第14章 勾股定理 章末检测卷（解析版）

第14章勾股定理章末检测卷（华东师大版）姓名：__________________班级：______________得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，考试时间90分钟，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2021·山西八年级期末）根据勾股定理，任意直角三角形的两条直角边长，，和斜边长都是含三个未知数的方程的一组解，而每一组勾股数（例如3，4，5；5，12，13；等）都是这个方程的正整数解．高于二次的方程，，，…是否也有正整数解呢？法国数学家费马经过研究得出结论：当自然数时，方程没有正整数解．这个命题的证明引起了世界各国数学家的关注，最终由英国数学家怀尔斯于1995年完成了证明．困扰了数学家300多年历史的数学难题终于得到解决，在解决这一数学难题的过程中，反映了一代代数学家艰苦探索、不屈不挠的科学精神和聪明慧．这个定理的证明被称为“世纪性的成就”．这个定理指的是（）A．费马大定理 B．怀尔斯大定理 C．勾股定理 D．勾股定理的逆定理【答案】A【分析】根据“法国数学家费马经过研究得出结论：当自然数时，方程没有正整数解，”即可得到答案．【详解】法国数学家费马经过研究得出结论：当自然数时，方程没有正整数解．∴这个定理指的是费马大定理故选A【点睛】本题主要考查了学生对于数学课外阅读的认知程度，解题的关键是要多了解有关数学的课外知识．2．（2020·成都市初二期中联考）某航空公司经营中有A、B、C、D这四个城市之间的客运业务．它的部分机票价格如下：A﹣B为2000元；A﹣C为1600元；A﹣D为2500元；B﹣C为1200元；C﹣D为900元．现在已知这家公司所规定的机票价格与往返城市间的直线距离成正比，则B﹣D的机票价格（）A．1400元 B．1500元 C．1600元 D．1700元【答案】B【分析】这家公司所规定的机票价格与往返城市间的直线距离成正比，不妨把两地价格看为是两点间的距离，则由AC2+BC2=AB2可以知道∠ACB是直角．又AD=AC+CD，故A，C，D在一条直线上，利用勾股定理即可解出BD的长，即是B﹣D的机票价格．【解析】把两地价格看为是两点间的距离，则AB＝2000，AC＝1600，AD＝2500，BC＝1200，CD＝900．∵16002+12002=20002，∴AC2+BC2=AB2，∴∠ACB是直角，∵2500＝1600+900，即AD=AC+CD，∴A，C，D在一条直线上，∴∠BCD是直角，∴BD=＝＝1500，即B﹣D的机票价格为1500元.故选B.【点睛】本题考查了两点间的距离、勾股定理及其逆定理.利用勾股定理的逆定理判断出∠ACB为直角是解题的关键.3．（2021·陕西九年级）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，于点D，则AD的长为（）A．1 B．2 C． D．【答案】B【分析】根据勾股定理计算BC的长，再利用面积差可得三角形ABC的面积，由三角形的面积公式即可得到结论．【详解】解：由勾股定理得：，∵，∴，∴，故选：B．【点睛】本题考查了勾股定理，三角形的面积的计算，掌握勾股定理是解题的关键．4．（2021·江苏九年级一模）如图，等边中，，点是边上一点，则的最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．【答案】D【分析】过A点作AH⊥BC于H，如图，利用等边三角形的性质得到BH＝CH＝3，利用勾股定理计算出AH＝3，然后根据垂线段最短解决问题．【详解】解：过A点作AH⊥BC于H，如图，

∵△ABC为等边三角形，∴BH＝CHBC＝3，∴AH3，当P点与H点重合时，AP的值最小，∴AP的最小值是3．故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理，等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．也考查了垂线段最短．5．（2021·河南八年级期末）如图，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…按照此规律继续下去，则的值为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据等腰直角三角形的性质可得出，写出部分的值，根据数的变化找出变化规律“”（n≥3），依此规律即可得出结论．【详解】解：在图中标上字母，如图所示．∵正方形的边长为2，为等腰直角三角形，∴，，∴．观察，发现规律：，，，S，…，∴．当时，，故选：A．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理以及规律型中数的变化规律，解题关键是找出规律“”，解决该题目时，写出部分的值，根据数值的变化找出变化规律是关键．6．