新高考数学一轮复习提升训练1.3 复数（精讲）（解析版）

1.3复数（精讲）（提升版）思维导图思维导图考点呈现考点呈现例题剖析例题剖析考点一复数的基本知识【例1】（2022·全国·高三专题练习）已知复数SKIPIF1<0，则下列说法正确的是（）A．z的虚部为4i B．z的共轭复数为1﹣4iC．|z|＝5 D．z在复平面内对应的点在第二象限【答案】B【解析】∵SKIPIF1<0，∴z的虚部为4,z的共轭复数为1﹣4i，|z|SKIPIF1<0，z在复平面内对应的点在第一象限.故选：B【一隅三反】1．（2022·全国·高三专题练习）若复数SKIPIF1<0，其共轭复数为SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0的虚部为SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0在复平面上对应的点在第四象限 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】因为复数SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，z的虚部为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0对应点SKIPIF1<0在第一象限，SKIPIF1<0，故选：D2．（2022·全国·高三专题练习（多选））已知复数SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0的虚部是SKIPIF1<0【答案】BC【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故不能推出SKIPIF1<0，A不正确；由复数模的定义SKIPIF1<0，故B正确；根据复数相等知，SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，SKIPIF1<0正确，故C正确；由虚部的定义知，SKIPIF1<0的虚部是y,故D不正确.故选：BC3．（2022·浙江省义乌中学模拟预测）已知复数SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是虚数单位，SKIPIF1<0，下列选项中正确的是（

）A．若SKIPIF1<0是纯虚数，则这个纯虚数为SKIPIF1<0B．若SKIPIF1<0为实数，则SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0在复平面内对应的点在第一象限，则SKIPIF1<0D．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0【答案】D【解析】SKIPIF1<0，对于A：当SKIPIF1<0是纯虚数时，则SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，此时这个纯虚数为SKIPIF1<0，故A不正确；对于B：当SKIPIF1<0为实数时，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故B不正确；对于C：当SKIPIF1<0在复平面内对应的点在第一象限，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故C不正确；对于D：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故D正确，故选：D.考点二复数的模长【例2-1】（2022·湖南·高一期中）已知复数SKIPIF1<0，则“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的（

）A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的必要不充分条件.故选：C【例2-2】（2022·福建宁德·模拟预测）若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．3【答案】D【解析】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：D【例2-3】（2022·全国·高三专题练习）若复数z满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为（

）A．1 B．2 C．5 D．6【答案】C【解析】设SKIPIF1<0.则SKIPIF1<0表示复平面点SKIPIF1<0到点SKIPIF1<0的距离为3.则SKIPIF1<0的最大值为点SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距离加上3.即SKIPIF1<0.故选：C.【例2-4】（2022·全国·高三专题练习）若复数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，其中i为虚数单位，则SKIPIF1<0对应的点(x，y)满足方程（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】设SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0.故选：B【一隅三反】1．（2022·河南·模拟预测（理））已知复数z满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为z的共轭复数，则SKIPIF1<0的最大值为（

）A．1 B．4 C．9 D．16【答案】C【解析】设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所对应的点SKIPIF1<0的轨迹是以SKIPIF1<0为圆心SKIPIF1<0为半径的圆，因为SKIPIF1<0为z的共轭复数，所以SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0可看作该圆上的点SKIPIF1<0到原点的距离的平方，所以SKIPIF1<0.故选：C.2（2022·重庆·高三阶段练习）已知复数z满足SKIPIF1<0，复数z的共轭复数为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0表示与SKIPIF1<0距离为1的点集，即SKIPIF1<0，此时，SKIPIF1<0表示圆SKIPIF1<0上点到原点距离，所以SKIPIF1<0的最大值，即为圆上点到原点的最大距离，而圆心到原点距离为1，且半径为1，所以圆上点到原点的最大为2.故选：B.3．（2022·全国·高三专题练习）若z是复数，|z+2-2i|＝2，则|z+1-i|+|z|的最大值是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】设z＝x+yi(x，y∈R)，由|z+2-2i|＝2知，动点SKIPIF1<0的轨迹可看作以SKIPIF1<0为圆心，2为半径的圆，|z+1-i|+|z|可看作点P到SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的距离之和，而|CO|＝SKIPIF1<0，|CA|＝SKIPIF1<0，易知当P，A，O三点共线时，|z+1-i|+|z|取得最大值时，且最大值为|PA|+|PO|＝(|CA|+2)+(|CO|+2)＝SKIPIF1<0，故选：D．考点三复数的几何意义【例3-1】（2022·全国·高三专题练习）设复数z满足SKIPIF1<0，且在复平面内z对应的点位于第一象限，则z=（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】把四个选项一一代入SKIPIF1<0验证：对于A：z=SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故A错误；对于B：z=SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故B正确；对于C：z=SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故C错误；对于D：z=SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故D错误；故选：B【例3-2】（2022·山东潍坊·模拟预测）（多选）已知复数z满足SKIPIF1<0，且复数z对应的点在第一象限，则下列结论正确的是（

）A．复数z的虚部为SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．复数z的共轭复数为SKIPIF1<0【答案】BC【解析】设复数SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，且复数z对应的点在第一象限，所以SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.对于A：复数z的虚部为SKIPIF1<0.故A错误；对于B：SKIPIF1<0.故B正确；对于C：因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故C正确；对于D：复数z的共轭复数为SKIPIF1<0.故D错误.故选：BC【一隅三反】1．（2022·全国·高三专题练习（理））已知SKIPIF1<0是虚数单位，则复数SKIPIF1<0对应的点所在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】SKIPIF1<0.所以复数对应的点SKIPIF1<0在第四象限，故选：D2．（2022·河南新乡·高二期中（理））若复数z在复平面内对应的点位于第二象限，则（

