人教A版高中数学(必修第二册)同步培优讲义专题7.3 复数的四则运算（重难点题型精讲）（原卷版）

专题7.3复数的四则运算（重难点题型精讲）1．复数的加法运算及其几何意义(1)复数的加法法则

设SKIPIF1<0=a+bi，SKIPIF1<0=c+di(a,b,c,dR)是任意两个复数，那么SKIPIF1<0+SKIPIF1<0=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.(2)复数的加法满足的运算律

对任意SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0∈C，有

①交换律：SKIPIF1<0+SKIPIF1<0=SKIPIF1<0+SKIPIF1<0；

②结合律：(SKIPIF1<0+SKIPIF1<0)+SKIPIF1<0=SKIPIF1<0+(SKIPIF1<0+SKIPIF1<0).(3)复数加法的几何意义在复平面内，设SKIPIF1<0=a+bi，SKIPIF1<0=c+di(a,b,c,d∈R)对应的向量分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0=(a,b)，SKIPIF1<0=(c,d).以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0对应的线段为邻边作平行四边形SKIPIF1<0(如图所示)，则由平面向量的坐标运算，可得SKIPIF1<0=SKIPIF1<0+SKIPIF1<0=(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)，即z=(a+c)+(b+d)i，即对角线OZ对应的向量就是与复数(a+c)+(b+d)i对应的向量.2．复数的减法运算及其几何意义(1)复数的减法法则类比实数减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足(c+di)+(x+yi)=a+bi的复数x+yi(x,y∈R)叫做复数a+bi(a,b∈R)减去复数c+di(c,d∈R)的差，记作(a+bi)-(c+di).

根据复数相等的定义，有c+x=a，d+y=b，因此x=a-c，y=b-d，所以x+yi=(a-c)+(b-d)i，即(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.这就是复数的减法法则.(2)复数减法的几何意义两个复数SKIPIF1<0=a+bi，SKIPIF1<0=c+di(a,b,c,d∈R)在复平面内对应的向量分别是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，那么这两个复数的差SKIPIF1<0-SKIPIF1<0对应的向量是SKIPIF1<0-SKIPIF1<0，即向量SKIPIF1<0.如果作SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，那么点Z对应的复数就是SKIPIF1<0-SKIPIF1<0(如图所示).

这说明两个向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的差SKIPIF1<0就是与复数(a-c)+(b-d)i对应的向量.因此，复数的减法可以按照向量的减法来进行，这是复数减法的几何意义.3．复数的乘法运算(1)复数的乘法法则

设SKIPIF1<0=a+bi，SKIPIF1<0=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+SKIPIF1<0=(ac-bd)+(ad+bc)i.

可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把SKIPIF1<0换成-1，并且把实部与虚部分别合并即可.(2)复数乘法的运算律对于任意SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0∈C，有

①交换律：SKIPIF1<0SKIPIF1<0=SKIPIF1<0SKIPIF1<0；

②结合律：(SKIPIF1<0SKIPIF1<0)SKIPIF1<0=SKIPIF1<0(SKIPIF1<0SKIPIF1<0)；

③分配律：SKIPIF1<0(SKIPIF1<0+SKIPIF1<0)=SKIPIF1<0SKIPIF1<0+SKIPIF1<0SKIPIF1<0.

在复数范围内，正整数指数幂的运算律仍然成立.即对于任意复数z，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0和正整数m,n，有SKIPIF1<0SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0.4．复数的除法(1)定义

我们规定复数的除法是乘法的逆运算.即把满足(c+di)(x+yi)=a+bi(c+di≠0)的复数x+yi叫做复数a+bi除以复数c+di的商，记作(a+bi)÷(c+di)或SKIPIF1<0(a,b,c,d∈R，且c+di≠0).(1)复数的除法法则(a+bi)÷(c+di)=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0+SKIPIF1<0i(a,b,c,d∈R，且c+di≠0).

由此可见，两个复数相除(除数不为0)，所得的商是一个确定的复数.5．|z-z0|(z,z0∈C)的几何意义

设复数SKIPIF1<0=a+bi，SKIPIF1<0=c+di(a,b,c,d∈R)在复平面内对应的点分别是SKIPIF1<0(a,b)，SKIPIF1<0(c,d)，则|​​​​​​​SKIPIF1<0SKIPIF1<0|=SKIPIF1<0，又复数SKIPIF1<0-SKIPIF1<0=(a-c)+(b-d)i，则|SKIPIF1<0-SKIPIF1<0|=SKIPIF1<0.