（2021·陕西八年级期中）如图所示有一“工”字形的机器零件它是轴对称图形，图中所有的角都是直角，图中数据单位：，那么、两点之间的距离为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】作于点，求出BC，AC，然后根据勾股定理计算即可．【详解】解：作于点，如下图所示由图可得，由勾股定理得：即A、B两点之间的距离为故选A．【点睛】本题考查了勾股定理，构造出直角三角形是解题关键．7．（2021·河南八年级期末）如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖）高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的A处有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，A的相对方向有一小虫P，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖处的最短距离是（）A．厘米 B．10厘米 C．厘米 D．8厘米【答案】B【分析】把圆柱沿着点A所在母线展开，把圆柱上最短距离转化为将军饮马河型最短问题求解即可.【详解】把圆柱沿着点A所在母线展开，如图所示，作点A的对称点B，连接PB，则PB为所求，根据题意，得PC=8，BC=6，根据勾股定理，得PB=10，故选B.【点睛】本题考查了圆柱上的最短问题，利用圆柱展开，把问题转化为将军饮马河问题，灵活使用勾股定理是解题的关键.8．（2021·黑龙江省桦南实验中学初二期中）△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长为A．42 B．32 C．42或32 D．37或33【答案】C【分析】存在2种情况，△ABC是锐角三角形和钝角三角形时，高AD分别在△ABC的内部和外部【解析】情况一：如下图，△ABC是锐角三角形∵AD是高，∴AD⊥BC∵AB=15，AD=12∴在Rt△ABD中，BD=9∵AC=13，AD=12∴在Rt△ACD中，DC=5∴△ABC的周长为：15+12+9+5=42情况二：如下图，△ABC是钝角三角形在Rt△ADC中，AD=12，AC=13，∴DC=5在Rt△ABD中，AD=12，AB=15，∴DB=9∴BC=4∴△ABC的周长为：15+13+4=32故选：C【点睛】本题考查勾股定理，解题关键是多解，注意当几何题型题干未提供图形时，往往存在多解情况.9．（2021·山西八年级期末）如图，图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若，将四个直角三角形中的边长为的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意∠ACB为直角，AD=6，利用勾股定理求得BD的长，进一步求得风车的外围周长．【详解】解：依题意∠ACB为直角，AD=6，∴CD=6+6=12，由勾股定理得，BD2=BC2+CD2，∴BD2=122+52=169，所以BD=13，所以“数学风车”的周长是：(13+6)×4=76．故选：D．【点睛】本题是勾股定理在实际情况中应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．在直角三角形中，如果两条直角边分别为a和b，斜边为c，那么a2+b2=c2．10．（2021·江苏西附初中八年级月考）如图，中，，，，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段的长为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据折叠的性质可知AC=CD，∠A=∠CDE，CE⊥AB，Rt△ABC中根据勾股定理求得AB=5，再根据三角形的面积可求得B′F的长．【详解】解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝5，根据折叠的性质可知AC＝CD，∠A＝∠CDE，CE⊥AB，∴B′D＝BC﹣CD＝4﹣3＝1，∠DCE+∠B′CF＝∠ACE+∠BCF，∵∠ACB＝90°，∴∠ECF＝45°，∴△ECF是等腰直角三角形，∴EF＝CE，∠EFC＝45°，∴∠BFC＝∠B′FC＝135°，∴∠B′FD＝90°，∵S△ABC＝AC•BC＝AB•CE，∴AC•BC＝AB•CE，∴CE＝，∴EF＝，ED＝AE＝，∴DF＝EF﹣ED＝∴B′F＝．选：A．【点睛】此题主要考查了翻折变换，勾股定理的应用等，根据折叠的性质求得相等的角是本题的关键．11．（2021·湖南八年级期末）如图，在中，，，点D，E为BC上两点．，F为外一点，且，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是

