2023版高三一轮总复习数学新教材老高考人教版教案：第2章 第1节　函数的概念及其表示

第二章函数

篇U函数的概念及其表示

［考试要求］

1.了解构成函数的要素，会求简单函数的定义域和值域.

2.在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解

析法)表示函数.

3.了解简单的分段函数，并能简单应用.

［走进教材-夯实基础］回顾知识•激活技能

€＞梳理•必备知识

1.函数的概念

一般地，设A,B是非空的实数集,如果对于集合A中的任意一个数X,按

照某种确定的对应关系f,在集合B中都有唯一确定的数Y和它对应,那么就称

f：A-B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x),xGA.

2.函数的定义域、值域

(1)在函数y=f(x),x6A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定

义域;与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合［f(x)|x£A｝叫做函数的

值域.

⑵如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,则这两个函数为

同一个函数.

3.函数的表示法

表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.

4.分段函数

若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系,

这样的函数通常叫做分段函数.

提醒：分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定

义域的并集，值域是各段值域的并集.

［常用结论］

1.与X轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点.

2.常见函数定义域的求法

类型光满足的条件

2yf(元)(〃£N*)

2"+,\(x)(〃WN*)/U)有意义

")与网)］。

\oguf(x)(a>0且

小,)(。>0且aWl)7U)有意义

tan四尤)]〉*)壬、+E,kGZ

四则运算组成的函数各个函数定义域的交集

实际问题使实际问题有意义

◎激活•基本技能

一'易错易误辨析(正确的打“，错误的打“X”)

(1)函数y=l与y=x°是同一个函数.()

(2)对于函数/：A^B,其值域是集合区

()

(3VU)=、x—3+、2—x是一个函数.()

(4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是同一个函数.()

［答案］⑴X(2)X(3)X(4)X

二'教材习题衍生

3J?+2X,X»0,

1.设函数1/U)=$则欢—1))=()

A.16B.4C.5D.-4

A刚一1))=火2)=161

2.函数.穴方=卜一1|的图象是()

2

ABCD

x—1,x»l,

B[函数/U)=|x—l|=J结合选项可知，选项B正确.]

.1—X<1.

3.下列各组函数是同一函数的是()

①/□)=1—2/与g(x)=x\l—2x；

②Ax)=|x|与g(x)=正；

③/(x)=』与g(x)=5；

(4)/(JC)=X2—2x—1与g⑺=产―2f—1.

A.①②B.①③C.②③④D.①④

C[①两个函数的值域不相同，不是同一函数.②g(x)=d?=|x],两个函数

的定义域和对应法则相同，是同一函数.③两个函数的定义域均为(-8,o)u(o,

+°°),两个函数的定义域和对应法则相同，是同一函数.④两个函数的定义域

和对应法则相同，是同一函数.故选C.]

4.已知函数,*x)=x+:，则：(l)«x)的定义域为;(2)若/(a)=2,则

a的值为.

(1)(—8,0)U(0,+°°)(2)1[(1)要使函数犬X)有意义，必须使x#0,故

1x)的定义域是(一8,0)U(0,+8).

(2)由式々)=2得。+(=2,解得a=L]

[细研考虑/突破题型]重难解惑-直击高考

□考点一求函数的定义域慨组通关

3r

1.函数段)=7三二+111(2r—%2)的定义域为()

yjx-l

A.(2,+8)B.(1,2)C.(0,2)D.[1,2]

x-l>0,

B[要使函数有意义，则，_2

解得l<x<2.

3Y

所以函数於)=1=^+ln(2x—%2)的定义域为(1,2).]

3

2.(2021.湖北荆州中学模拟)定义域是一个函数的三要素之一，已知函数

Jzzx(x)定义域为[211,985],则函数shuangyiliu(x)=Jzzx(2018x)+Jzzx(202n)的

定义域为()

-211985~-211985~

A.B.

,2018,2021.2021，2018.

~211985~~211985一

C.D.

_2018,2018._2021*2021.

1[由抽象函数的定义域可知，

211^2018x^985,.”,211--985

,211^2021x^985,解得2018

-211985

所以所求函数的定义域为.故选A.]

.201812021.

3.已知函数/(x-l)的定义域为[0,2022],则函数g(x)=，的定义

域为.

