边坡工程随机模糊可靠度的计算

边坡工程随机模糊可靠度的计算

在工程实践中，当对多组节结构裂缝或强风化岩边坡的岩石和土壤边坡进行稳定分析时，破坏面类型通常采用圆形。从总界面的角度来看，滑台可以视为一个单元，单元的可靠性就是边缘的可靠性。因此，可以通过计算单元的可靠性来计算滑台的可靠性。结果表明，岩石材料的空间变异性决定了测量结果的力学参数的模糊性，土壤试验的采样和试验差异决定了测量结果的随机性。同时，岩石的力学特性同时具有随机性和模糊性，其模糊性比其随机性更深刻、更一般。随着机性和模糊性的相互渗透，边滩工程的稳定性状态时的随机模糊性。在稳定性分析的过程中，岩石力学参数的随机-模糊数字特征被用来取代随机-模糊数字特征，以确定安全边坡的随机-模糊数字特征和分布，安全边坡的随机-模糊可靠性。在这项工作中，我们从延续性和干积的角度研究了倾斜滑动边坡的随机性和模糊性。1岩石力学变量的随机模糊数字特征1.1ni的选取试验获得某岩土力学变量(如力学参数)容量为n的样本值(x1,x2,…,xn),其随机-模糊平均值—xx—为σ2,随机-模糊方差为σ2,则—x=n∑i=1xiexp[-2(xi-—x)2/(d1max-d1min)]n∑i=1exp[-2(xi-—x)2/(d1max-d1min)]i=1,2,⋯,n(1)σ2=nn-1n∑i=1(xi-—x)2)exp{-2[(xi-—x)2)-σ2]2(d2max-d2min)}n∑i=1exp{-2[xi-—x)2-σ2]2/(d2max-d2min)}(2)其中,d1max、d1min和d2max、d2min分别为(xi-—x)2和[(xi-—x)2-σ2]2中的最大值、最小值.1.2[h关于[h-2[3关于3.2e]设x、y的样本分别为xi、yi,它们之间的随机-模糊协方差为mxymxy=n∑i=1(xi-—x)(yi-—y)exp{-2[(xi-—x)(yi-—y)-mxy]2/(d3max-d3min)}n∑i=1exp{-2[(xi-—x)(yi-—y)-mxy]2/(d3max-d3min)}(3)其中,d3max、d3min是[(xi-—x)(yi-—y)-mxy]2中的最大值、最小值.式(1)～(3)均为隐函数式,实际计算中采用迭代法,参见文献.2约束条件及约束条件岩土力学变量的概率分布可以通过求解线性约束规划问题而获得.目标函数为Η0=-n∑i=0pilnpi其目标是求目标函数最大值.约束条件为n∑i=1piμi=ξ,n∑i=1pixi=—xn∑i=1pi=1‚pi>0p(xj)≤p(xi),μA∼(xj)≤μA∼(xi)式中xi——变量x的样本值—x——样本值的随机-模糊均值pi——x取值xi的概率μi——隶属度,μi=μA∼(xi)ξ——待定常数有关这个线性约束规划的建立及其解法可参见文献.3变形横坐标具有圆弧型破坏面的边坡剖面如图1所示.采用垂直条分法.抗滑力和下滑力为R=n∑i=1fWicosβi+cLi(4)S=n∑i=1Wisinβi(5)式中f——岩体内摩擦因数c——岩体内聚力Li,Wi——第i个条块的弧长、质量βi——第i个条块底面与水平面的夹角当条块无穷划分时,式(4)和式(5)的积分形式为R=∫xAxBrf[g(x)-y(x)]√1+y′2(x)dx+c∫xAxB√1+y′2(x)dx(6)S=∫xAxB[g(x)-y(x)]√1+y′2(x)dx(7)式中r——岩体容重xB——破坏圆弧面在边坡面上出露点B的横坐标xA——破坏圆弧面在地平面上露点A的横坐标y(x)——破坏圆弧面方程g(x)——坡面方程设圆弧的半径为ρ,圆心在O(xo,yo),则有y(x)=yo-√ρ2-(x-xo)2(8)g(x)={xtanαxB≤x≤xCΗxC≤x≤xA(9)式中α,H——边坡坡角、坡高xC——坡面与地平面交会点C的横坐标将式(8)和式(9)代入式(6),得R=R1+R2+R3+R4+R5(10)其中R1=rftanαρ∫xCxBx√ρ2-(x-xo)2dx=rftanαρ{xo(x-xo)2√ρ2-(x-xo)2+xoρ22arcsinx-xoρ-13[ρ2-(x-xo)2]3/2}|xCxBR2=rfΗρ{x-xo2√ρ2-(x-xo)2+ρ22arcsinx-xoρ}|xAxCR3=-rfyoρ{x-xo2√ρ2-(x-xo)2+ρ22arcsinx-xoρ}|xAxBR4=rfρ{ρ2x-(x-xo)33}|xAxBR5=cρarcsin(x-xo)ρ|xAxB将式(8)和式(9)代入(7)式,得S=S1+S2+S3+