高考数学大一轮复习 课时达标 高考必考题突破讲座（六）概率与统计试题

高考必考题突破讲座(六)概率与统计[解密考纲]概率与统计是高考中相对独立的一块内容，处理问题的方式、方法体现了较高的思维含量．该类问题以应用题为载体，注重考查学生的应用意识及阅读理解能力、数据分析能力．概率问题的核心是概率计算，其中事件的互斥、对立是概率计算的核心．统计问题的核心是样本数据的获得及分析方法，重点是频率分布直方图、茎叶图和样本的数字特征．统计与概率内容相互渗透，背景新颖．1．某保险公司有一款保险产品的历史收益率(收益率＝利润÷保费收入)的频率分布直方图如图所示．(1)试估计这款保险产品的收益率的平均值；(2)设每份保单的保费在20元的基础上每增加x元，对应的销量为y(单位：万份)．从历史销售记录中抽样得到如下5组x与y的对应数据.x/元2530384552y/万份7.57.16.05.64.8由上表知x与y有较强的线性相关关系，且据此计算出的回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝10－eq\o(b,\s\up6(^))x.①求参数eq\o(b,\s\up6(^))的值；②若把回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝10－eq\o(b,\s\up6(^))x当作y与x的线性关系，用(1)中求出的收益率的平均值作为此产品的收益率，试问每份保单的保费定为多少元时此产品可获得最大利润，并求出最大利润(注：保险产品的保费收入＝每份保单的保费×销量)．解析(1)收益率的平均值为0.05×0.1＋0.15×0.2＋0.25×0.25＋0.35×0.3＋0.45×0.1＋0.55×0.05＝0.275.(2)①eq\x\to(x)＝eq\f(25＋30＋38＋45＋52,5)＝eq\f(190,5)＝38，eq\x\to(y)＝eq\f(7.5＋7.1＋6.0＋5.6＋4.8,5)＝eq\f(31,5)＝6.2.由eq\x\to(y)＝10－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)，得10－38eq\o(b,\s\up6(^))＝6.2，解得eq\o(b,\s\up6(^))＝0.1.②设每份保单的保费为(20＋x)元，则销量为y＝10－0.1x.则这款保险产品的保费收入为f(x)＝(20＋x)(10－0.1x)万元．所以f(x)＝200＋8x－0.1x2＝360－0.1(x－40)2.所以当x＝40，即每份保单的保费为60元时，保费收入最大为360万元．预计这款保险产品的最大利润为360×0.275＝99(万元)．2．(2018·广东佛山质检)某网络广告A公司计划从甲、乙两个网站选择一个网站拓展广告业务，为此A公司随机抽取了甲、乙两个网站某月中10天的日访问量n(单位：万次)，整理后得到如下茎叶图，已知A公司要从网站日访问量的平均值和稳定性两方面进行考察选择．(1)请说明A公司应选择哪个网站；(2)现将抽取的样本分布近似看作总体分布，A公司根据所选网站的日访问量n进行付费，其付费标准如下表.选定网站的日访问量n(单位：万次)A公司的付费标准(单位：元/日)n＜2550025≤n≤35700n＞351000求A公司每月(按30天计)应付给选定网站的费用S.解析(1)由茎叶图可知eq\x\to(x)甲＝(15＋24＋28＋25＋30＋36＋30＋32＋35＋45)÷10＝30，seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,10)×[(15－30)2＋(24－30)2＋(28－30)2＋(25－30)2＋(30－30)2＋(36－30)2＋(30－30)2＋(32－30)2＋(35－30)2＋(45－30)2]＝58，eq\x\to(x)乙＝(18＋25＋22＋24＋32＋38＋30＋36＋35＋40)÷10＝30，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,10)×[(18－30)2＋(25－30)2＋(22－30)2＋(24－30)2＋(32－30)2＋(38－30)2＋(30－30)2＋(36－30)2＋(35－30)2＋(40－30)2]＝49.8，因为eq\x\to(x)甲＝eq\x\to(x)乙，seq\o\al(2,甲)>seq\o\al(2,乙)，∴A公司应选择乙网站．(2)由(1)得A公司应选择乙网站，由题意可得乙网站日访问量n<25的概率为0.3，日访问量25≤n≤35的概率为0.4，日访问量n>35的概率为0.3，∴A公司每月应付给乙网站的费用S＝30×(500×0.3＋700×0.4＋1000×0.3)＝21900(元)．3．柴静《穹顶之下》的播出，让大家对雾霾天气的危害有了更进一步的认识，对于雾霾天气的研究也渐渐活跃起来，某研究机构对春节燃放烟花爆竹的天数x与雾霾天数y进行统计分析，得出下表数据.x4578y2356(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))；(3)试根据(2)求出的线性回归方程，预测燃放烟花爆竹的天数为9的雾霾天数．解析(1)散点图如图所示．(2)eq\i\su(i＝1,4,x)iyi＝4×2＋5×3＋7×5＋8×6＝106，eq\x\to(x)＝eq\f(4＋5＋7＋8,4)＝6，eq\x\to(y)＝eq\f(2＋3＋5＋6,4)＝4，eq\i\su(i＝1,4,x)eq\o\al(2,i)＝42＋52＋72＋82＝154，则eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,4,x)iyi－4\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,4,x)\o\al(2,i)－4\x\to(x)2)＝eq\f(106－4×6×4,154－4×62)＝1，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝4－6＝－2，故线性回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝x－2.(3)由线性回归方程可以预测，燃放烟花爆竹的天数为9的雾霾天数为7.4．(2016·北京卷)某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图．(1)如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？(2)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w＝3时，估计该市居民该月的人均水费．解析(1)由用水量的频率分布直方图知，该市居民该月用水量在区间[0.5,1]，(1,1.5]，(1.5,2]，(2,2.5]，(2.5,3]内的频率依次为0.1，0.15,0.2,0.25,0.15.所以该月用水量不超过3立方米的居民占85%，用水量不超过2立方米的居民占45%.依题意，w至少定为3.(2)由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表.组号12345678分组[2,4](4,6](6,8](8,10](10,12](12,17](17,22](22,27]频率0.10.150.20.250.150.050.050.05根据题意，该市居民该月的人均水费估计为4×0.1＋6×0.15＋8×0.2＋10×0.25＋12×0.15＋17×0.05＋22×0.05＋27×0.05＝10.5(元)．5．(2018·河南郑州模拟)某小学为迎接校运动会的到来，在三年级招募了16名男志愿者和14名女志愿者．