偏微分方程分类与标准型课件

第2章二阶线性偏微分方程的分类与标准型

§2.1常微分方程的解(复习)

§2.2二阶线性偏微分方程分类

§2.3二阶线性偏微分方程简化

§2.4三类方程的简化形式1PPT课件第2章二阶线性偏微分方程的分类与标准型§2.1常微分§2.1常微分方程的解(复习)一.二阶常系数线性方程的标准形式2PPT课件§2.1常微分方程的解(复习)一.二阶常系数线性方程的二.二阶常系数线性齐次微分方程的解特征根：

(1)有两个不相等的实根两个线性无关的特解得齐次方程的通解为齐次方程：特征方程：3PPT课件二.二阶常系数线性齐次微分方程的解特征根：(1)有两齐次方程的通解为：特解为：(3)有一对共轭复根时齐次方程的通解为特征根为：特解为：(2)有两个相等的实根时4PPT课件齐次方程的通解为：特解为：(3)有一对共轭复根时齐次方程的通小结：二阶常系数线性齐次微分方程解特征根：齐次方程：特征方程：利用了欧拉公式5PPT课件小结：二阶常系数线性齐次微分方程解特征根：齐次方程：特征方程例:求下列方程的通解解(1)特征方程为所以方程的通解为解得6PPT课件例:求下列方程的通解解(1)特征方程为所以方程的通解为解所以方程的通解为解得(2)特征方程为所以方程的通解为

(3)特征方程为解得7PPT课件所以方程的通解为解得(2)特征方程为所以方程的通解为(3解特征方程为即特征方程有两个不相等的实数根所以所求方程的通解为对上式求导,得例:求满足初始条件

的特解.将、代入以上二式,得8PPT课件解特征方程为即特征方程有两个不相等的实数根所以所求方程解此方程组，得所以所求特解为9PPT课件解此方程组，得所以所求特解为9PPT课件(2)对应齐次方程为：

(3)通解结构:三.二阶常系数非齐次线性方程(1)非齐次线性方程通式：10PPT课件(2)对应齐次方程为：(3)通解结构:三.二阶常系数非齐§2.二阶线性偏微分方程分类1.一般形式及分类判别其中，都是区域上的实函数，并假定它们是连续可微的。2.二阶主部为：3.判别式及分类：双曲型抛物型椭圆型11PPT课件§2.二阶线性偏微分方程分类1.一般形式及分类判别其中，都判断下列方程的类型思考：12PPT课件判断下列方程的类型思考：12PPT课件§3.方程简化1.线性二阶偏微分方程的一般形式(2个自变量)其中，都是区域上的实函数，并假定它们是连续可微的。

n个自变量：其中是自变量

的函数13PPT课件§3.方程简化1.线性二阶偏微分方程的一般形式(2个自变2.变量替换与方程转型(1)变量代换：(2)一般式转为：系数为：变量替换是研究偏微分方程的有效手段，适当的变换，可简化方程、易求解。14PPT课件2.变量替换与方程转型(1)变量代换：(2)一般式转为：注：变量替换必须为非奇异变换非奇异变换：雅克比(Jacobi)行列式在点(x0,y0)不等于零，即：则：在点(x0,y0)附近变换是可逆的。15PPT课件注：变量替换必须为非奇异变换非奇异变换：雅克比(Jacobi3.方程简化4.求特解构造一阶偏微分方程：求一个特解，则：再求另一个特解，则A22=0偏微分方程转为常微分方程16PPT课件3.方程简化4.求特解构造一阶偏微分方程：求一个特解5.特征方程与特征曲线1.特征方程：2.解：3.特征曲线：17PPT课件5.特征方程与特征曲线1.特征方程：2.解：3.特征曲线例2.1.1

判断偏微分方程类型并化简：解：特征方程特征方程的解：特征线：令：双曲型方程18PPT课件例2.1.1判断偏微分方程类型并化简：解：特征方程特征方程例2.1.3

设常数A,B,C满足m1、m2是如下方程的两个根的通解为：证明二阶线性偏微分方程证明：设则：19PPT课件例2.1.3设常数A,B,C满足m1、m2是如下方程的两个§4三类方程的简化形式当时，给出一族实的特征曲线取则方程变为若再作则上述方程变为：

1.双曲方程型方程：20PPT课件§4三类方程的简化形式当时，给出一族实的特征曲线取当

时，只有一个解它只能给出一个实的特征线，

。取与函数无关的作为另一个新的变量则有：2.抛物型方程：21PPT课件当时，只有一个解它只能给出一个实的特征线，。取与函数当

时，给出一族复特征线在该变换下：且方程化为：令则有：3.椭圆型方程：22PPT课件当时，给出一族复特征线在该变换下：且方程化为：令则有：小结：三种方程的标准型式：23PPT课件小结：三种方程的标准型式：23PPT课件例题1：分类并标准化方程：解：该方程的故该方程是抛物型的。特征方程：从而得到方程的一族特征线为：自变量代换(由于ξ和η必须函数无关,所以η宜取最简单的函数形式,即η=x

