第一节　函数的概念及表示

第二章

函数第一节函数的概念及表示1.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、.解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用1．函数的有关概念(1)函数的概念

函数前提集合A，B是两个_____________对应关系对于集合A中的

一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有

确定的数y和它对应名称称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数记法_____________非空的实数集任意唯一y＝f(x)，x∈A(2)构成函数的三要素定义域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做

，x的取值范围A叫做函数的______值域与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的______三要素

、

、

是构成函数的三要素自变量定义域值域定义域对应关系值域(3)表示函数的常用方法解析法一般情况下，必须注明函数的定义域列表法选取的自变量要有代表性，能反映定义域的特征图象法注意定义域对图象的影响：与x轴垂直的直线与函数图象最多有一个公共点2.分段函数定义在函数定义域内，对于自变量x取值的不同区间，有着不同的

，这样的函数称为分段函数相关概念分段函数的定义域是各段定义域的

，值域是各段值域的

．分段函数虽由几个部分构成，但它表示的是一个函数，各部分函数定义域不可以相交对应关系并集并集2．处理分段函数问题时，需注意(1)分段函数不是多个函数，而是一个函数，自变量与函数值在不同范围内有不同的对应关系．(2)解决分段函数问题时，首先要确定自变量的取值范围，然后选择与其相应的函数解析式．1．(湘教版必修第一册P75·T1改编)

设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下列四个图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的有

(

)答案：C层级一/基础点——自练通关(省时间)基础点(一)函数的定义域

[题点全训]3．已知函数f(2x－3)的定义域是[－1,4]，则函数f(1－2x)的定义域为

(

)A．[－2,1] B．[1,2]C．[－2,3] D．[－1,3]解析：因为函数f(2x－3)的定义域是[－1,4]，所以－1≤x≤4，即－5≤2x－3≤5，所以f(x)的定义域为[－5,5]，所以f(1－2x)满足－5≤1－2x≤5，所以－2≤x≤3，所以函数f(1－2x)的定义域为[－2,3]．故选C.答案：C[一“点”就过]求具体函数的定义域已知解析式的函数，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求解时只要根据函数解析式列出自变量满足的不等式(组)，得出不等式(组)的解集即可求抽象函数的定义域(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域答案：f(x)＝x2－x＋32．若f(x)为二次函数且f(0)＝3，f(x＋2)－f(x)＝4x＋2，则f(x)的解析式为________．3．已知函数f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝2x，则f(x)的解析式为________．解析：(解方程组法)因为2f(x)＋f(－x)＝2x，①将x换成－x得2f(－x)＋f(x)＝－2x，②由①②消去f(－x)，得3f(x)＝6x，所以f(x)＝2x.答案：f(x)＝2x[一“点”就过]求函数解析式的常用方法[答案]

D[诊治策略]已知函数的定义域求参数问题的思路求解此类问题需运用逆向思维以及化归与转化的思想方法．化归与转化即通过某种转化过程，将一个不易解决的问题转化为一个已经解决或比较容易解决的问题．

[针对训练]已知函数f(x)＝－x2＋4x＋1，其中x∈[－1，t]，函数的值域为[－4,5]，则实数t的取值范围是________．解析：函数f(x)＝－x2＋4x＋1＝－(x－2)2＋5，对称轴方程为x＝2，所以f(x)在[－1,2]上单调递增，f(－1)＝－4，f(2)＝5，由－x2＋4x＋1＝－4，可得x＝－1或x＝5，因为x∈[－1，t]时，f(x)的值域为[－4,5]，所以2≤t≤5，所以实数t的取值范围是[2,5]．答案：[2,5]求分段函数的函数值的方法先确定要求值的自变量的取值属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值．当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．

(1)若分段函数中含有参数，则直接根据条件选择相应区间上的解析式代入求参．(2)若是求自变量的值，则需要结合分段区间的范围对自变量进行分类讨论，再求值．

考法3与不等式结合涉及与分段函数有关的不等式问题，主要表现为解不等式，当自变量取值不确定时，往往要分类讨论求解；当自变量取值确定，但分段函数中含有参数时，只需依据自变量的情况，直接代入相应解析式求解．[针对训练]层级三/细微点——优化完善(扫盲点)一、全面清查易错易误点1．(误认为f(g(x))与f(h(x))中“x”的含义相同)已知f(x2－1)的定义域为[0,3]，则f(2x－1)的定义域是

(

)2．(忽视新元的范围致误)若f(2x)＝4x－2x，则f(x)＝________.解析：由题意，f(2x)＝4x－2x＝(2x)2－2x，设t＝2x>0，则f(t)＝t2－t，t>0，所以f(x)＝x2－x，x>0.答案：x2－x(x>0)4．(忽视自变量的实际意义)某单位计划建一矩形场地，现有总长度为100m的可作为围墙的材料，则场地的面积S(单位：m2)与场地的长x(单位：m)的函数关系式为____________．解析：由于场地的长为xm，则宽为(50－x)m，由题意得S＝x(50－x)．易知x＞0,50－x＞0，所以自变量x的取值范围为0＜x＜50.故所求函数的关系式为S＝x(50－x)(0＜x＜50)．答案：S＝x(50－x)(0＜x＜50)二、融会贯通应用创新题5．(借助数学文化)中国清朝数学家李善兰在859年翻译《代数学》时首次将“function”译做“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，这个解释说明了函数的内涵：只要有一个法则，使得取值范围中的每一个值x，有一个确定的y和它对应就行了，不管这个对应法则是公式、图象、表格还是其他形式．已知函数f(x)由下表给出，则f(f(－2)＋1)的值为

(

)xx≤00<x<2x≥2y123A．1 B．2C．3 D．4解析：f(f(－2)＋1)＝f(1＋1)＝f(2)＝3.答案：C

A．函数v＝f(u)为增函数B．15t－u－4v＝32C．当x＝1.5时，此人从小岛到城镇花费的时间最少D．当x＝4时，此人从小岛到城镇花费的时间不超过3h7．(创新命题形式)某同学设想用“高个子系数k”来刻画成年男子的高个子的程度．他认为，成年男子身高160cm及其以下不算高个子，其高个子系数k应为0；身高190cm及其以上的是理所当然的高个子，其高