A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．②③【答案】A【分析】①利用全等三角形的判定得≌，再利用全等三角形的性质得结论；②利用全等三角形的判定和全等三角形的性质得，再利用勾股定理得结论；③利用等腰三角形的性质得，再利用三角形的面积计算结论；④利用勾股定理和等腰直角三角形的性质计算得结论．【详解】解：如图：

对于①，因为，所以，，因此．又因为，所以．又因为，所以．因此≌，所以．故①正确．对于②，由①知≌，所以．又因为，所以，连接FD，因此≌．所以．在中，因为，所以．故②正确．对于③，设EF与AD交于G．因为，所以．因此．故③正确．对于④，因为，又在中，又是以EF为斜边的等腰直角三角形，所以因此，故④正确．故选A．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，全等三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质和三角形的面积．12．（2021·全国初二课时练习）如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB2．试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a且AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB＝（）A．6

B．8 C．10 D．12【答案】B【分析】MN表示直线a与直线b之间的距离，是定值，只要满足AM+NB的值最小即可．过A作直线a的垂线，并在此垂线上取点A′，使得AA′＝MN，连接A'B，则A'B与直线b的交点即为N，过N作MN⊥a于点M．则A'B为所求，利用勾股定理可求得其值．【解析】过A作直线a的垂线，并在此垂线上取点A′，使得AA′＝4，连接A′B，与直线b交于点N，过N作直线a的垂线，交直线a于点M，连接AM，过点B作BE⊥AA′，交射线AA′于点E，如图，∵AA′⊥a，MN⊥a，∴AA′∥MN．又∵AA′＝MN＝4，∴四边形AA′NM是平行四边形，∴AM＝A′N．由于AM+MN+NB要最小，且MN固定为4，所以AM+NB最小．由两点之间线段最短，可知AM+NB的最小值为A′B．∵AE＝2+3+4＝9，AB2=120，∴BE2．∵A′E＝AE﹣AA′＝9﹣4＝5，∴A′B8．所以AM+NB的最小值为8．故选B．【点睛】本题考查了勾股定理的应用、平行线之间的距离，解答本题的关键是找到点M、点N的位置，难度较大，注意掌握两点之间线段最短．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13．（2021·江苏中考真题）《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“仅有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺．如果把芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B'（示意图如图，则水深为__尺．【答案】12【分析】依题意画出图形，设芦苇长AB=AB'=x尺，则水深AC=（x﹣1）尺，因为B'E=10尺，所以B'C=5尺，利用勾股定理求出x的值即可得到答案．【详解】解：依题意画出图形，设芦苇长AB=AB'=x尺，则水深AC=（x﹣1）尺，因为B'E=10尺，所以B'C=5尺，在Rt△AB'C中，52+（x﹣1）2=x2。解之得x=13，即水深12尺，芦苇长13尺．故答案为：12．．【点睛】此题考查勾股定理的实际应用，正确理解题意，构建直角三角形利用勾股定理解决问题是解题的关键．14．（2021·山东八年级期中）如图，在中，，，，则内部五个小直角三角形的周长的和为______．【答案】30cm【分析】由图形可知，内部小三角形直角边是大三角形直角边平移得到的，故内部五个小直角三角形的周长为大直角三角形的周长．【详解】解：∵在△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，∴AB==13，由图形可以看出：内部小三角形直角边是大三角形直角边平移得到的，故内部五个小直角三角形的周长为AC+BC+AB=30(cm)．故答案为：30cm．【点睛】本题考查了平移的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．需要注意的是：平移前后图形的大小、形状都不改变．15．（2020·浙江省开化县第三初级中学八年级期中）如图，以的三边为直径，分别向外作半圆，构成的两个月牙形面积分别为、，的面积．若，，则的值为________．【答案】12【分析】根据勾股定理和圆的面积公式即可求得的值．【详解】解：设Rt△ABC的三边分别为a、b、c，则，观察图形可得：，即，∵，∴=，∴=4+8=12，故答案为：12．【点睛】本题考查了勾股定理、圆的面积，熟记圆的面积公式，利用等面积法得出等量关系是解答的关键．