或η=y)原方程化简后的标准形式为：特征的解：24PPT课件例题1：分类并标准化方程：解：该方程的故该方程是抛物型的。特例2.判断偏微分方程类型并化简：

解：∵

故

故该方程为双曲型偏微分方程，其特征方程故有

或

取新变量则或

解为25PPT课件例2.判断偏微分方程类型并化简：解：∵故故该方程为双例2(续)，代入原方程得：即：26PPT课件例2(续)，代入原方程得：即：26PPT课件例3.判断偏微分方程的类型并化简：解：特征方程特征方程的解：特征线：令：双曲型方程27PPT课件例3.判断偏微分方程的类型并化简：解：特征方程特征方程的解第二章：复习思考题与作业一．写出二阶常系数线性齐次微分方程的特征方程与特征根。二.简述二阶常系数线性齐次微分方程的求解步骤。三.写出二阶线性偏微分方程的辨别式及其分类原则。四.解释何谓自变量非奇异变换。五.简述二阶线性偏微分方程简化的基本步骤。六.书习题2：1（1）（2）；2（2）（3）；7七.课堂练习：P41:2（1）28PPT课件第二章：复习思考题与作业一．写出二阶常系数线性齐次微分方程第2章二阶线性偏微分方程的分类与标准型

§2.1常微分方程的解(复习)

§2.2二阶线性偏微分方程分类

§2.3二阶线性偏微分方程简化

§2.4三类方程的简化形式29PPT课件第2章二阶线性偏微分方程的分类与标准型§2.1常微分§2.1常微分方程的解(复习)一.二阶常系数线性方程的标准形式30PPT课件§2.1常微分方程的解(复习)一.二阶常系数线性方程的二.二阶常系数线性齐次微分方程的解特征根：

(1)有两个不相等的实根两个线性无关的特解得齐次方程的通解为齐次方程：特征方程：31PPT课件二.二阶常系数线性齐次微分方程的解特征根：(1)有两齐次方程的通解为：特解为：(3)有一对共轭复根时齐次方程的通解为特征根为：特解为：(2)有两个相等的实根时32PPT课件齐次方程的通解为：特解为：(3)有一对共轭复根时齐次方程的通小结：二阶常系数线性齐次微分方程解特征根：齐次方程：特征方程：利用了欧拉公式33PPT课件小结：二阶常系数线性齐次微分方程解特征根：齐次方程：特征方程例:求下列方程的通解解(1)特征方程为所以方程的通解为解得34PPT课件例:求下列方程的通解解(1)特征方程为所以方程的通解为解所以方程的通解为解得(2)特征方程为所以方程的通解为

(3)特征方程为解得35PPT课件所以方程的通解为解得(2)特征方程为所以方程的通解为(3解特征方程为即特征方程有两个不相等的实数根所以所求方程的通解为对上式求导,得例:求满足初始条件

的特解.将、代入以上二式,得36PPT课件解特征方程为即特征方程有两个不相等的实数根所以所求方程解此方程组，得所以所求特解为37PPT课件解此方程组，得所以所求特解为9PPT课件(2)对应齐次方程为：

(3)通解结构:三.二阶常系数非齐次线性方程(1)非齐次线性方程通式：38PPT课件(2)对应齐次方程为：(3)通解结构:三.二阶常系数非齐§2.二阶线性偏微分方程分类1.一般形式及分类判别其中，都是区域上的实函数，并假定它们是连续可微的。2.二阶主部为：3.判别式及分类：双曲型抛物型椭圆型39PPT课件§2.二阶线性偏微分方程分类1.一般形式及分类判别其中，都判断下列方程的类型思考：40PPT课件判断下列方程的类型思考：12PPT课件§3.方程简化1.线性二阶偏微分方程的一般形式(2个自变量)其中，都是区域上的实函数，并假定它们是连续可微的。

n个自变量：其中是自变量

的函数41PPT课件§3.方程简化1.线性二阶偏微分方程的一般形式(2个自变2.变量替换与方程转型(1)变量代换：(2)一般式转为：系数为：变量替换是研究偏微分方程的有效手段，适当的变换，可简化方程、易求解。42PPT课件2.变量替换与方程转型(1)变量代换：(2)一般式转为：注：变量替换必须为非奇异变换非奇异变换：雅克比(Jacobi)行列式在点(x0,y0)不等于零，即：则：在点(x0,y0)附近变换是可逆的。43PPT课件注：变量替换必须为非奇异变换非奇异变换：雅克比(Jacobi3.方程简化4.求特解构造一阶偏微分方程：求一个特解，则：再求另一个特解，则A22=0偏微分方程转为常微分方程44PPT课件3.方程简化4.求特解构造一阶偏微分方程：求一个特解5.特征方程与特征曲线1.特征方程：2.解：3.特征曲线：45PPT课件5.特征方程与特征曲线1.特征方程：2.解：3.特征曲线例2.1.1

判断偏微分方程类型并化简：解：特征方程特征方程的解：特征线：令：双曲型方程46PPT课件例2.1.1判断偏微分方程类型并化简：解：特征方程特征方程例2.1.3

设常数A,B,C满足m1、m2是如下方程的两个根的通解为：证明二阶线性偏微分方程证明：设则：47PPT课件例2.1.3设常数A,B,C满足m1、m2是如下方程的两个§4三类方程的简化形式当时，给出一族实的特征曲线取则方程变为若再作则上述方程变为：

1.双曲方程型方程：48PPT课件§4三类方程的简化形式当时，给出一族实的特征曲线取当

时，只有一个解它只能给出一个实的特征线，

。取与函数无关的作为另一个新的变量则有：2.抛物型方程：49PPT课件当时，只有一个解它只能给出一个实的特征线，。取与函数当

时，给出一族复特征线在该变换下：且方程化为：令则有：3.椭圆型方程：50PPT课件当时，给出一族复特征线在该变换下：且方程化为：令则有：小结：三种方程的标准型式：51PPT课件小结：三种方程的标准型式：23PPT课件例题1：分类并标准化方程：解：该方程的故该方程是抛物型的。特征方程：从而得到方程的一族特征线为：自变量代换(由于ξ和η必须函数无关,所以η宜取最简单的函数