2023年中考数学一轮复习考点 直角三角形（基础篇）

专题5.10直角三角形（基础篇）

一、单选题

1.（2014•山东滨州•统考中考真题）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）

A.4,5,6B.1.5,2,2.5C.2,3,4D.1,3

2.（2022・四川资阳・中考真题）将直尺和三角板按如图所示的位置放置.若4=40。,

则N2度数是（）

A.60°B.50°C.40°D.30°

3.（2022.湖南永州.统考中考真题）如图，在RtZVLBC中，ZABC=90°,ZC=60°,

点。为边AC的中点，瓦）=2,则8c的长为（)

B

A.6B.2gC.2D.4

4.（2021・四川雅安・统考中考真题）如图，在RtABC中，ZABC=90°,点尸为AC中

点，O■E是ABC的中位线，若DE=6,则()

nf：c

A.6B.4C.3D.5

5.（2007•江苏连云港•中考真题）如图所示,直线/上有三个正方形。，b,c,若a,c

的面积分别为5和11,则b的面积为（）

A.4B.6C.16D.55

6.（2022.内蒙古.中考真题）如图，在；ABC中，AB=BC,以B为圆心，适当长为半

径画弧交84于点M,交BC于点N,分别以M,N为圆心，大于的长为半径画弧，两

弧相交于点D,射线8。交AC于点E,点尸为BC的中点，连接EF,若BE=AC=4,则4CEF

7.（2020•辽宁盘锦・中考真题）我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题.原

文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何.译

为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水

面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与

这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是x尺.根据题意，可列方程为（）

A.（X-1）2+52=/B.『+1。2=（X+1）2

C.（x-1）2+102—^D./+5?=（x+1）2

8.（2022♦四川南充•中考真题）如图,将直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转到△AB'C',

点"恰好落在C4的延长线上，ZB=30°,ZC=90°,则/84。'为（）

B

C

CAB'

A.90°B.60°C.450D.30°

9.（2022•湖北黄冈•统考中考真题）如图，在放△ABC中,ZC=90°,ZB=30°,AB

=8,以点C为圆心，。的长为半径画弧，交AB于点O,则弧4。的长为（）

33

10.（2022.山东济宁.统考中考真题）如图，三角形纸片ABC中，ZBAC=90°,AB=2,

AC=3.沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点。处；再折叠纸片，使点C

与点。重合，若折痕与AC的交点为E,则AE的长是（）

二、填空题

11.（2011•山东济南・中考真题）已知一个直角三角形的两边长分别为6和8,则第三边

长为.

12.（2022•江苏镇江•统考中考真题）如图，在；ABC和人ABD中，ZACB=ZADB=90°,

E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，若DE=1,则FG=.

D

13.（2018•全国・专题练习）如图，把AABC绕点C按顺时针方向旋转35°,得至I」△A'3'C,

A9交AC于点D,若NA'£>C=90。，则NA=°

14.（2022•山东枣庄•统考中考真题）在活动课上，“雄鹰组”用含30。角的直角三角尺设

计风车.如图，NC=90o,/4BC=30o,AC=2,将直角三角尺绕点A逆时针旋转得到△/18c,

使点。落在AB边上，以此方法做下去……则B点通过一次旋转至所所经过的路径长为

.（结果保留兀）

C--------------B

15.（2022.广西梧州.统考中考真题）如图，在ABC中，4CB=90,点。，E分别是

AB,AC边上的中点，连接8,OE.如果钻=5m,BC=3m,那么CD+DE的长是m.

16.（2022•江苏徐州•统考中考真题）如图，将矩形纸片ABC。沿CE折叠，使点B落在

边40上的点尸处.若点E在边AB上，AB=3,BC=5,则AE=.

17.（2014.四川凉山.统考中考真题）如图，圆柱形容器高为18cm,底面周长为24cm,

在杯内壁离杯底4cm的点8处有乙滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与

蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外币A处到达内壁B处的最短距离为.

18.（2021•广西玉林•统考中考真题）如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，甲、乙

轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里，

1小时后两船分别位于点A,8处，且相距20海里，如果知道甲船沿北偏西40。方向航行，

则乙船沿方向航行.

三、解答题

19.（2013•黑龙江绥化•中考真题）如图，在△ABC中,于点D,AB=S,ZABD=30°,

ZCAD=45°,求BC的长.

