正方形的性质与判定 省赛获奖

学习新知第一章特殊平行四边形检测反馈3正方形的性质与判定（2）九年级数学上新课标[北师]问题2

如图所示,将一张长方形纸对折两次,然后剪下一个角,打开.怎样剪才能剪出一个正方形?问题3

议一议:满足什么条件的矩形是正方形?满足什么条件的菱形是正方形?与同伴交流一下.

问题思考问题1

我们学习了平行四边形、矩形、菱形、正方形,那么请思考一下,它们之间有什么关系?你能用一个图直观地表示它们之间的关系吗?与同伴交流一下.

菱形与正方形学习新知菱形与正方形☞问题:

从这个图形中你能得到什么？

┓90°有一个角是直角的菱形是正方形。ABCD矩形与正方形ABCD矩形与正方形ABCD矩形与正方形ABCD矩形与正方形ABCD矩形与正方形ABCD矩形与正方形ABCD矩形与正方形ABCD矩形与正方形ABCDABC

D

问题:

从这个变化中你能得到什么？有一组邻边相等的矩形是正方形。

例题讲解

已知:如图所示,在矩形ABCD中,BE平分∠ABC,CE平分∠DCB,BF∥CE,CF∥BE.求证:四边形BECF是正方形.

思路2:要证四边形BECF是正方形,也可以先证明四边形BECF是矩形,然后证明四边形BECF中有一组邻边相等即可.解析

思路1:要证四边形BECF是正方形,可以先证明四边形BECF是菱形,然后证明四边形BECF中有一个角是直角即可;

证法1:∵BF∥CE,CF∥BE,∴四边形BECF是平行四边形.

∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABC=∠DCB=90°.

又∵BE平分∠ABC,CE平分∠DCB,

平行四边形正方形一组邻边相等一内角是直角正方形菱形一内角是直角矩形一组邻边相等正方形小结定义法菱形法矩形法有一个角是直角的菱形叫做正方形。有一组邻边相等的矩形叫做正方形。有一组邻边相等的一个角是直角平行四边形叫做正方形。如果四边形ABCD变为特殊的四边形，中点四边形EFGH会有怎样的变化呢？平行四边形矩形菱形正方形等腰梯形直角梯形梯形原四边形可以是：中点四边形特殊四边形的中点四边形：平行四边形的中点四边形是平行四边形菱形的中点四边形是矩形矩形的中点四边形是菱形正方形的中点四边形是正方形猜想验证特殊四边形的中点四边形：等腰梯形的中点四边形是菱形直角梯形的中点四边形是平行四边形梯形的中点四边形是平行四边形猜想验证对角线垂直的四边形的中点四边形是矩形对角线相等的四边形的中点四边形是菱形对角线既相等又垂直的四边形的中点四边形是正方形对角线既不相等又不垂直的四边形的中点四边形是平行四边形猜想验证归纳：一般四边形的中点四边形：决定中点四边形EFGH的形状的主要因素是原四边形ABCD的对角线的长度和位置关系原四边形对角线关系不相等、不垂直相等垂直相等且垂直所得中点四边形形状平行四边形菱形矩形正方形5种识别方法三个角是直角四条边相等一个角是直角或对角线相等一组邻边相等或对角线垂直一组邻边相等或对角线垂直一个角是直角或对角线相等一个角是直角且一组邻边相等平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结

1.下列说法中正确的有

(

)

①有一个角为直角的菱形是正方形;

②四个角相等的四边形是正方形;

③四条边都相等的四边形是正方形;

④有一组邻边相等的矩形是正方形;

⑤对角线垂直且相等的四边形是正方形;

⑥对角线相等的菱形是正方形;

⑦对角线互相垂直的矩形是正方形;

⑧对角线互相垂直平分的四边形是正方形.

A.3个 B.4个 C.5个 D.6个

B检测反馈2.如图所示,在△ABC中,AB=AC,D,E,F分别是BC,AB,AC的中点,连接DE,DF.

(1)求证DE=DF.

(2)你能添加一个条件,使四边形EDFA是正方形吗?若能,请说明.提示:(1)利用三角形的中位线定理可以证明;(2)添加条件∠A=90°;先证明四边形AEDF是菱形,然后根据有一个角是直角的菱形是正方形得出即可.3.如下左图所示,E,F,G,H分别是正方形ABCD四边的中点,试判断四边形EFGH的形状,并给出证明.如果改变E,F,G,H的位置,但仍满足AE=BF=CG=DH,如下右图所示,结果如何呢?提示:四边形EFGH是正方形