2023-2024学年人教A版必修第二册 9-2-3总体集中趋势的估计 学案

9.2.3总体集中趋势的估计【学习目标】(1)会求样本数据的众数、中位数、平均数．(2)理解用样本的数字特征、频率分布直方图估计总体的集中趋势．【问题探究】现从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种耐用家电产品中，各抽取8件产品，对其使用寿命进行跟踪调查，其结果如下：(单位：年)甲：3，4，5，6，8，8，8，10；乙：4，6，6，6，8，9，12，13；丙：3，3，4，7，9，10，11，12.三个厂家广告中都称其产品的使用寿命为8年，利用所学知识，你能说明为什么吗？题型1众数、中位数、平均数的计算例1在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动员的成绩如表所示：成绩(单位：m)1.501.601.651.701.751.801.851.90人数23234111分别求这些运动员成绩的众数、中位数与平均数．学霸笔记：众数是出现次数最多的数；计算中位数时，可先将这组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，再根据相关数据的总数是奇数还是偶数而定；平均数一般是根据公式来计算．跟踪训练1已知一组数据5，2，x，5，8，9，且5<x<8.若该组数据的众数是中位数的56，则该组数据的平均数为(A.6B．6.5C.7D．7.5题型2众数、中位数、平均数的应用例2甲、乙、丙三家电子厂商在广告中都声称，他们的某型电子产品在正常情况下的待机时间都是12h，质量检测部门对这三家销售产品的待机时间进行了抽样调查，统计结果(单位：h)如下：甲：8，9，9，9，9，11，13，16，17，19；乙：10，10，12，12，12，13，14，16，18，19；丙：8，8，8，10，11，13，17，19，20，20.(1)分别求出以上三组数据的平均数、众数、中位数．(2)这三个厂商的推销广告分别利用了上述哪一种数据来表示待机时间？(3)如果你是顾客，会选择哪个厂商的产品？为什么？学霸笔记：(1)样本的众数、中位数和平均数常用来表示样本数据的“中心值”，其中众数和中位数容易计算，不受少数几个极端值的影响，但只能表达样本数据中的少量信息，平均数代表了数据更多的信息，但受样本中每个数据的影响，越极端的数据对平均数的影响也越大．(2)当一组数据中有不少数据重复出现时，其众数往往更能反映问题，当一组数据中个别数据较大时，可用中位数描述其集中趋势．跟踪训练2某小区广场上有甲、乙两群市民正在进行晨练，两群市民的年龄(单位：岁)如下：甲群：13，13，14，15，15，15，15，16，17，17；乙群：54，3，4，4，5，5，6，6，6，57.(1)甲群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映甲群市民的年龄特征？(2)乙群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映乙群市民的年龄特征？题型3利用频率分布直方图求众数、中位数、平均数例3某城市正在进行创建文明城市的活动，为了解居民对活动的满意程度，相关部门组织部分居民对本次活动进行打分(分数为正整数，满分100分)．现从所有有效数据中随机抽取一个容量为100的样本，统计发现分数均在[40，100]，将样本数据整理得到如下频率分布直方图．(1)求a的值；(2)根据频率分布直方图，估计该城市居民打分的众数、中位数(保留一位小数)及平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)．学霸笔记：(1)众数即为出现次数最多的数，所以它的频率最大，在最高的小矩形中，中位数即为从小到大中间的数(或中间两数的平均数)．平均数约为每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形面积的乘积之和．(2)用频率分布直方图求得的众数、中位数不一定是样本中的具体数．跟踪训练3某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图，已知图中从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是0.30，0.40，0.15，0.10，0.05.求：高一参赛学生的成绩的众数、中位数．随堂练习1．在一次体育测试中，某班的6名同学的成绩(单位：分)分别为66，83，87，83，77，96.关于这组数据，下列说法错误的是()A．众数是83 B．中位数是83C．极差是30 D．平均数是832．北京冬奥会已于2023年2月4日至2月20日顺利举行，这是中国继北京奥运会，南京青奥会后，第三次举办的奥运赛事．