20.(2022・湖南湘西•统考中考真题)如图，在矩形ABCQ中，E为A8的中点，连接CE

并延长，交D4的延长线于点足

(1)求证：XAEF空XBEC.

(2)若C£>=4,/尸=30。，求CF的长.

21.(2021・贵州安顺・统考中考真题)如图，在矩形ABCD中，点〃在。C上，AM=AB,

且垂足为N.

(1)求证：ABNMMAD；

(2)若AO=2,AN=4,求四边形BCMN的面积.

22.(2022.浙江丽水•统考中考真题)如图，将矩形纸片ABC。折叠，使点B与点。重

合，点A落在点尸处，折痕为EF.

（1）求证：4PDE也4CDF；

(2)若C£>=4cm,EF=5cm,求BC的长.

23.（2016•湖北荆州•中考真题）如图，将一张直角三角形ABC纸片沿斜边A8上的中线

CD剪开，得到AACD,再将△ACO沿08方向平移到的位置，若平移开始后点。

未到达点8时，4c交CQ于E,DC交CB于点、F,连接EF,当四边形尸为菱形时,

试探究AA75E的形状，并判断△AZ>E与是否全等？请说明理由.

24.（2019•湖北省直辖县级单位•统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形

OABC的顶点坐标分别为0(0,0),A(12,0),B(8,6),C(0,6).动点P从点O出发，以每秒3个单

位长度的速度沿边向OA终点A运动；动点Q从点B同时出发，以每秒2个单位长度的速

度沿边BC向终点C运动.设运动的时间为t秒，PQ2=y.

(1)直接写出y关于t的函数解析式及t的取值范围：；

(2)当PQ=3正时，求t的值；

(3)连接OB交PQ于点D,若双曲线＞=幺。*0)经过点D,问k的值是否变化？若

X

参考答案

1.B

【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可.

解：A、42+52=41,62,不可以构成直角三角形，故本选项错误；

B、1.52+22=6.25=2.52,可以构成直角三角形，故本选项正确；

C、22+32=13*2,不可以构成直角三角形，故本选项错误：

D、F+(0『=3H32,不可以构成直角三角形，故本选项错误.

故选：B

【点拨】本题主要考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键.

2.B

【分析】如图，易知三角板的NA为直角，直尺的两条边平行，则可得N1的对顶角和N2

的同位角互为余角，即可求解.

解：如图，根据题意可知NA为直角，直尺的两条边平行，

AZ2=ZACB,ZACB+ZABC^9Q0,ZABC=Z\,

：.Z2=90°-Z1=90°-40°=50°,

故选：B.

【点拨】本题考查了对顶角，三角形内角和定理，平行线的性质，解题的关键是灵活运

用定理及性质进行推导.

3.C

【分析】根据三角形内角和定理可得N4=30。，由直角三角形斜边上的中线的性质得出

AC=2BD=4,再利用含30度角的直角三角形的性质求解即可.

解：VZABC=90°,ZC=60°,

，NA=30。，

•.•点。为边AC的中点，BD=2

：.AC=2BD=4,

：.BC=-AC=2,

2

故选：C.

【点拨】题目主要考查三角形内角和定理及直角三角形斜边上中线的性质，含30度角

的直角三角形的性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键.

4.A

【分析】由。£是，A3C的中位线，可得AC=12,在RtABC中，点F为AC中点，可

得即=6即可.

解：是,ABC的中位线，

."C=2M；=2x6=12,

•.•在RtABC中，NA8C=90。，点尸为AC中点，

/.BF=—AC=—x12=6,

22

故选择A.

【点拨】本题考查三角形中位线与三角形中线性质，掌握三角形中位线与三角形中线性

质是解题关键.

5.C

【分析】运用正方形边长相等，结合全等三角形和勾股定理来求解即可.

「小b,c都是正方形,

/.AC=CDfNACD=/ABC=/CED=9伊,

.：/ACB+NDCE=NACB+NBAC=90。,

:.ZDCE=ZBACf

在4ABe和△CEO中，

NBAC=NDCE

<NABC=NCED

AC=CD

.-.ZkABC^ACEZXAAS),

：・AB=CE,BC=DE,

在RtAABC中，由勾股定理得AC2=AB2+BC2=AB2+DE2,

Sb=S&+S,=11+5=16.

故选：c.

