2023版高三一轮总复习数学新教材老高考人教版教案：第7章 第2节　空间点、直线、平面之间的位置关系

缸会空间点、直线、平面之间的位置关

系

［考试要求］

L借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象

出空间点、直线、平面的位置关系的定义.

2.了解四个基本事实和一个定理，并能应用定理解决问题.

［走进教材•夯实基础］回顾知识•激活技能

€＞梳理•必备知识

1.基本事实

基本事实1过不在一条直线上的三个点,有且只有一个平面

如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线在这个平

基本事实2

面内

如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过

基本事实3

该点的公共直线

基本事实4平行于同一条直线的两条直线班

2.三个推论

推论1：经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面;

推论2：经过两条相交直线,有且只有一个平面;

推论3：经过两条隹直线，有且只有一个平面.

3.空间中直线与直线的位置关系

’相交直线,

共面直线

.平行直线,

异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.

提醒：分别在两个不同平面内的两条直线不一定为异面直线，他们关系也可

能平行或相交.

4.空间中直线与平面的位置关系

直线与平面的位置关系有：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平

行三种情况.

5.空间中平面与平面的位置关系

平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况.

6.定理

如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.

［常用结论］

1.异面直线判定的一个定理

与一个平面相交的直线和平面内不经过交点的直线是异面直线，如图所示.

2.唯一性定理

(1)过直线外一点有且另有一条直线与已知直线平行.

(2)过直线外一点有且R有一个平面与已知直线垂直.

(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.

(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直.

◎激活•基本技能

一'易错易误辨析(正确的打“，错误的打“义”)

(1)两个平面a,4有一个公共点A,就说a,4相交于过A点的任意一条直

线.

()

(2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.()

(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.()

(4)若直线a不平行于平面a,且aQa,则a内的所有直线与a异面.

()

［答案］(1)X(2)V(3)X(4)X

二、教材习题衍生

1.已知a,〃是异面直线，直线c平行于直线。，那么c与名)

A.一定是异面直线B.一定是相交直线

C.不可能是平行直线D.不可能是相交直线

C［由已知得直线c与Z?可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平

行直线，若。〃c,则a〃江与已知a,匕为异面直线相矛盾.］

2

2.下列命题正确的是（）

A.两个平面如果有公共点，那么一定相交

B.两个平面的公共点一定共线

C.两个平面有3个公共点一定重合

D.过空间任意三点，一定有一个平面

D［如果两个平面重合，则排除A,B两项；两个平面相交，则有一条交线，

交线上任取三个点都是两个平面的公共点，故排除C项；而D项中的三点不论

共线还是不共线，则一定能找到一个平面过这三个点.］

3.如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说法错误

的是（）

A.A3与CO是异面直线

B.GH与CD相交

C.EF//CD

D.EF与AB异面

D［把展开图还原成正方体，如图所示.

还原后点G与。重合，点B与尸重合，由图可知A、B、C选项正确，EF

与AB相交，故D错误，选D.］

4.两两平行的三条直线可确定个平面.

1或3［若三条直线在同一平面内，则确定1个平面.若三条直线不共面，

则确定3个平面.］

［细研考虑•突破题型］重难解惑■直击高考

考点一基本事实的应用，师生共研

［典例1］如图所示，正方体ABCO-AIBGOI中，E,尸分别是45和AAi的

中点.求证:

3

(1)E,C,D\,产四点共面；

(2)CE,D\F,D4三线共点.

［证明］⑴如图，连接ERCD\,AiB.

,:E,/分别是AB,44i的中点，

：.EF//BA\.

又：.EF//CD\,

：.E,C,Oi,E四点共面.

3：EF〃CD\,EF<CD\,

；.CE与Di/必相交，设交点为P,

则由PG直线CE,CEU平面ABCD,

得PW平面ABCD

同理Pe平面AODiAi.

又平面ABCDC平面ADD\A\=DA,

.•.PW直线D4,ACE,D\F,D4三线共点.

畲反思领悟共面、共线、共点问题的证明

证明共面先确定一个平面，然后再证其余的线(或

——

的方法点)在这个平面内

1①先由两点确定一条直线，再证其他各

证明共线

——点都在这条直线上;②直接证明这些点

的方法

1都在同一条特定直线上

证明线共

先证其中两条直线交于一点，再证其他

点的常用

直线经过该点

方法

［跟进训练］

4

1.如图所示，空间四边形ABC。中，E,F分别是AB,AO的中点，G,“分

别在BC,CO上，且BG：GC=DH：HC=1：2.