[-2,1)U(1,2020][由函数/(x-1)的定义域为[0,2022],得函数y=/(x)

的定义域为[一1,2021].

一K+1W2021,

令彳得一2WxW2020且x#l.

X手1,

所以函数g(x)的定义域为[-2,1)U(1,2020].]

4.若函数兀^)=瞬如2十小+1的定义域为一切实数,则实数的取值范围

是.

[0,4][由题意可得如2+〃1¥+120对xWR恒成立.

当机=0时，120恒成立；

m>0,

当加W0时，则41解得0<〃W4.

./=m--4〃zW0,

综上可得0WmW4.]

令反思领悟求函数的定义域的策略

(1)求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，可借助于数轴，注

意端点值的取舍.

(2)求抽象函数的定义域：①若y=/(x)的定义域为伍,与，则解不等式a<g(x)。

即可求出y=/(g(x))的定义域；②若y=Ag(x))的定义域为(a,b),则求出g(x)在(a,

4

切上的值域即得./U)的定义域.

D考点二求函数的解析式神生共转

[典例1](1)已知/停+l)=lgx,求加)的解析式.

(2)已知/U)是二次函数，且40)=0,/x+l)=Xx)+x+l,求_/U)的解析式.

(3)已知函数7U)满足八-x)+纨x)=2S求兀0的解析式.

[解](1)(换元法)令2彳+1=3得犬=看2.

人I1

2

代入得/Q)=lg=p

又x>0,所以>1.

2

故共幻的解析式是/(x)=lg冗£(1，+°°).

(2)(待定系数法)设/(©=以2+云+。3£0),

由/(0)=0知c=0,所以f(x)=co^+bx.

又由f(x+l)=f(x)+x+1,

得(2(x+l)2+/?(x+l)=ox2+Z?x+x+l,

即ax1+(2a+h)x+a+b=cix2+(b+l)x+1,

2a+/?=b+l,i

所以J.,解得。=。=不

[a+b=l,2

所以/(x)=$+5，x£R.

(3)(解方程组法)由/(一月+4。)=2',①

得/a)+4(—x)=2飞②

24]-

①X2—②，得3/(x)=2计1-2",即/0)=­3一•

2%+i—2~x

故於：)的解析式是ya)=——,XGR.

⑨反思领悟求函数解析式的常用方法

5

|待定系数法|一：若已知函数的类型,可用待定系数法

I巳知复合函数yig")］的解析式，可用

|换元法|一

换元法，此时要注意新元的取值范围

宙巨荡装荐元155…二元方:可落

|配凑法I一F(x)改写成关于g(工)的表达式，然后

以*替代g(x),便得/(支)的解析式

已知关于/(*)与/(+)或/(-X)的表达

式，可根据已知条件再构造出另外一个

等式，通过解方程组求出/(X)

［跟进训练］

1.(1)已知46+1)=%一2"，则/U)=_

(2)已知人龙)满足人龙)一身"=2%,则yu)=

⑶已知危)是一次函数，且满足浜龙+1)—次r—l)=2x+17,则危)=

2(4/—

(1)*一4龙+3(x21)(2)-y-y^(3)2x+7[⑴法一：(换元法)令/=也+

1,则X=(L1)2,

代入原式有用)=(/-1)2—2«—1)=尸一付+3,

所以兀x)=/—4x+3(x21).

法二:(配凑法求也+1)=》+25+1—4也一4+3

=(5+1)2—4(m+1)+3,

因为亚+121,所以汽幻二X2—4x+3(xel).

(2)因为«r)—4(；[=2x，①

以《代替①中的工,得/(0一4(幻=；,②

A\A/A

4

①+②X2得一37(x)=2x+：

2r4

所以«¥)=一丁一虱.

(3)(待定系数法)设./U)=GC+仇aWO),

则3*x+1)—浜x—l)=ox+5a+",

6

所以ax+5a+b=2x+\l对任意实数x都成立，

。=2,。=2,

所以1,解得{所以«r)=2x+7.]

5a+b=ll,[b=7.