16．（2020·辽宁大石桥）如图，，，，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着方向匀速滚向点，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球，如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，则机器人行走的路程BC为__________．【答案】5m【分析】由题意根据小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，得到BC=AC，设BC=AC=xm，根据勾股定理求出x的值即可．【解析】解：∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，∴BC=AC，设BC=AC=xm，则OC=（9-x）m，在Rt△BOC中，∵OB2+OC2=BC2，∴32+（9-x）2=x2，解得x=5．故答案为：5m．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，熟知在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．17．（2021·贵州九年级）如图，矩形中，，，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，边与交于点，延长交于点，若，则的长为______．【答案】【分析】连接，过点作，设，分别解得的长，继而证明，由全等三角形的性质得到，由此解得，最后在中，利用勾股定理解得的值，据此解题．【详解】如图，连接，过点作，设，则矩形中在与中，在中，，故答案为：．【点睛】本题考查旋转变换、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．18．（2021·四川省内江市第六中学九年级）如图，在RtABC的纸片中，∠C＝90°，AC＝7，AB＝25．点D在边BC上，以AD为折痕将ADB折叠得到，与边BC交于点E．若为直角三角形，则BD的长是_____．【答案】17或【分析】由勾股定理可以求出的长，由折叠可知对应边相等，对应角相等，当为直角三角形时，可以分为两种情况进行考虑，分别利用勾股定理可求出的长．【详解】解：在中，，（1）当时，如图1，过点作，交的延长线于点，由折叠得：，，设，则，，在中，由勾股定理得：，即：，解得：（舍去），，因此，．（2）当时，如图2，此时点与点重合，由折叠得：，则，设，则，，在△中，由勾股定理得：，解得：，因此．故答案为：17或．【点睛】本题考查了翻折变换，直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是：分类讨论思想的应用注意分类的原则是不遗漏、不重复．三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2021·山东七年级期末）年是第六届全国文明城市创建周期的第三年，是“强基固本、全力冲刺”的关键之年．“创城”，既能深入改变一座城市的现代化进程，也能深刻影响生活在此间的人们．某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地．如图，已知，，，，技术人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间距离，便快速确定了．（1）请写出技术人员测量的是哪两点之间的距离以及确定的依据；（2）若平均每平方米空地的绿化费用为元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？【答案】（1）测量的是点，之间的距离，依据是：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形．（或：勾股定理的逆定理），见解析；（2）绿化这片空地共需要元【分析】（1）根据勾股定理的逆定理即可判断；（2）由（1）中BD的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出△BCD的形状，再利用三角形的面积公式，最后计算费用即可．【详解】（1）测量的是点，之间的距离；依据是：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形．（或：勾股定理的逆定理）．（2）如图，连接，，，，，由勾股定理，得，又，，，是直角三角形，．．绿化费用为：（元）．答：绿化这片空地共需要元．【点睛】本题考查的是勾股定理，勾股定理的逆定理及三角形的面积，能根据勾股定理的逆定理判断出△ABD的形状是解答此题的关键．20．（2021·湖南八年级期末）定义：如图，点、把线段分割成、、，若以、、为边的三角形是一个直角三角形，则称点、是线段的勾股分割点．