故|​​​​​​​SKIPIF1<0SKIPIF1<0|=|SKIPIF1<0-SKIPIF1<0|，即|SKIPIF1<0-SKIPIF1<0|表示复数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在复平面内对应的点之间的距离.6．复数范围内实数系一元二次方程的根

若一元二次方程SKIPIF1<0+bx+c=0(a≠0，且a,b,c∈R)，则当SKIPIF1<0>0时，方程有两个不相等的实根SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0；

当SKIPIF1<0=0时，方程有两个相等的实根SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=-SKIPIF1<0；

当SKIPIF1<0<0时，方程有两个虚根SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，且两个虚数根互为共轭复数.7．复数运算的常用技巧(1)复数常见运算小结论①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0；⑤SKIPIF1<0.(2)常用公式SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0.【题型1复数的加、减运算】【方法点拨】两个复数相加(减)，就是把两个复数的实部相加(减)，虚部相加(减).复数的减法是加法的逆运算，两个复数相减，也可以看成是加上这个复数的相反数.当多个复数相加(减)时，可将这些复数的所有实部相加(减)，所有虚部相加(减).【例1】（2022秋·贵州毕节·高三阶段练习）已知z1=1+i，z2=2−2A．4 B．5+3i C．4−3i【变式1-1】（2022秋·陕西延安·高三阶段练习）若z−3+5i=8−2i，则zA．5−3i B．11−7i C．8+7【变式1-2】（2022春·广西桂林·高一期末）1+i+−2+2A．−1+3i B．1+i C．−1+【变式1-3】（2023·山西大同·大同市模拟预测）若复数z满足2z+z+3z−A．12+C．2+2i D．【题型2复数加、减法的几何意义的应用】【方法点拨】(1)向量加、减运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加、减法几何意义的依据.(2)利用向量的加法“首尾相接”和减法“指向被减向量”的特点，在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数.【例2】（2022春·北京西城·高一阶段练习）在复平面内，O为原点，四边形OABC是复平面内的平行四边形，且A，B，C三点对应的复数分别为z1，z2，z3，若z1=1, z3=−2+A．1+i B．1－i C．－1+i D．－1－i【变式2-1】（2022·高一课时练习）在平行四边形ABCD中，若A，C对应的复数分别为－1＋i和－4－3i，则该平行四边形的对角线AC的长度为（

）A．5 B．5 C．25 D．10【变式2-2】（2022·全国·高一专题练习）如图在复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是1+2i,−2+i,0，那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为（

）．A．3+i B．3−i C．1−3i D．−1+3i【变式2-3】（2022春·高一课时练习）如图，设向量OP，PQ，OQ所对应的复数为z1，z2，z3，那么（）A．z1－z2－z3＝0B．z1＋z2＋z3＝0C．z2－z1－z3＝0D．z1＋z2－z3＝0【题型3复数的乘除运算】【方法点拨】(1)复数的乘法可以按照多项式的乘法计算，只是在结果中要将SKIPIF1<0换成-1，并将实部、虚部分别合并.(2)复数的除法法则在实际操作中不方便使用，一般将除法写成分式形式，采用分母“实数化”的方法，即将分子、分母同乘分母的共轭复数，使分母成为实数，再计算.【例3】（2023·辽宁·辽宁模拟预测）已知z1+i=7+5i，则A．6−i B．6+i C．3−2【变式3-1】（2023·湖北·校联考模拟预测）在复平面内，复数z对应的点为(−1,1)，则z1+i=A．−1+i B．−1−i C．i【变式3-2】（2022春·陕西榆林·高二期中）已知复数z=−1+2i（i为虚数单位）的共轭复数为z，则z⋅iA．-2-i B．-2+i C．2−i D．【变式3-3】（2022秋·河北唐山·高三阶段练习）已知复数z满足z−i=4+3iA．3+3i B．3−3i C．−3+3【题型4虚数单位i的幂运算的周期性】【方法点拨】根据虚数单位i的幂运算的周期性，进行求解即可.【例4】（2022·云南红河·校考模拟预测）已知i为虚数单位，则i20231−iA．−12+12i【变式4-1】（2022春·湖北十堰·高一阶段练习）i2022=（A．−1 B．1 C．−i D．【变式4-2】（2022·全国·高一假期作业）设i是虚数单位，则i+i2A．i+1 B．i−1 C．【变式4-3】1+i1−iA．i B．−i C．22005【题型5解复数方程】【方法点拨】实系数