调查发现，男、女志愿者中分别各有10人和6人喜欢运动，其余人员不喜欢运动．(1)根据以上数据完成2×2列联表；喜欢运动不喜欢运动总计男女总计(2)是否有95%的把握认为性别与喜欢运动有关，并说明理由；(3)如果喜欢运动的女志愿者中恰有4人懂得医疗救护，现从喜欢运动的女志愿者中抽取2名负责处理应急事件，求抽出的2名志愿者都懂得医疗救护的概率．附：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)P(K2≥k0)0.0500.0250.0100.001k03.8415.0246.63510.828解析(1)依题意，2×2列联表如下.喜欢运动不喜欢运动总计男10616女6814总计161430(2)由已知数据可得，K2＝eq\f(30×10×8－6×62,16×14×14×16)≈1.1575<3.841，因此没有95%的把握认为是否喜欢运动与性别有关．(3)喜欢运动的女志愿者有6人，设分别为A，B，C，D，E，F，其中A，B，C，D懂得医疗救护，则从这6人中任取2人的情况有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15种，其中两人都懂得医疗救护的情况有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)，共6种，设“抽出的2名志愿者都懂得医疗救护”为事件M，则P(M)＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).6．(2016·全国卷Ⅲ)下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．附注：参考数据：eq\i\su(i＝1,7,y)i＝9.32，eq\i\su(i＝1,7,t)iyi＝40.17，eq\r(\i\su(i＝1,7,)yi－\x\to(y)2)＝0.55，eq\r(7)≈2.646.参考公式：相关系数r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)ti－\x\to(t)yi－\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,n,)ti－\x\to(t)2\i\su(i＝1,n,)yi－\x\to(y)2))，回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(a,\s\up6(^))＋eq\o(b,\s\up6(^))t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)ti－\x\to(t)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,n,)ti－\x\to(t)2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(t).解析(1)由折线图中数据和附注中参考数据得eq\o(t,\s\up6(－))＝4，eq\i\su(i＝1,7,)(ti－eq\o(t,\s\up6(－)))2＝28，eq\r(\i\su(i＝1,7,)yi－\o(y,\s\up6(－))2)＝0.55，eq\i\su(i＝1,7,)(ti－eq\x\to(t))(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))＝eq\i\su(i＝1,7,t)iyi－eq\x\to(t)eq\i\su(i＝1,7,y)i＝40.17－4×9.32＝2.89，r≈eq\f(2.89,0.55×2×2.646)≈0.99.因为y与t的相关系数近似为0.99，说明y与t的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系．(2)由eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(9.32,7)≈1.331及(1)得eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,7,)ti－\x\to(t)yi－\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,7,)ti－\x\to(t)2)＝eq\f(2.89,28)≈0.103，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(t,\s\up6(－))＝1.331－0.103×4≈0.92.所以y关于t的回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝0.92＋0.10t.将2016年对应的t＝9代入回归方程得eq\o(y,\s\up6(^))＝0.92＋0.10×9＝1.82.所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量约为1.82亿吨．7．某高校共有学生15000人，其中男生10500人，女生4500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位：小时)．(1)应收集多少位女生的样本数据？(2)根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据的分组区间为[0,2]，(2,4]，(4,6]，(6,8]，(8,10]，(10,12]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率；(3)在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．附：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)P(K2≥k0)0.100.050.0100.005k02.7063.8416.6357.879解析(1)300×eq\f(4500,15000)＝90，所以应收集90位女生的样本数据．(2)由频率分布直方图得1－2×(0.100＋0.025)＝0.75，所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75.(3)由(2)知，300位学生中有300×0.75＝225人的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时．又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的．所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下.男生女生总计每周平均体育运动时间不超过4小时453075每周平均体育运动时间超过4小时16560225总计21090300结合列联表可算得K2＝eq\f(300×45×60－165×302,75×225×210×90)＝eq\f(100,21)≈4.762＞3.841.所以有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．8．2017年“双节”期间，高速公路车辆较多，某调查公司在一个服务区从七座以下小型汽车中，按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速(单位：km/h)分成六段[60,65)，[65,70)，[70,75)，[75,80)，[80,85)，[85,90]后得到如图的频率分布直方图．(1)该调查公司在采样中，用到的是什么抽样方法？(2)求这40辆小型车辆车速的众数、中位数和平均数；(3)若从车速在[60,70)的车辆中