S4(11)其中S1=rtanαρ{13x3-12xox2}|xCxBS2=rΗ2ρ{(x-xo)2}|xAxCS3=-ryo2ρ{(x-xo)2}|xAxBS4=-r3ρ{[ρ2-(x-xo)2]3/2}|xAxB令于是R=rfΔF1+rfΔF2+rfΔF3+rfΔF4+cΔF5S=r(ΔF6+ΔF7+ΔF8+ΔF9)令k1=ΔF1+ΔF2+ΔF3+ΔF4k2=ΔF5k3=ΔF6+ΔF7+ΔF8+ΔF9则R=k1rf+k2c(12)S=k3r(13)4随机-模糊均值的确定安全裕度定义为Ζ=R-S在工程实际中,对R和S的概率分布通常进行当量正态化处理,这样安全裕度Z也属于正态分布,于是—R=k1—r—f+k2—c—S=k3—rσ2R=k21—r2σ2f+k21—f2σ2r+2k1k2—rσfcσ2S=k23σ2r—Ζ=—R-—S=k1—r—f+k2—c+k3—r(14)σ2Ζ=σ2R+σ2S=k21—r2σ2f+k21—f2σ2r+2k1k2rσfc+k23σ2r(15)式中—Ζ——安全裕度的随机-模糊均值σ2——随机-模糊方差或协方差安全裕度Z的概率密度函数为p(Ζ)=1σΖ√2πexp[-12(Ζ-—ΖσΖ)2](16)5a的计算设Z>0,这一模糊事件的论域为A∼‚直接取安全裕度Z对A∼的隶属度为μA∼(Ζ)={1Ζ≥3σΖ12+12sinπΖ6σΖ-3σΖ<Ζ<3σΖ0Ζ≤-3σΖ(17)选取式(17)时考虑了以下情况.a.由式(17)可知,当Z=3σZ时,μA∼(Ζ)=1;当Z=-3σZ时,μA∼(Ζ)=0;当Z=0时,μA∼(Ζ)=0.5,这样就将模糊区间限于正负3倍误差以内,且Z=0时,以0.5的隶属度成为模糊区间的中点.b.由于R、S均为随机-模糊变量,按照前述的观点,它们的隶属函数应取为降半正态分布.由模糊数学的运算法则可知,安全裕度的隶属度μA∼(Ζ)取μB∼(R)和μS∼(S)中的较小者,也会是降半正态分布或分段降半正态分布.但是,降半正态分布具有这样的特点:当Z趋于负无穷时,μA∼(Ζ)趋于零,这意味着当响应比抗力极端大的情况下滑体仍有不滑的可能(只是可能性极小),这显然与工程实际不符.所以,降半正态分布的隶属函数用于可靠度计算时其尾部必须修正.选择式(17)的隶属函数既能截去降半正态分布的尾部,也能较好地与降半正态分布吻合.6prmin的计算步骤由岩土工程随机-模糊可靠度的概念和方法可知,这里边坡的随机-模糊可靠度为Ρr=∫∞-∞μA∼(Ζ)p(Ζ)dΖ(18)将式(16)和式(17)代入式(18),得Ρr=∫3σΖ-3σΖ(12+12sinπΖ6σΖ)1σΖ√2π⋅exp[-12(Ζ-—ΖσΖ)2]dΖ+∫∞3σΖ1σΖ√2π⋅exp[-12(Ζ-—ΖσΖ)]dΖ(19)显然,Pr是xA,yA,xB,yB,xC,yC,xo,yo,R的函数其中,3个独立的变量为xA,xB,xo,则式(19)可写为Ρr=Ρr(xA,xB,xo)(20)利用最优化理论求式(20)的最小值.整个边坡的随机-模糊可靠度的具体计算步骤可归纳为:a.由所获的岩土随机-模糊样本值按照前述的方法计算c、f及r等变量的随机-模糊均值、方差和协方差;b.依据前述的方法确定有关变量的概率分布和概型,并进行正态当量化;c.依据文献的方法确定岩体力学指标折减系数和概型;d.将坡面离散成N个点,得到(x1,B,x2,B,x3,B,…,xN,B)系列,将地平面的足够范围(按工程经验估计)离散成M个点,得到(x1,A,x2,A,x3,A,…,xM,A)系列.这样,搜索Prmin时需进行M×N次Pr的计算;e.依据式(14)和式(15)求出—Ζ、σZ2和Z的概率密度函数,并对其进行截尾正态分布处理;f.用数值积分计算式(19)的值,得到随机-模糊可靠度Pk,r;g.经过循环计算,得到系列值(P1,r,P2,r,P3,r,…,PM×N,r),选取Ρr=Μ×Νmink=1Ρk,r作为边坡工程的随机-模糊可靠度.7步长和0.30m图2是一个由中风化花岗闪长斑岩为主组成的岩石边坡,坡高为70m,坡脚为60°.在对其稳定性进行极限平衡分析时,xB的搜索范围为0～30m,步长为2m;xA的搜索范围为45～105m,步长为3,共计算了320个方案,经比较确定了潜滑面上3个点的坐标及其随机-模糊可靠度为B(0,0),D(30,17.5),A(60,70),Pr=88.47%.计算数据如表1所示,中间结果为f=0.753,c=20,r=2.7,σf=0.035,σc=25,σr=0.017,cov(f,c)=-0.281.8模糊事