新高考数学一轮复习讲练测专题8.8立体几何综合问题（讲）原卷版

专题8.8立体几何综合问题新课程考试要求1.会解决简单的立体几何问题.2．会用向量方法证明直线、平面位置关系的有关命题.3．会用向量方法求解两异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的问题.核心素养本节涉及的数学核心素养：数学运算、逻辑推理、直观想象等.考向预测（1）立体几何中的动态问题.（2）立体几何中的探索性问题.（3）平面图形的翻折问题.（4）立体几何与传统文化（5）立体几何新定义问题（6）利用空间向量证明平行或垂直是高考的热点，内容以解答题中的一问为主，主要围绕考查空间直角坐标系的建立、空间向量的坐标运算能力和分析解决问题的能力命制试题，以多面体为载体、证明线面(面面)的平行(垂直)关系是主要命题方向．空间的角与距离的计算（特别是角的计算）是高考热点，一般以大题的条件或一小问形式呈现，考查用向量方法解决立体几何问题，将空间几何元素之间的位置关系转化为数量关系，并通过计算解决立体几何问题．距离问题往往在与有关面积、体积的计算中加以考查．此类问题往往属于“证算并重”题，即第一问用几何法证明平行关系或垂直关系，第二问则通过建立空间直角坐标系，利用空间向量方法进一步求角或距离.【考点分类剖析】考点一：立体几何中的动态问题【典例1】（2021·福建高二期末）在棱长为1的正方体SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则（）A．当SKIPIF1<0时，三棱锥SKIPIF1<0的体积为定值B．当SKIPIF1<0时，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离相等C．当SKIPIF1<0时，存在SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0D．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0【典例2】（2020·四川南充·高三其他（理））已知三条射线，，两两所成的角都是60°.点在上，点在内运动，，则点的轨迹长度为()A． B． C． D．【总结提升】1.立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求轨迹的长度及动角的范围等．2．一般是根据线、面垂直，线、面平行的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹．【变式探究】1.（2020·河北新华·石家庄二中高三月考（理））如图，正方体中，P为底面上的动点，于E，且则点P的轨迹是（）A．线段 B．圆 C．椭圆的一部分 D．抛物线的一部分2．【多选题】（2021·重庆巴蜀中学高三月考）已知圆台的上下底面的圆周都在半径为2的球面上，圆台的下底面过球心，上底面半径为SKIPIF1<0，设圆台的体积为SKIPIF1<0，则下列选项中说法正确的是（）A．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0 B．当SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0内变化时，SKIPIF1<0先增大后减小C．SKIPIF1<0不存在最大值 D．当SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0内变化时，SKIPIF1<0逐渐减小考点二：立体几何中的探索性问题【典例3】（2021·广东高二期末）如图，在正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0的中点．（1）求二面角SKIPIF1<0的余弦值；（2）在棱SKIPIF1<0（包含端点）上是否存在点SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，给出你的结论，并证明．【典例4】（2020·全国）如图，是的直径，点B是上与A，C不重合的动点，平面.（1）当点B在什么位置时，平面平面，并证明之；（2）请判断，当点B在上运动时，会不会使得，若存在这样的点B，请确定点B的位置，若不存在，请说明理由.【典例5】（2020·全国高二课时练习）如图，在三棱柱中，平面，，.（1）求证：平面；（2）求异面直线与所成角的大小；（3）点在线段上，且，点在线段上，若平面，求的值（用含的代数式表示）.【规律方法】求解立体几何中探索问题的策略1．条件探索性问题(1)先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；(2)先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明其充分性；(3)把几何问题转化为代数问题，探索命题成立的条件．如本例(2)先根据题意猜测点的位置．再结合证明．一般探索点存在问题，点多为中点或三等分点中的一个．2．结论探索性问题首先假设结论存在，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论，就肯定假设，如果得到了矛盾的结论，就否定假设．【变式探究】1．（2020·四川泸县五中高二开学考试（理））如图，在四棱柱中，底面是正方形，平面平面，，.过顶点，的平面与棱，分别交于，两点.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：四边形是平行四边形；（Ⅲ）若，试判断二面角的大小能否为？说明理由.2．（2021·重庆巴蜀中学高三月考）已知在四棱锥SKIPIF1<0中，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0是正方形.若SKIPIF1<0.（1）求四棱锥SKIPIF1<0的体积；（2）在线段SKIPIF1<0上是否存在一点SKIPIF1<0满足：二面角SKIPIF1<0的余弦值为SKIPIF1<0？