因动点产生的相切问题

1/11.7因动点产生的相切问题【例12015年上海市闵行区中考模拟第24题】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2－2ax－4与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为(－3,0)，点D在线段AB上，AD＝AC．（1）求这条抛物线的解析式，并求出抛物线的对称轴；（2）如果以DB为半径的⊙D与⊙C外切，求⊙C的半径；（3）设点M在线段AB上，点N在线段BC上，如果线段MN被直线CD垂直平分，求的值．图1【思路点拨】1．准确描绘A、B、C、D的位置，把相等的角标注出来，利于寻找等量关系．2．第（3）题在图形中模拟比划MN的位置，近似DC垂直平分MN时，把新产生的等角与前面存在的等角对比，思路就有了．【满分解答】（1）将点A(－3,0)代入y＝ax2－2ax－4，得15a－4＝0．解得．所以抛物线的解析式为．抛物线的对称轴为直线x＝1．（2）由，得B(5,0)，C(0,－4)．由A(－3,0)、B(5,0)、C(0,－4)，得AB＝8，AC＝5．当AD＝AC＝5时，⊙D的半径DB＝3．由D(2,0)、C(0,－4)，得DC＝．因此当⊙D与⊙C外切时，⊙C的半径为（如图2所示）．（3）如图3，因为AD＝AC，所以∠ACD＝∠ADC．如果线段MN被直线CD垂直平分，那么∠ADC＝∠NDC．这时∠ACD＝∠NDC．所以DN//AC．于是．图2图3【考点伸展】解第（3）题画示意图的时候，容易误入歧途，以为M就是点O．这是为什么呢？我们反过来计算：当DN//AC，时，，因此DM＝DN＝．而DO＝2，你看M、O相距是多么的近啊．放大还原事实的真相，如图4所示．图4【例22014年上海市徐汇区中考模拟第25题】已知OA＝5，sin∠O＝，点D为线段OA上的动点，以A为圆心、AD为半径作⊙A．（1）如图1，若⊙A交∠O于B、C两点，设OD＝x，BC＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（2）将⊙A沿直线OB翻折后得到⊙A′．①若⊙A′与直线OA相切，求x的值；②若⊙A′与以D为圆心、DO为半径的⊙D相切，求x的值．图1【思路点拨】1．把不变的量先标记出来，圆心A到直线OB的距离AE＝3，翻折以后的圆心A′的位置不变，AA′＝2AE＝6．2．若⊙A′与直线OA相切，那么圆心A′到直线OA的距离等于圆的半径，由此自然就构造出垂线，以AA′为斜边的直角三角形的三边长就是确定的．3．探究两圆相切，在罗列三要素R、r、d的过程中，发现先要突破圆心距A′D．【满分解答】（1）如图2，作AE⊥BC，垂足为E，那么E是BC的中点．在Rt△OAE中，OA＝5，sin∠O＝，所以AE＝3．在Rt△BAE中，AB＝AD＝5－x，AE＝3，BE＝，由勾股定理，得．整理，得．定义域是0≤x＜2．图2图3（2）①如图3，将⊙A沿直线OB翻折后得到⊙A′，AA′＝2AE＝6．作A′H⊥OA，垂足为H．在Rt△A′AH中，AA′＝6，sin∠A′＝，所以AH＝，A′H＝．若⊙A′与直线OA相切，那么半径等于A′H．解方程，得．②如图4，在Rt△A′DH中，．对于⊙A′，R＝5－x；对于⊙D，r＝DO＝x；圆心距d＝A′D．如果两圆外切，由d＝R＋r，得．解得（如图4）．如果两圆内切，由d＝|R－r|，得．解得．所以两圆不可能内切．图4图5【考点伸展】当D为OA的中点时，⊙A′与以D为圆心、DA为半径的⊙D是什么位置关系？⊙A′和⊙D等圆，R＝，两圆不可能内切．当D为OA的中点时，DH＝AH－AD＝．此时．因此两圆的半径和大于圆心距，此时两圆是相交的（如图5）．【例32013年上海市杨浦区中考模拟第25题】如图1，已知⊙O的半径长为3，点A是⊙O上一定点，点P为⊙O上不同于点A的动点．（1）当时，求AP的长；（2）如果⊙Q过点P、O，且点Q在直线AP上（如图2），设AP＝x，QP＝y，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）在（2）的条件下，当时（如图3），存在⊙M与⊙O相内切，同时与⊙Q相外切，且OM⊥OQ，试求⊙M的半径的长．图1图2图3【思路点拨】1．第（1）题的计算用到垂径定理和勾股定理．2．第（2）题中有一个典型的图，有公共底角的两个等腰三角形相似．3．第（3）题先把三个圆心距罗列出来，三个圆心距围成一个直角三角形，根据勾股定理列方程．【满分解答】（1）如图4，过点O作OH⊥AP，那么AP＝2AH．在Rt△OAH中，OA＝3，，设OH＝m，AH＝2m，那么m2＋(2m)2＝32解得．所以．（2）如图5，联结OQ、OP，那么△QPO、△OAP是等腰三角形．又因为底角∠P公用，所以△QPO∽△OAP．因此，即．由此得到．定义域是0＜x≤6．图4图5（3）如图6，联结OP，作OP的垂直平分线交AP于Q，垂足为D，那么QP、QO是⊙Q的半径．在Rt△QPD中，，，因此．如图7，设⊙M的半径为r．由⊙M与⊙O内切，，可得圆心距OM＝3－r．由⊙M与⊙Q外切，，可得圆心距．在Rt△QOM中，，OM＝3－r，，由勾股定理，得．解得．图6图7