(1)求证：E,F,G,"四点共面；

(2)设EG与尸H交于点P,求证：

P,A,。三点共线.

［证明］(1)因为E,F分别为AB,A。的中点，

所以EF//BD.

在△BC。中，*=瞿=三,

CJC/7CZ

所以GH//BD,

所以EF//GH.

所以E,F,G,"四点共面.

(2)因为EGCFH=P,PSEG,EGU平面ABC,

所以PG平面ABC同理PG平面ADC.

所以P为平面ABC与平面AOC的公共点.

又平面ABCC平面AZ)C=AC,

所以PGAC,

所以P,A,C三点共线.

□考点二判断空间两直线的位置关系枷生共讲

［典例2］(1)若直线/1和/2是异面直线，/1在平面a内，/2在平面口内，/是

平面a与平面4的交线，则下列命题正确的是()3虺2逐

A./与/2都不相交

B./与/”/2都相交

C./至多与/2中的一条相交

D./至少与/2中的一条相交

(2)已知在长方体ABCD-A1B1GD1中，M,N分别是长方形与长方

形BCGB的中心，则下列说法正确的是()

5

A.直线MN与直线4B是异面直线

B.直线MN与直线DDi相交

C.直线MN与直线AC\是异面直线

D.直线MN与直线AC平行

(1)D(2)C[(1)法一：(反证法)由于/与直线/i,/2分别共面，故直线/与

11,/2要么都不相交，要么至少与/1,/2中的一条相交.若/〃妥l//h,则/|〃/2,

这与/”/2是异面直线矛盾.故/至少与/1,/2中的一条相交.

法二：(模型法)如图①，/1与/2是异面直线，/1与/平行，/2与/相交，故A,

B不正确；如图②，/|与/2是异面直线，/2都与/相交，故C不正确.

I,

图①图②

如图，因为M,N分别是长方形AiBiCiDi与长方形BCCiBi的中心，所以M,

N分别是4C,的中点，所以直线与直线48平行，所以A错误；因

为直线MN经过平面BBiDiD内一点M,且点M不在直线。。i上，所以直线MN

与直线。是异面直线，所以B错误；因为直线MN经过平面ABC内一点N,

且点N不在直线AG上，所以直线MN与直线AG是异面直线，所以C正确；

因为直线MN经过平面AiCCi内一点M,且点M不在直线AiC上，所以直线

MN与直线AiC是异面直线，所以D错误.]

令反思领悟空间中两直线位置关系的判定方法

一

空Y异面直线：直接法或反证法

间

两可构造

行关

系

平

直判

实

事几何模

本

线定4技

位

理

定型(长

置方巧方体或

关正方体)

系

一二垂直关系:利用线面垂直性质判定

I____________________________________________>

[跟进训练]

2.如图，在正方体ABCO-AiBGDi中，M,N分别为棱GOi,GC的中点,

6

有以下四个结论:

①直线AM与CG是相交直线；

②直线AM与是平行直线；

③直线BN与MB\是异面直线；

④直线AM与DDi是异面直线.

其中正确结论的序号为.

③④[直线AM与CG是异面直线，直线AM与8N也是异面直线，所以①②

错误.点8,B\,N在平面BB1C1C中，点M在此平面外，所以BN,M3是异

面直线.同理AM,DDi也是异面直线.]

□考点三正方体的切割(截面)问题枷生共研

[典例3](1)已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面a所成的角都相

等，则a截此正方体所得截面面积的最大值为()

逮岖「也口立

/>.»4D«3*•41—•2

(2)在正方体ABCD-AiBCDi中，E是3C的中点，平面a经过直线8。且与

直线GE平行，若正方体的棱长为2,则平面a截正方体所得的多边形的面积为

(1)A(2)|[(1)如图所示，在正方体ABCD-AiBGOi中，平面ABQi与棱

AiA,A\B\,AiZJi所成的角都相等，又正方体的其余棱都分别与AiA,A\B\,A\D\

平行，故正方体ABCD-AxB\C\D\的每条棱所在直线与平面ABDi所成的角都相

等.

7

D\H

EB

如图所示，取棱AB,BB\,BiCi,CiDi,DD\,AO的中点E,F,G,H,

M,N,则正六边形EFGHMN所在平面与平面ABiQi平行且面积最大，此裁面

面积为S正六边影EFGHMN=6X^X坐义旁sin60。=今［.

(2)如图，过点B作BM//C\E交BiCi于点M,过点M作BD的平行线，交

CiDi于点、N,连接DN,则平面8OM0即为符合条件的平面a,

因为E为8C的中点，可知M,N分别为BiCi,GOi的