若存在，请求出SKIPIF1<0的比值SKIPIF1<0.若不存在，请说明理由.3．（2020·浦东新·上海师大附中高二期中）设四边形为矩形，点为平面外一点，且平面，若，.（1）求与平面所成角的正切值；（2）在边上是否存在一点，使得点到平面的距离为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；（3）若点是的中点，在内确定一点，使的值最小，并求此时的值.【总结提升】与空间角有关的探索性问题的解题策略与空间角有关的探索性问题主要为与两异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角有关的存在性问题，常利用空间向量法求解．求解时，一般把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等问题，并注意准确理解和熟练应用夹角公式．其步骤是：(1)假设存在(或结论成立)；(2)建立空间直角坐标系，设(求)出相关空间点的坐标；(3)构建有关向量；(4)结合空间向量，利用线面角或二面角的公式求解；(5)作出判断．考点三：平面图形的折叠问题【典例6】【多选题】（2021·广东高二期末）如图，菱形SKIPIF1<0边长为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为边SKIPIF1<0的中点．将SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折起，使SKIPIF1<0到SKIPIF1<0，且平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．则下列结论中正确的是（）A．SKIPIF1<0 B．四面体SKIPIF1<0的外接球表面积为SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值为SKIPIF1<0 D．直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值为SKIPIF1<0【典例7】（2021·江苏高二期中）已知梯形SKIPIF1<0如图1所示，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，四边形SKIPIF1<0是边长为1的正方形，沿SKIPIF1<0将四边形SKIPIF1<0折起，使得平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，得到如图2所示的几何体.（1）求证：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）求点F到平面ABE的距离；（3）若点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值为SKIPIF1<0，求线段SKIPIF1<0的长度.【特别提醒】解决空间图形的翻折问题时，要从如下几个角度掌握变化规律：注意：掌握翻折过程中的特殊位置①翻折的起始位置；②翻折过程中，直线和平面的平行和垂直的特殊位置.【变式探究】1．（2021·贵州凯里一中高三三模（文））如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0的中点，以SKIPIF1<0为折痕把SKIPIF1<0折叠，使点SKIPIF1<0到达点SKIPIF1<0的位置，则当三棱锥SKIPIF1<0体积最大时，其外接球的表面积为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2021·重庆八中高三月考）如图1，C，D是以AB为直径的圆上两点，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0所在的半圆沿直径AB折起，使得点C在平面ABD上的正投影E在线段BD上，如图2.（1）求证：BC⊥平面ACD；（2）已知O为AB中点，在线段CE上是否存在点F，使得SKIPIF1<0平面ACD？若存在，求出SKIPIF1<0的值；若不存在，请说明理由.考点四：立体几何与传统文化【典例8】（2020·海南高考真题）日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为（）A．20° B．40°C．50° D．90°【总结提升】近几年高考命题关于这部分内容的考查，主要是以传统文化、数学文化、现代生活为背景，考查立体几何的基础知识，涉及三视图、面积体积计算、几何体的几何特征等.【变式探究】（2021·全国高三专题练习）古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面上到两定点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0距离之比SKIPIF1<0是常数的点的轨迹是一个圆心在直线SKIPIF1<0上的圆，该圆简称为阿氏圆.根据以上信息，解决下面的问题：在棱长为2的正方体SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0是正方体的表面SKIPIF1<0(包括边界)上的动点，若动点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0所形成的阿氏圆的半径为______；若SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，且满足SKIPIF1<0，则三棱锥SKIPIF1<0体积的最大值是______.阿波罗尼奥斯考点五：立体几何中的新定义问题【典例9】（2021·全国高三零模）北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于SKIPIF1<0