（1）已知、把线段分割成、、，若，，，则点、是线段的勾股分割点吗？请说明理由．（2）已知点、是线段的勾股分割点，且为直角边，若，，求的长．【答案】（1）是，理由见解析；（2）或【分析】（1）根据勾股定理逆定理即可判断．（2）设BN＝x，则MN＝12﹣AM﹣BN＝7﹣x，分两种情形①当MN为斜边时，依题意MN2＝AM2+NB2；②当BN为斜边时，依题意BN2＝AM2+MN2；分别列出方程即可解决问题．【详解】解：（1）是．理由：，，，、、为边的三角形是一个直角三角形．故点、是线段的勾股分割点．（2）设，则，①当为最大线段时，依题意，即，解得；②当为最大线段时，依题意．即，解得综上所述的长为或．【点睛】本题考查了勾股定理逆定理，解题的关键是理解题意，分类讨论，熟练运用勾股定理逆定理列出方程．21．（2020·江西八年级期中）如图，地面上放着一个小凳子，点距离墙面，在图①中，一根细长的木杆一端与墙角重合，木杆靠在点处，．在图②中，木杆的一端与点重合，另一端靠在墙上点处．（1）求小凳子的高度；（2）若，木杆的长度比长，求木杆的长度和小凳子坐板的宽．【答案】（1）30cm；（2）木杆长100cm，AB=40cm．【分析】（1）如图①，过作垂直于墙面，垂足于点，由，利用勾股定理在中，即可；（2）如图②，延长交墙面于点，可得，利用勾股定理在中，构造方程求解即可．【详解】解：（1）如图①，过作垂直于墙面，垂足于点，根据题意可得：，在中，，即凳子的高度为；（2）如图②，延长交墙面于点，可得，设，则，，，在中，，，，．

【点睛】本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理应用的条件与结论，关键是构造出符合条件的图形是解题关键．22．（2021·山东八年级期末）如图，笔直的公路上A、B两点相距22km，C、D为公交公司两停车场，CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，已知CA=6km，DB=16km，现在要在公路的AB段上建一个加油站M，使得C、D公交公司两停车场到加油站M的距离CM=DM，则加油站M应建在离B点多远处？【答案】6km【分析】根据CM=DM，CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，可得∠A=∠B=90°，由勾股定理得AC2+AM2=BM2+BD2，设BM=xkm，AM=(22-x)km，可得方程，解之即可．【详解】解：∵使得C、D公交公司两停车场到加油站M的距离相等，∴CM=DM，∵CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，∴∠A=∠B=90°，∴AC2+AM2=CM2，BM2+BD2=MD2，∴AC2+AM2=BM2+BD2，设BM=xkm，AM=(22-x)km，CA=6km，DB=16km，∴，解得，加油站M应建在离B点6km远．【点睛】本题考查勾股定理应用，拓展一元一次方程，掌握勾股定理使用条件，一元一次方程的解法是解题关键．23．（2020·山西八年级期末）阅读材料，并解决问题．有趣的勾股数定义：勾股数又名毕氏三元数．凡是可以构成一个直角三角形三边长的一组正整数，称之为勾股数．一般地，若三角形三边长，，都是正整数，且满足，那么数组称为勾股数．公元263年魏朝刘徽著《九章算术注》，文中除提到勾股数以外，还提到，，，等勾股数．数学小组的同学研究勾股数时发现：设，是两个正整数，且，三角形三边长，，都是正整数．下表中的，，可以组成一些有规律的勾股数．213453251213411581743724255221202954940416135123765116061724528537433566576138485通过观察这个表格中的数据，小明发现勾股数可以写成．解答下列问题：（1）表中可以用，的代数式表示为_____________．（2）若，，则勾股数为______________．（3）小明通过研究表中数据发现：若，则勾股数的形式可表述为（为正整数），请你通过计算求此时的．(用含的代数式表示)【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）根据表格中提供的数据可得答案；（2）把，代入即可求解；（3）根据勾股定理求解即可；【详解】（1）∵4=2×2×1，12=2×3×2，8=2×4×1，24=2×4×3，…，∴，故答案为：；（2）当，时，a=m2-n2=42-22=12，=2×4×2=16，c=m2+n2=42+22=20，∴勾股数为，故答案为：；（3）根据题意，得，∴，解得．【点睛】本题考查了数字类规律探究，以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．在直角三角形中，如果两条直角边分别为a和b，斜边为c，那么a2+b2=c2．也就是说，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．