2023-2024年新高考数学一轮复习培优教案4.1《任意角和弧度制及任意角的三角函数》 (原卷版)

页第四章三角函数、解三角形第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数核心素养立意下的命题导向1.将象限角及终边相同的角综合考查，凸显数学抽象、直观想象和数学运算的核心素养．2．结合方程、基本不等式、二次函数的最值及弧度制的应用考查弧长公式、面积公式及最值问题，凸显直观想象、数学运算的核心素养．3．将三角函数的定义、三角函数符号的判断综合考查，凸显直观想象、数学运算的核心素养．[理清主干知识]1．角的定义角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．2．角的分类角的分类eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al(按旋转方向,不同分类)\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(正角：按逆时针方向旋转形成的角,负角：按顺时针方向旋转形成的角,零角：射线没有旋转)),\a\vs4\al(按终边位置,不同分类)\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(象限角：角的终边在第几象限，这,个角就是第几象限角,轴线角：角的终边落在坐标轴上))))3．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}或{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}．4．弧度制定义把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad角α的弧度数公式|α|＝eq\f(l,r)(弧长用l表示)角度与弧度的换算①1°＝eq\f(π,180)rad；②1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°弧长公式弧长l＝|α|r扇形面积公式S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r25.任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么eq\a\vs4\al(y)叫做α的正弦，记作sinαeq\a\vs4\al(x)叫做α的余弦，记作cosαeq\f(y,x)叫做α的正切，记作tanα各象限符号Ⅰ＋＋＋Ⅱ＋－－Ⅲ－－＋Ⅳ－＋－三角函数线有向线段MP为正弦线有向线段OM为余弦线有向线段AT为正切线[澄清盲点误点]一、关键点练明1．(多选)下列说法中正确的是()A．－75°是第四象限角B．475°是第二象限角C．若sinα>0，则α是第一、二象限的角D．若α是第二象限的角，且P(x，y)是其终边上一点，则cosα＝－eq\f(x,\r(x2＋y2))2．已知α是第二象限角，则180°－α是第________象限角．3．已知扇形的圆心角为eq\f(π,6)，面积为eq\f(π,3)，则扇形的弧长等于________．4．已知角α的终边过点P(－1,2)，则sinα＝________.二、易错点练清1．已知60°的圆心角所对的弧长为2，则该弧所在圆的半径为()A.eq\f(1,30°)B.eq\f(6,π)C.eq\f(1,60°)D．eq\f(3,π)2．已知角α的终边过点P(－8m,6m)(m≠0)，则sinα＝________.3．已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cosα≤0，sinα＞0，则实数a的取值范围是________．考点一象限角及终边相同的角的表示[典例](1)若α为第四象限角，则()A．cos2α＞0B．cos2α＜0C．sin2α＞0D．sin2α＜0(2)与－2020°终边相同的最小正角是________．[方法技巧]1．利用终边相同的角的集合求适合某些条件的角先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角．2．确定kα，eq\f(α,k)(k∈N*)的终边位置的方法先用终边相同角的形式表示出角α的范围，再写出kα或eq\f(α,k)的范围，然后根据k的可能取值讨论确定kα或eq\f(α,k)的终边所在位置．[针对训练]1．设集合M＝{x|x＝eq\f(k,2)·180°＋45°，k∈Z}，N＝{x|x＝eq\f(k,4)·180°＋45°，k∈Z}，那么()A．M＝NB．M⊆NC．N⊆MD．M∩N＝∅2．已知角θ在第二象限，且|sineq\f(θ,2)|＝－sineq\f(θ,2)，则角eq\f(θ,2)在()A．第一象限或第三象限B．第二象限或第四象限C．第三象限D．第四象限3．终边在直线y＝eq\r(3)x上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为______________．考点二弧度制及其应用[典例]已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.(1)若α＝eq\f(π,3)，R＝10cm，求扇形的弧长l.(2)若扇形的周长是20cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？(3)若α＝eq\f(π,3)，R＝2cm，求扇形的弧所在的弓形的面积．[方法技巧]应用弧度制解决问题的策略(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．(2)求扇形面积最大值问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决．(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．[针对训练]1．已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是()A．1B．4C．1或4D．2或42．若扇形的圆心角是α＝120°，弦长AB＝12cm，则弧长l等于()A.eq\f(4\r(3),3)πcmB．eq\f(8\r(3),3)πcmC．4eq\r(3)cmD．