）A．SKIPIF1<0不可能为纯虚数B．SKIPIF1<0在复平面内对应的点可能位于第二象限C．SKIPIF1<0在复平面内对应的点一定位于第三象限D．SKIPIF1<0在复平面内对应的点可能位于第四象限【答案】D【解析】由SKIPIF1<0为第二象限，其对应辐角范围为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0对应辐角为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在复平面内对应的点可能位于第三、四象限及y轴的负半轴.所以A、B、C错误，D正确.故选：D3．（2022·全国·高三专题练习）已知复数SKIPIF1<0对应的点在第二象限，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的共轭复数，有下列关于SKIPIF1<0的四个命题：甲：SKIPIF1<0；

乙：SKIPIF1<0；丙：SKIPIF1<0；

丁：SKIPIF1<0．如果只有一个假命题，则该命题是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】B【解析】设SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0对应点在第二象限，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.甲SKIPIF1<0，乙SKIPIF1<0，丙SKIPIF1<0，丁SKIPIF1<0，由于“只有一个假命题”，所以乙是假命题，SKIPIF1<0的值应为SKIPIF1<0.故选：B考点四复数与其他知识的综合运用【例4】（2022·全国·高三专题练习）已知SKIPIF1<0为虚数单位，则复数SKIPIF1<0的虚部为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．1010 D．1011【答案】B【解析】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，相减得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，虚部为SKIPIF1<0．故选：B．【一隅三反】1．（2022·全国·高三专题练习（理））在复平面内，复数2SKIPIF1<0，4对应的点分别为A，B.若C为线段AB上的点，且SKIPIF1<0，则点C对应的共轭复数是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】由题意知，复平面内点A和点B的坐标分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设点C的坐标为SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，根据SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0计算得SKIPIF1<0所以点C对应的复数为SKIPIF1<0，其共轭复数为SKIPIF1<0，选项C正确.故选：C.2．（2022·全国·高三专题练习）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是复数，则“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0取SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,则满足SKIPIF1<0，但显然不满足SKIPIF1<0所以“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的充分不必要条件故选：A3．（2022·河南商丘）定义函数SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0（i为虚数单位），则SKIPIF1<0的展开式中系数最大项为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】由已知SKIPIF1<0，两边取模，得SKIPIF1<0，所以n＝10．二项式SKIPIF1<0的展开式的通项为SKIPIF1<0，因为n＝10，则SKIPIF1<0．令第r＋1项的系数最大，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以r＝3，所以SKIPIF1<0，故系数最大的项为SKIPIF1<0．故选：C．考点五解复数的方程【例5】（2022·全国·高三专题练习）已知方程SKIPIF1<0有两个虚根SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值是（

）A．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】由已知方程有两个虚根SKIPIF1<0，因此方程判别式小于0，即.SKIPIF1<0,设SKIPIF1<0由韦达定理可知SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0SKIPIF1<0,

即SKIPIF1<0,

所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0故答案为：C【一隅三反】1．（2022·重庆八中模拟预测）若虚数单位SKIPIF1<0是关于x的方程SKIPIF1<0的一个根，则SKIPIF1<0（

）A．0 B．1 C．SKIPIF1<0 D．2【答案】B【解析】由题，SKIPIF1<0是方程的一个根，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，选：B2．（2022·山东枣庄·一模）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是方程SKIPIF1<0在复数范围内的两个解，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】由方程SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，由求根公式得SKIPIF1<0，不妨设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，A错误；SKIPIF1<0，B错误；SKIPIF1<0，C错误；SKIPIF1<0，D正确.故选：D.3．（2022·全国·高三专题练习）复数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且使得关于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0有实根，则这样的复数SKIPIF1<0的个数为（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解析】设SKIPIF1<0,因为SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,所以将SKIPIF1<0代入方程SKIPIF1<0整理SKIPIF1<0，因为关于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0有实根，所以SKIPIF1<0所以当SKIPIF1<0时，解得SKIPIF1<0，此时关于SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，易知方程SKIPIF1<0无实数根，故舍去，所以SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，此时方程有实数根SKIPIF1<0，满足条件.综上，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故这样的复数SKIPIF1<0的个数为SKIPIF1<0个.故选：C考点六综合运用【例6】（2022·河北·石家庄二中）（多选）下列四个命题中，真命题为（

）A．若复数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0 B．若复数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0C．若复数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0 D．若复数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0【答案】AB【解析】对选项A，若复数SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0则选项A正确；对选项B，若设SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则选项B正确；对选项C，若SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，但SKIPIF1<0，则选项C错误；对选项D，若复数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，则选项D错误.故选：AB.【一隅三反】1．（2022·全国·模拟预测）（多选）已知复数SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为虚数单位），则下列说法中正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】AC【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故B错误；SKIPIF1<0，故A正确；SKIPIF1<0，故C正确；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故D错误.故选：AC.2．（2022·福建泉州·模拟预测）（多选）设SKIPIF1<0为复数，则下列命题正确的是（

）A．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0 B．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0 D．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【答案】AD【解析】对于A，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，A正确；对于B，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，B错误；对于C，令SKIPIF