【点拨】此题主要考查对全等三角形和勾股定理的综合运用，结合图形求解，对图形的

理解能力要比较强，解题的关键是灵活运用正方形边长相等，结合全等三角形和勾股定理来

求解.

6.D

【分析】由尺规作图可知为48C的平分线,结合等腰三角形的性质可得

AE=CE=，AC=2,利用勾股定理求出AB、BC的长度，进而可得EF=AB=2亚,CF=；BC=

5即可得出答案.

解：由题意得，BE为/A8C的平分线，

AB=BC,

BELAC,AE=CE=-AC=2,

2

由勾股定理得，

48=3c="2+22=2石，

•.•点F为BC的中点，

，EF=gAB=&,CF=；BC=&,

...ACEF的周长为：石+石+2=2岔+2.

故选：D.

【点拨】本题考查尺规作图、等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握角平分线的作图

步骤以及等腰三角形的性质是解答本题的关键.

7.A

【分析】首先设芦苇长为x尺，则水深（x-1）尺，根据勾股定理可得方程.

解：设芦苇长为x尺，则水深（x-1）尺，

由题意得：（rl）2+52=/,

故选：A.

【点拨】本题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与

方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型.

8.B

【分析】根据直角三角形两锐角互余，求出/A4C的度数，由旋转可知4AC=NB'AC,

在根据平角的定义求出NB4C的度数即可.

解：VZB=30°,NC=90°,

ZB/1C=90°-ZB=90°-30°=60°,

由旋转可知ABAC=ZB'AC=60°，

ZBAC'=180°-ABAC-ABAC=180°-60°-60°=60°,

故答案选：B.

【点拨】本题考查直角三角形的性质以及图形的旋转的性质，找出旋转前后的对应角是

解答本题的关键.

9.B

【分析】连接CZ),根据NACB=90。，/8=30。可以得到/A的度数，再根据AC=C。以

及的度数即可得到NACC的度数，最后根据弧长公式求解即可.

解：连接CD,如图所示：

VACB=90°,ZB=30°,AB=8,

AZA=90°-30°=60°,AC=^AB=4,

由题意得：AC=CD,

...△ACC为等边三角形，

，ZACD=60°,

弘607rx44

••AO的k为：i&n=£乃'

1oUJ

故选：B.

【点拨】本题考查了弧长公式，解题的关键是：求出弧所对应的圆心角的度数以及弧所

在扇形的半径.

10.A

【分析】根据题意可得AO=A8=2,NB=NADB,CE=DE,/C=NCOE,可得

ZADE=90°,继而设AE=x,则CE=£>£=3-x,根据勾股定理即可求解.

解：•••沿过点A的直线将纸片折叠，使点8落在边8c上的点。处,

：.AD=AB=2,NB=NADB,

・・・折叠纸片，使点C与点。重合，

:・CE=DE,ZC=ZCDE,

VZB^C=90°,

/.ZB+ZC=90°,

；・ZADB+NCOE=90。，

・•・ZADE=90°,

222

：.AD+DE=AEt

设AE=x,则CE=DE=3・x,

/.22+(3-X)2=X2,

13

解得x

6

13

即AE=—

6

故选A

【点拨】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关

键.

II.10或2币##2将或10

【分析】分边长为8的边是斜边和直角边两种情况，再分别利用勾股定理即可得.

解：由题意，分以下两种情况：

(1)当边长为8的边是斜边时，

则第三边长为麻彳=25；

(2)当边长为8的边是直角边时，

则第三边长为正常=10；

综上，第三边长为10或2",

故答案为：10或2".

【点拨】本题考查了勾股定理，依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键.

12.1

【分析】由直角三角形斜边中线的性质得出A8=2DE,再由三角形中位线的性质可得

FG的长;

解：•••R3ABC中，点E是AB的中点，DE=\,

：.AB=2DE=2,

•.•点F、G分别是4C、BC中点，

FG=-AB=\,

2

故答案为：1

【点拨】本题考查了直角三角形的性质及三角形中位线的性质等知识；熟练掌握中位线

定理是解题的关键.

13.55

【分析】根据旋转的性质可得NAC4'=35。，ZA=ZA\再由直角三角形两锐角互余,

即可求解.

解：•.•把A48C绕点C按顺时针方向旋转35。，得到△A'5'C

ZAC4'=35。，ZA=ZA',

'：ZA'DC=90°,

：.NA'=55°

ZA=55°.