8eq\r(3)cm考点三任意角的三角函数的定义及应用考法(一)三角函数的定义[例1](1)函数y＝loga(x－3)＋2(a>0且a≠1)的图象过定点P，且角α的终边过点P，则sinα＋cosα的值为()A.eq\f(7,5)B.eq\f(6,5)C.eq\f(\r(5),5)D.eq\f(3\r(5),5)(2)我国古代数学家僧一行应用“九服晷(ɡuǐ)影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l与太阳天顶距θ(0°≤θ≤80°)的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表．根据三角学知识可知，晷影长度l等于表高h与太阳天顶距θ正切值的乘积，即l＝htanθ.已知天顶距θ＝1°时，晷影长l≈0.14.现测得午中晷影长度l≈0.42，则天顶距θ为()(参考数据：tan1°≈0.0175，tan2°≈0.0349，tan3°≈0.0524，tan22.8°≈0.4204)A．2°B．3°C．11°D．22.8°[方法技巧]三角函数定义应用策略(1)已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解．(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义求解．(3)已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．(4)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．考法(二)三角函数值符号的判断[例2](1)若sinαtanα<0，且eq\f(cosα,tanα)<0，则角α是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角(2)sin2·cos3·tan4的值()A．小于0B．大于0C．等于0D．不存在[方法技巧]1．三角函数值符号及角的位置判断已知一角的三角函数值(sinα，cosα，tanα)中任意两个的符号，可分别确定出角终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置，注意终边在坐标轴上的特殊情况．2．三角函数值的符号规律三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正，二正弦，三正切，四余弦．[针对训练]1．已知点P(tanα，cosα)在第三象限，则角α的终边在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知角α的终边上一点P(－eq\r(3)，m)(m≠0)，且sinα＝eq\f(\r(2)m,4)，则cosα＝________，tanα＝________.3.如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于P，Q两点，P，Q的纵坐标分别为eq\f(3,5)，eq\f(4,5).(1)求sinα的值；(2)求α＋β.创新考查方式——领悟高考新动向1．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝eq\f(1,2)(弦×矢＋矢2)，弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为eq\f(2π,3)，半径等于4m的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是()A．6m2B．9m2C．12m2D．15m22．中国折叠扇有着深厚的文化底蕴．如图，在半圆O中作出两个扇形OAB和OCD，用扇环形ABDC(图中阴影部分)制作折叠扇的扇面．记扇环形ABDC的面积为S1，扇形OAB的面积为S2，当S1与S2的比值为eq\f(\r(5)－1,2)时，扇面的形状较为美观，则此时扇形OCD的半径与半圆O的半径之比为()A.eq\f(\r(5)＋1,4)B.eq\f(\r(5)－1,2)C．3－eq\r(5)D.eq\r(5)－23.如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P的位置在(0,0)，圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2,1)时，eq\o(OP,\s\up7(→))的坐标为________．4.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，动点P，Q从点A(1,0)出发在单位圆上运动，点P按逆时针方向每秒钟转eq\f(π,6)弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转eq\f(11π,6)弧度，则P，Q两点在第2019次相遇时，点P的坐标为________．eq\a\vs4\al([课时跟踪检测])1．将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是()A.eq\f(π,3)B.eq\f(π,6)C．－eq\f(π,3)D．－eq\f(π,6)2．已知点P(sin(－30°)，cos(－30°))在角θ的终边上，且θ∈[－2π，0)，则角θ的大小为()A．－eq\f(π,3)B.eq\f(2π,3)C．－eq\f(2π,3)D．－eq\f(4π,3)3．已知角α的终边经过点(3，－4)，则sinα＋eq\f(1,cosα)＝()A．－eq\f(1,5)B.eq\f(37,15)C.eq\f(37,20)D.eq\f(13,15)4．已知角α的始边与x轴的正半轴重合，顶点在坐标原点，角α终边上的一点P到原点的距离为eq\r(2)，若α＝eq\f(π,4)，则点P的坐标为()A．(1，eq\r(2))B．(eq\r(2)，1)C．(eq\r(2)，eq\r(2))D．(1,1)5．已知角α＝2kπ－eq\f(π,5)(k∈Z)，若角θ与角α的终边相同，则y＝eq\f(sinθ,|sinθ|)＋eq\f(cosθ,|cosθ|)＋eq\f(tanθ,|tanθ|)的值为()A．1B．－1C．3D．－36．(多选)下列结论中正确的是()A．若角α的终边过点P(3k,4k)(k≠0)，则sinα＝eq\f(4,5)B．若α是第一象限角，则eq\f(α,2)为第一或第三象限角C．若扇形的周长为6，半径为2，则其中心角的大小为1弧度D．若0<α<eq\f(π,2)，则sinα<tanα7．已知角α的终边经过点(eq\r(3)，－1)，则角α的最小正值是()A.eq\f(2π,3)B.eq\f(11π,6)C.eq\f(5π,6)D.eq\f(3π,4)8．已知α，β是第一象限角，且sinα>sinβ，则()A．α>βB．α<βC．cosα>cosβD．tanα>tanβ9．若α＝1560°，角θ与α终边相同，且－360°＜θ＜36