许用拉应力和许用压应力。

图6.25

那么最大拉应力和最大压应力便可同时接近许用应力。对于组合材料的梁，例如，工程中大量使用的钢筋混凝土梁(见图6.26)，在它受拉的一侧配置抗拉的钢筋，可大大提高梁的抗弯能力。

图6.26等强度梁的概念

前面讨论的梁都是等截面的，抗弯截面系数W为常数。但是横力弯曲时，梁在各截面上的弯矩却随截面的位置而变化。因此，对于等截面梁而言，只有在最大弯矩所在的截面处，最大应力才是接近于许用应力的，而在其他截面上，弯矩较小，应力较低，材料并没有充分利用。所以，可考虑根据弯矩变化规律将梁设计为变截面梁(即截面沿轴线变化)，使抗弯截面系数也随弯矩而变化，在弯矩较大处采