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文档简介
4.3等比数列4.3.1等比数列的概念第1课时等比数列的概念1.借助教材实例理解等比数列、等比中项的概念.2.借助教材掌握等比数列的通项公式.3.会求等比数列的通项公式,并能利用等比数列的通项公式解决相关的问题.1.能够通过实际问题理解等比数列的定义,掌握等比中项的概念,熟练掌握等比数列的判定方法.(数学抽象、逻辑推理)2.掌握等比数列的通项公式及其应用,能用递推公式求通项公式.(逻辑推理、数学运算)等比数列的定义
知识点
1一般地,如果一个数列从_________起,每一项与它的前一项的比都等于_____________,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的_______,公比通常用字母_____表示(显然q≠0).第2项同一个常数公比q练一练:已知等差数列{an}的公差d≠0,它的第1、5、17项顺次成等比数列,则这个等比数列的公比是(
)A[解析]
数列{an}是公差为d≠0的等差数列,则an=a1+(n-1)d,则a5=a1+4d,a17=a1+16d,第1、5、17项顺次成等比数列,则(a1+4d)2=a1(a1+16d),解得a1=2d,故选A.等比中项
知识点
2等比数列a,G,b想一想:“a,G,b成等比数列”与“G2=ab”等价吗?提示:“a,G,b成等比数列”与“G2=ab”是不等价的.前者可以推出后者,但后者不能推出前者.如G=a=0,b=1,满足G2=ab,而0,0,1不成等比数列.因此“a,G,b成等比数列”是“G2=ab”的充分不必要条件.A.-1 B.1C.2 D.±1D所以a2与a4的等比中项是±1,故选D.等比数列的通项公式
知识点
3设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,则这个等比数列的通项公式是an=____________(a1,q≠0).a1qn-1想一想:关于等比数列通项公式的推导,除了教材方法外还有哪些方法?提示:方法一(迭代法)根据等比数列的定义,得an=an-1q=(an-2q)q=an-2q2=(an-3q)q2=an-3q3=…=a2qn-2=(a1q)qn-2=a1qn-1(n≥2);当n=1时,上面等式也成立.故当n∈N*时,an=a1qn-1.练一练:已知{an}是首项为2,公比为3的等比数列,则这个数列的通项公式为(
)A.an=2·3n+1 B.an=3·2n+1C.an=2·3n-1 D.an=3·2n-1[解析]
由已知可得a1=2,公比q=3,则数列{an}的通项公式为an=a1·qn-1=2·3n-1.C
判断下列数列是否是等比数列,如果是,写出它的公比.题型探究题型一等比数列的概念典例1[解析]
(1)不是等比数列.(2)是等比数列,公比为1.(4)不是等比数列.(5)是等比数列,公比为-4.A.是等差数列,也是等比数列B.是等差数列,不是等比数列C.是等比数列,不是等差数列D.不是等差数列,也不是等比数列对点训练❶D题型二等比数列的通项公式
在等比数列{an}中,公比为q.(1)若a1=1,a4=8,求an;(2)若an=625,n=4,q=5,求a1;(3)若a2+a5=18,a3+a6=9,an=1,求n.[解析]
(1)因为a4=a1q3,所以8=q3,所以q=2,所以an=a1qn-1=2n-1.典例2[规律方法]
等比数列通项公式的求法(1)根据已知条件,建立关于a1,q的方程组,求出a1,q后再求an,这是常规方法.(2)充分利用各项之间的关系,直接求出q后,再求a1,最后求an,这种方法带有一定的技巧性,能简化运算.对点训练❷C题型三等比中项的应用A.2 B.-2C.±2 D.4(2)设等差数列{an}的公差d不为0,a1=9d,若ak是a1与a2k的等比中项,则k等于(
)A.2 B.4C.6 D.8典例3CB[规律方法]
(1)当a,b同号时,a,b的等比中项有两个;当a,b异号时,a,b没有等比中项.(2)在一个等比数列中,从第2项起(有穷数列末项除外),每一项都是它的前一项与后一项的等比中项.
(1)已知数列{an}中an=2n,则a2和a4的等比中项为_______.(2)已知a是1,2的等差中项,b是-1,-16的等比中项,则ab=(
)A.6 B.-6C.±6 D.±12对点训练❸C±8[解析]
(1)∵an=2n,∴a2=22=4,a4=24=16,设a2和a4的等比中项为a,则a2=4×16=64,解得a=±8.题型四等比数列的判定与证明
已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1,bn=an+1(n∈N*).(1)求证:{bn}是等比数列;(2)求{an}的通项公式.[解析]
(1)证明:∵an+1=2an+1,∴an+1+1=2(an+1),即bn+1=2bn,(2)由(1)知{bn}是首项b1=2,公比为2的等比数列,∴bn=2×2n-1=2n,即an+1=2n,∴an=2n
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