故答案为：55

【点拨】本题主要考查了图形的旋转，直角三角形两锐角的关系，熟练掌握旋转的性质，

直角三角形两锐角互余是解题的关键.

14.——

3

【分析】根据题意，点B所经过的路径是圆弧，根据直角三角形30。角所对的边等于斜

边的一半，易知A8=4,结合旋转的性质可知NBA夕=N3AC=60。,，最后求出圆弧的长度

即可.

解：VZC=90°,N4BC=30°,AC=2,

."8=2AC=4,N&4C=60。，

由旋转的性质得，ZBAB'=ZBAC^60°,

•••8点通过一次旋转至9所经过的路径长为肾-=T，

4万

故答案为：-1.

【点拨】本题主要考查了直角三角形30。角所对的边等于斜边的一半，旋转的性质，以

及圆弧的求法，熟练地掌握相关内容是解题的关键.

15.4

【分析】由4E分别是和AC的中点得到DE是AABC的中位线，进而得到

DE=-1BC=^3-,由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到£^=彳1川=5=，由此即

2222

可求出CD+DE.

解：♦.•£>、E分别是AB和AC的中点，

.,.。后是443c的中位线，

13

:.DE=-BC=-,

22

,/ZACB-90,

•••由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知：DC=^AB=|,

22

35

,CD+DE=-+-=4,

22

故答案为：4.

【点拨】本题考查了三角形的中位线定理及直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，属

于基础题，熟练掌握中位线定理是解决本题的关键.

,4,1

16.-##1-

33

【分析】由折叠性质可得CF=8C=5,BE=EF,由矩形性质有8=48=3,8c=40=5,

勾股定理求得。尸，AF.设BE=EF=x,则在直角三角形AE尸中，根据勾股定

理，建立方程，解方程即可求解.

解：由折叠性质可得CF=BC=5,BE=EF,

由矩形性质有CC=4B=3,BC=AD=5,

,:/£)=90°,

£>F=Jc产-CD?=4,

所以AF=AP—£)F=5-4=1,

所以BE=EF=x,则AE=ARBE=3-x,在直角三角形AEF中：

AE2+AF-=EF2,

(3-X)2+12=X2,

解得x=|

4

故答案为：—.

【点拨】本题考查了图形折叠的性质，勾股定理，矩形的性质，在直角三角形AEF中

运用勾股定理建立方程求解是关键.

17.20cm##20厘米

【分析】将杯子侧面展开，建立4关于E尸的对称点根据两点之间线段最短可知48

的长度即为所求.

解：如图，将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点4,连接48,则48即为最短距

离•

根据勾股定理，得

A'B=ylA'D2+BD2=V122+162=20m.

故答案为：20cm.

【点拨】本题考查了平面展开一最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股

定理进行计算是解题的关键.同时也考查了同学们的创造性思维能力.

18.北偏东50。（或东偏北偏北

【分析】由题意易得AP=12海里，28=16海里，ZAPN=40°,则有A尸+3/=A4，

所以NAPB=90。，进而可得NW>N=50。，然后问题可求解.

解：由题意得：AP=lxl2=12海里，PB=lxl6=16海里，ZAPN=40°,AB=20海里，

/•AP2+BP2=400=AB2.

ZAPB=90°,

：.ZBPN=50。,

乙船沿北偏东50。（或东偏北40。）方向航行;

故答案为北偏东50。（或东偏北40。）.

【点拨】本题主要考查勾股定理的逆定理及方位角，熟练掌握勾股定理的逆定理及方位

角是解题的关键.

19.473+4.

【分析】首先解RdAB。，求出40、8。的长度，再解心△AOC,求出力C的长度，

然后由BC=BD+DC即可求解.

解：于点£),

ZADB=ZADC=90°.

在RmABD中，

•；AB=8,NABQ=30。，

：.AD=^AB=4,BD=6AD=4g.

在RmADC中，

VZCAZ)=45°,ZADC=90°,

：.DC=AD=4.

：.BC=BD+DC=445+4.

20.(1)见分析(2)8

【分析】(1)先根据矩形性质得出4J//5C,然后证得NF=NBCE,再根据A4S即可

证明：ZiAEF0△BEC.

(2)根据矩形的性质得出ND=90。，然后根据/尸=30。得出C尸=2CD即可解答.