24．（2021·山东滨州市·八年级期末）勾股定理是人类重大科学发现之一．我国古代数学书《周髀算经》记载，约公元前11世纪，我国古代劳动人民就知道“若勾三，股四，则弦五”，比西方早500多年．请你运用学到的知识、方法和思想探究以下问题．（探究一）我国汉代数学家赵爽创制了“赵爽弦图”，通过图形切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．古往今来，人们对勾股定理的证明一直保持着极大的热情．意大利著名画家达·芬奇用两张一样的纸片，拼出不一样的空洞，利用空洞面积相等也成功地证明了勾股定理（如图）．请你写出这一证明过程（图中所有的四边形都是正方形，三角形都是直角三角形）．（探究二）在学习勾股定理的过程中，我们获得了以下数学活动经验：分别以直角三角形的三边为边向外侧作正方形（如图2），它们的面积，，之间满足的等量关系是：__________．迁移应用：如图3，图中所有的四边形都是正方形，三角形都是直角三角形．若正方形，，，的边长分别是，，，，则正方形的面积是________．（探究三）如图4，分别以直角三角形的三边为直径向外侧作半圆，则它们的面积，，之间满足的等量关系是________．迁移应用：如图5，直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边长为，分别以三边为直径作半圆．若，，则图中阴影部分的面积等于________．（探究四）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尺．问索长几何．译文：今有一竖立着的木柱，在木桩的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有尺．牵着绳索（绳索与地面接触）退行，在距木柱根部尺处时绳索用尽．问绳索长多少？【答案】【探究一】：见解析；【探究二】：S1+S2=S3；迁移应用：47；【探究三】S1+S2=S3；迁移应用：30；【探究四】绳索长为尺．【分析】【探究一】根据直角三角形以及正方形的面积公式计算即可解决问题．【探究二】由正方形面积公式以及勾股定理得S1+S2=S3；迁移应用：根据正方形的面积公式，结合勾股定理，能够导出正方形A，B，C，D的面积和即为正方形E的面积；【探究三】利用直角△ABC的边长就可以表示出半圆S1、S2、S3的大小；迁移应用：求出阴影部分的面积等于直角三角形的面积，然后列式计算即可得解；【探究四】设绳索长为x尺，根据勾股定理列出方程解答即可．【详解】解：【探究一】：由题意得：②的面积为a2+b2+2ab=a2+b2+ab；图③的面积为c2+2ab=c2+ab，∴a2+b2+ab=c2+ab，即a2+b2=c2；【探究二】S1+S2=S3．证明如下：∵S3=c2，S1=a2，S2=b2，∴S1+S2=a2+b2=c2=S3；故答案为：S1+S2=S3；迁移应用：根据勾股定理的几何意义，可知SE=SF+SG=SA+SB+SC+SD=32+52+32+22=47；故答案为：47；【探究三】S1+S2=S3．证明如下：∵S3=πc2，S1=πa2，S2=πb2，∴S1+S2=πa2+πb2=πc2=S3；故答案为：S1+S2=S3；迁移应用：阴影部分面积和=S1+S2+ab-S3=ab，∵a=5，c=13，∴12，∴阴影部分面积和=×5×12=30，故答案为：30；【探究四】设绳索长为x尺，根据题意得：x2-（x-3）2=82，解得：x=，答：绳索长为尺．【点睛】本题考查了勾股定理的证明及应用，读懂题目材料的信息并用两种方法准确表示出同一个图形的面积是解题的关键．25．（2020·河北大名）如图，中，，，，若点从点出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为秒.（1）若点在上，且满足时，求出此时的值；（2）若点恰好在的角平分线上，求的值；（3）在运动过程中，直接写出当为何值时，为等腰三角形.【答案】（1）；（2）；（3），，或.【分析】（1）设存在点P，使得PA=PB，此时PA=PB=2t，PC=4-2t，根据勾股定理列方程即可求出答案；（2）过P作PE⊥AB，此时，根据角平分线的性质和勾股定理列方程进行解答即可（3）分类讨论：当CP=CB时；当PC=PB时，当BP=BC时，列方程进行解答即可得出答案【解析】解：（1）在中，设存在点，使得，此时，，在中，，即：，解得：当时，；（2）当点在的平分线上时，如图1，过点作于点，图1图2图3此时，，，在中，，即：，解得：，当时，在的角平分线上；（3）根据题意得：，①当在上时，为等腰三角形，，即，，②当在上时，为等腰三角形，（i）若，点在的垂直平分线上，如图2，过作于，，，即，解得：，（ii）若，即，解得：，（iii），如图3，过作于，，当，，或时，为等腰三角形.【点睛】本题考查勾股定理的应用，等腰三角形的性质等，解题的关键是掌握勾股定理和分类讨论的思想.26．（2021·河北八年级月考）已知△ABC