考点三分段函数修维探究

考向1求分段函数的函数值

4+ln2xW0

[典例2—1](2021.山东枣庄二模)已知函数/)={/:'则/

3),x>0,

(2021)=()

22

A.-B.2eC./D.2e2

A[当x>0时，因为用：)=/(x—3),

所以(x+3),所以/(x)是周期为3的函数，

所以/(2021)=/(3X673+2)=/(2).

fn29

又因为/(2)=/(_l)=er+m2=_^_=3，

所以/(2021)=5故选A.]

考向2求参数或自变量的值

[典例2—2]函数於尸"、若实数。满足则

[2X9犬NO,

f8)=()

A.2B.4C.6D.8

D[由分段函数的结构知，火x)的定义域是(-1,+°°),所以a〉0.

①当0<a<l时，-1<。一1<0,则加)=加-1)可化为2a=g,解得a=；,

火4)=8；

②当时，a—120,则大。)=/3—1)可化为2a=2(。一1),方程无解.故

选D.]

考向3解与分段函数有关的不等式

[典例2—3](2021.贵阳市四校第二次联考)设函数於)=

7

J10g2(x+1),X，0,

则满足_/(x+l)V2的x的取值范围为(

[yj—x,x<0,

A.(-4,3)B.(-5,2)

C.(-3,4)D.(-8,-3)U(4,+°o)

B[法一：当工2—1时，Xx+l)V2等价于log2[(x+l)+l]V2=log24,即x

+2<4,解得一l〈xV2;当xV—l时，«v+l)V2等价于二一(x+1)V2,解

得一5VxV-l.综上，使得式x+l)V2的x的取值范围是(一5,2),故选B.

法二：作出函数的图象及直线y=2,如图所示，令1》)=2,解得x=一

4或x=3,由图象可知，於+1)<2等价于一4Vx+lV3,解得一5VxV2,所以

满足於+1)V2的x的取值范围为(-5,2),故选B.

法三：当x=2时，/U+1)=A3)=2,不满足/U+1)V2,排除A,C,当x

=0时，./(x+l)=/U)=l,满足./(x+l)V2,排除D,故选B.]

畲反思领信分段函数的几类题型及解决方法

(1)若分段函数中含有参数，则直接根据条件选择相应区间上的解析式代入

求参.

(2)若是求自变量的值，则需要结合分段区间的范围对自变量进行分类讨论，

再求值.

(3)涉及与分段函数有关的不等式问题，主要表现为解不等式，当自变量取

值不确定时，往往要分类讨论求解；当自变量取值确定，但分段函数中含有参数

时，只需依据自变量的情况，直接代入相应解析式求解.

~~[跟进训练]

启、

2・⑴已知本)=CO/S711X,)+1,,9,则4#/(管4的值电)

A.gB.-gC.-1D.1

2,v,%>0,

.,若y(a)+/U)=O,则实数a的值等于()

(x~\1,xW0.

A.-3B.-1C.1D.3

8

2x+1,xW1,

(3)已知函数,则满足Hx)+_Ax+l)>l的x的取值范围是

Inx+1,x>l,

A.(—1,+°°)B.(-3，+8)

C.(0,+8)D.(1,+0°)

⑴D(2)A(3)B[(1»《)=/传-1)+1=/(；)+l=cos,+1=|,

31

-

2-2-

(2)VAD=2'=2,：.J(a)+2=0,/./«)=-2,

当aWO时，/(a)=a+l=—2,'.a=~3,

当a>0时，.穴口)=2。=—2,方程无解，

综上有a=~3.

(3)由题意，根据函数的解析式可知,

%W1,3

当彳即xWO时，/(x)+/(x+l)=2x+1+2x+3>l,得一4<rW0;

、x+1<1,

X>1,

即x>l时，]nx+l>l,ln(x+l)+l>l,所以当x>l时，凡。+兀¥

当1x+1>1,

+1)>1恒成立;

当彳,即04W1时，14+1W2,所以於)+/U+l)=2x+l+ln。+

I1>1,

1)+1>1恒成立.

3

综上，尤>一如故选B.]

命题新视角

2.与高等数学接轨的函数新定义问题

高考数学与高等数学知识(如欧拉公式、高斯函数、狄利克雷函数)的接轨，

常以小题的形式呈现，意在考查数学抽象、逻辑推理、直观想象和数学运算等核

心素养.因此在复习备考中，有意识地加强这方面的训练是很有必要的，这有利

于培养