(1)证明：•••四边形A8C。是矩形，

AD//BC,

:.NF=NBCE,

是A8中点，

：.AE=EB,

,/NAEF=NBEC,

：./\AEF^/\BEC(AAS).

(2)解：；四边形ABC。是矩形，

ND=90。,

：CD=4,ZF=30°,

二C尸=28=2x4=8,

即CF的长为8.

【点拨】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、含30。角的直角三角形，解

题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型.

21.(1)见详解；(2)475-8

【分析】(1)由矩形的性质可得从而得NANANB,NBAN=NAMD,

进而即可得到结论；

(2)由,ABN会以及勾股定理得AN=DW=4,AB=2y[5,进而即可求解.

解：(1)证明：在矩形ABC。中，

AZD=90°,AB//CD,

：.NBAN=NAMD,

BNLAM,

；.NANB=90。,即：ND=4ANB,

又：AM=AB,

：.ABNgMAD(A4S),

(2),:—ABNgMAD、

：.AN=DM=4,

'：AD=2,

-AM=^+42=2x/5>

."B=2石，

矩形ABCD的面积=2石x2=4后,

又；SABN=SMAD=-1x2x4=4,

四边形BCMN的面积=4石44=4石-8.

【点拨】本题主要考查矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握

AAS证明三角形全等，是解题的关键.

22.(1)证明见分析(2)与cm

【分析】(1)利用ASA证明即可；

(2)过点E作EGJ_BC交于点G,求出尸G的长，设AE=xcm,用x表示出CE的长,

在放△2£：£>中，由勾股定理求得答案.

解：(1);四边形4BCQ是矩形，

：.AB=CD,ZA=ZB=ZADC=ZC=90°,

由折叠知，AB=PD,ZA=ZP,NB=NPDF=90。,

:・PD=CD,NP=NC,ZPDF=ZADC,

；・NPDF-NEDF=NADC-NEDF,

：.ZPDE=ZCDF,

在^PDE^\LCD/中，

'ZP=ZC

<PD=CD,

NPDE=/CDF

:・△PDE"4CDF(ASA)；

(2)如图，过点E作EGLBC交于点G,

,・♦四边形A5CO是矩形，

/.AB=CD=EG=4cn\,

又•:£F=5cm,GF=」EF?-EG?=3cm,

设AE=xcn\,

/•EP=xcn\,

由ARDE/△CW7知，EP=CF=xcm,

：.DE=GC=GF+FC=3+xf

在放△PED中，PE2-^-PD2=DE\

即x2+42=(3+x)2,

7

解得，尤=g

o

771A

BC—BG+GC=—H3H—=—(cm).

663

【点拨】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，根

据翻折变换的性质将问题转化到直角三角形中利用勾股定理是解题的关键.

23.是等腰三角形；证明过程见分析.

【分析】当四边形尸为菱形时，△4DE是等腰三角形，4A'DE咨LEFC'.先证明

CD=DA=DB,得到ND4c=NOC4,由AC〃4C即可得到NO4E=NQE4由此即可判断

△DVE的形状.由£F〃AB推出NC'EF=NDVE,ZA'DE=ZA'D'C=ZEFC,再根据

A'D=OE=EF即可证明.

解：当四边形£7)。尸为菱形时，△47JE是等腰三角形，

理由：•.♦△8CA是直角三角形，/AC8=90。，AD=DB,

：.CD=DA=DB,

：.ZDAC=ZDCA,

'：A'C//AC,

：.NDA，E=NA,ZDEA'=ZDCA,

：.ZDA'E=ZDEA',

：.DA'=DE,

...△4DE是等腰三角形.

•.•四边形。EF。是菱形，

:.EF=DE=DA',EF//DD',

：.NC'EF=NDA'E,NEFC=ZCD'A',

'：CD//C'D',

：.NA，DE=NA'D，C=NEFC',

在△和AEFC中，

ZEA'D=ZC'EF

<A'D=EF,

ZA'DE=ZEFC'

：.^\A'DE^/\EFC.

【点拨】本题主要考查了菱形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定，等腰三

角形的判定和性质，平移的性质，熟练掌握菱形的性质，全等三角形的判定，平移的性质是

解题的关键.

11432

24.（1）y=25r-80f+100（0<f<4）；（2）r,=l,r,=—；（3）——

'525

【分析】（1）过点尸作PELBC于点E,由点尸，。的出发点、速度及方向可找出当运

动时间为f秒时点尸，