之前，为助力冬奥，提高群众奥运法律知识水平和文明素质，某市有关部门开展冬奥法律知识普及类线上答题，共计30个题目，每个题目2分，满分60分，现从参与线上答题的市民中随机抽取1000名，将他们的作答成绩分成6组，并绘制了如图所示的频率分布直方图．若同一组中的数据用该组区间中点值为代表，可估计这次线上答题成绩的平均数为()A．33B．34C．35D．363．我国冰雪健儿自1992年实现冬奥奖牌数0的突破，到北京冬奥会结束，共获得77块奖牌．现将1992年以来我国冬奥会获得奖牌数量统计如下表：年份199219941998200220062010201420232023奖牌数338811119915则1992年以来我国获得奖牌数的中位数为()A.8B．9C．10D．114．已知一组数据的频率分布直方图如下．则众数是__________，中位数是__________，平均数是__________．课堂小结1.众数、中位数、平均数的计算．2．众数、中位数、平均数的应用．3．频率分布直方图中的众数、中位数、平均数．9．2.3总体集中趋势的估计问题探究提示：三个厂家是从不同角度进行了说明，以宣传自己的产品．其中甲：众数为8年；乙：平均数为8年；丙：中位数为8年．例1解析：因为成绩为1.75m的人数为4，最多，所以17名运动员的成绩的众数为：1.75m.根据中位数的定义可知，把17名运动员的成绩从小到大排列，第9个运动员的成绩为中位数，所以17名运动员的成绩的中位数为：1.70m.17名运动员的成绩的平均数为：2×1.50+3×所以这些运动员成绩的众数为1.75m，中位数为1.70m，平均数约为1.69m．跟踪训练1解析：∵5<x<8，∴这组数据为2，5，5，x，8，9，则该组数据的众数是5，又该组数据的众数是中位数的56倍，则中位数是6，即5+x2＝6，解得x＝7，则该组数据的平均数为2+5+5+7+8+96＝6答案：A例2解析：(1)根据平均数的计算公式可知：甲厂数据的平均数是8+9+9+9+9+11+13+16+17+1910＝12乙厂数据的平均数是10+10+12+12+12+13+14+16+18+1910＝13.6丙厂数据的平均数是8+8+8+10+11+13+17+19+20+2010＝甲厂，乙厂，丙厂的众数分别是9，12，8.甲厂数据的中位数为9+112＝10，乙厂数据的中位数为12+132＝12.5，丙厂数据的中位数为11+13(2)甲厂用平均数作为该电子产品的待机时间，乙厂用众数作为该电子产品的待机时间，丙厂用中位数作为该电子产品的待机时间．(3)我会选乙厂的产品因为乙厂产品的平均数最大，众数最大，中位数最大，所以待机时间更长些，稳定性也较好．跟踪训练2解析：(1)甲群市民年龄的平均数为13+13+14+15+15+15+15+16+17+1710＝15(岁)中位数为15岁，众数为15岁，平均数、中位数和众数相等，因此它们都能较好地反映甲群市民的年龄特征．(2)乙群市民年龄的平均数为54+3+4+4+5+5+6+6+6+5710＝15(岁)中位数为5.5岁，众数为6岁．由于乙群市民大多数是儿童，所以中位数和众数能较好地反映乙群市民的年龄特征，而平均数的可靠性较差．例3解析：(1)由频率分布直方图可知(0.004＋0.006＋a＋0.03＋0.024＋0.016)×10＝1，解得a＝0.02.(2)由频率分布直方图可知众数为70+802＝75由(0.004＋0.006＋0.02)×10＝0.3<0.5，(0.004＋0.006＋0.02＋0.03)×10＝0.6>0.5，所以中位数位于[70，80)之间，设中位数为x，则(0.004＋0.006＋0.02)×10＋(x－70)×0.03＝0.5，解得x＝2303≈76.7平均数为0.04×45＋0.06×55＋0.2×65＋0.3×75＋0.24×85＋0.16×95＝76.2.跟踪训练3解析：用频率分布直方图中最高矩形所在的区间的中点值作为众数的近似值，得众数为60+702＝因为0.03×10＝0.3<0.5，(0.03＋0.04)×10＝0.7>0.5，所以中位数在60～70之间，设中位数为x，则0.3＋0.04(x－60)＝0.5，解得x＝65，所以中位数为65.[随堂练习]1．解析：由于83出现的次数最多，所以众数是83，故A说法正确；把数据66，83，87，83，77，96按从小到大排列为66，77，83，83，87，96，中间两个数为83，83，所以中位数是83，故B说法正确；极差是96－66＝30，故C说法正确；由于平均数为(66＋83＋87＋83＋77＋96)÷6＝82，故D说法错误．答案：D2．解析：由题图，0.05×5＋0.1×15＋0.2×25＋0.3×35＋0.25×45＋0.1×55＝34.故选B.答案：B3．解析：将自1992年以来我国冬