2024年中考数学压轴突破几何中的折叠题型汇编（含答案解析）

几何中妁折费冏薇

，题目切如图,在菱形ABCD中，AD=5,tanB=2,E是AB上一点，将菱形ABCD沿。E折叠，使B、C的

对应点分别是当/BEF=90°时，则点。'到的距离是（）

BBCC

A.5+V5B.2V5+2C.6D.375

【答案】D

【分析】过。作CH±AD于〃，过。'作C'F±AD于F,由菱形性质和正切定义求出HC=275,

再由折叠证明ABED=NPED=135°,得到AEDC=2EDC'=45°,从而得到△CHD笃4DFC',则C'F=

则问题可解.

【详解】解:过。作S_L4D于H,过。'作C'F_L4D于F,

由已知，AD—5,tanB=2,

设HD=①，则HC—2x,

：.在Rt^HDC中，HC2+HD2=CD2,

(24+/=52,

解得x—V5,

:.HD=A,HC=2瓜

由折叠可知，ABED=ABED,AEDC=4EDC',CD=C'D

；2BEB=90°,

AABED=AB'ED=135°,

•：AB//DC,

：.ZEDC=180°-ABED=45°,

ZEDC=4EDC'=45°

2CDC=90°

•.•/CHD=/CAD=90°,

：.ZCDH+C'DF=9Q°,

•：^CDH+AHCD^90°,

：.2C'DF=ZHCD,

：.ACHD^^DFC,

：.C'F=HD=V5,

.•.点C到BC的距离是C'F+CH=右+2V5=3V5.

故选：D.

【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定、菱形的性质、图形的折叠以及正切定义的应用，解答关键是根

据折叠的条件推出ABED=/BED=135°.

遮目区如图，将△4BC折叠,使力。边落在AB边上,展开后得到折痕I与BC交于点P,且点P到AB的距

离为3cm,点Q为上任意一点，则PQ的最小值为()

A.2cmB.2.5cmC.3cmD.3.5cm

【答案】。

【分析】由折叠可得：PA为乙民4。的角平分线，根据垂线段最短即可解答.

【详解】解：•.•将△ABC折叠，使AC边落在AB边上，

PA为ABAC的角平分线，

•.•点Q为AC上任意一点，

PQ的最小值等于点P到AB的距离3cm.

故选C.

【点睛】本题主要考查了折叠的性质、角平分线的性质定理等知识点，掌握角平分线上的点到两边距离相等

是解答本题的关键.

题目①如图，在OABCD中，6。=8,48=人。=4，^,点石为07边上一点，8£；=6,点干是48边上的动

点，将ABEF沿直线EF折叠得到△GEF，点B的对应点为点G,连接OE,有下列4个结论:①tanB=2；②

DE=10；③当GE，BC时，EF=3疙；④若点G恰好落在线段DE上时，则%=其中正确的是

()

A.①②③B.②③④C.①③④D.①②④

MS

【答案】。

【分析】过点A作AH_LBC于点H,利用三线和一以及正切的定义，求出tanB,即可判断①;过点D作DK

_L于点K,利用勾股定理求出DE,判断②；过点F作FM工BC于点证明AEMF为等腰直角三角

形，设EAf=FM=a;,三角函数求出BA1的长，利用=求出z的值，进而求出EF的长，判断

③;证明LAND〜ACNE，推出4ENC=NECN，根据折叠的性质，推出EF〃CA,利用平行线分线段成比

例，即可得出结论，判断④.

【详解】解:①过点A作Af/工于点H,

•：BC=8,AB=>1(7=475,

：.BH=^-BC=4,

：.AH=^AB2-BH2=8,

tanB==2;故①正确；

1JDHq

②过点。作。K_LBC于点K,则：四边形4HKD为矩形,

・・.DK=AH=8,HK=AD=BC=8,

・・・BE=6,

:.CE=2,

・；CH=WBC=4,

・・.CK=4,

:・EK=CE+CK=6,

・・.DE=YEH+DK?=10；故②正确；

③过点F作FM_LBC于点、M,

•：GE_LBC,

：./BEG=90°,

,/翻折，

・・・/BEF=/GEF=45°,

：.NEFM=ABEF=45°,

：.EM=FM,

设EM=FM=oc,

.•・tanB=谯=2,

：.BE—BM+EM=-^-x+2=6,

・，・力=4,

；.EM=FM=4,

：.EF=V2EM=4V2;故③错误；

④当点G恰好落在线段OE上时，如图：设入。与DE交于点N,

・・・OABCD,

・・.AD//BC,

・・・/\AND〜4CNE,

EN=CE=2=\

D7V-AD--8

EN_1

~DE~~59

:,EN=+DE=2=CE,

5

・・・4ENC=NECN,

：.ABEN=ZENC+/ECN=24ECN,

,/翻折，

・・.ZBEN=2ZBEFf

：.ZBEF=AECN,

：.EF//AC,

综上：正确的是①②④；

故选D

【点睛】本题考查平行四边形的折叠问题，同时考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，等腰三角形

的判定和性质，勾股定理.本题的综合性强，难度较大，是中考常见的压轴题，熟练掌握相关性质，添加合适

的辅助线，构造特殊三角形，是解题的关键.

面目④如图，AB是。。的直径，点。是。O上一点，将劣弧BC沿弦3。折叠交直径AB于点。，连接CD,

若乙4BC=a(0°VaV45°),则下列式子正确的是()

A.sin(7=——-B.sin(2=――-C.cos(7=D.cosdf=——-

ABABJDL)

【答案】B

【分析】连AC,由AB是。。的直径，可知AACB=90°,由折叠，念和①所在的圆为等圆，可推得=

CD,再利用正弦定义求解即可.

【详解】解:连AC,

•/AB是的直径,

乙4cB=90°,

MS

由折叠，AC和CD所在的圆为等圆，

又；NCBD=NABC,

：,念和历所对的圆周角相等，

:.AC=CD,

：.AC=CD,

在Rt/\ACB中，

.ACCD

sma=---=——,

ABAB

故选：B.

【点睛】本题考查圆周角定理和圆心角、弦、弧之间的关系以及正弦、余弦定义，解答关键是通过折叠找到公

共的圆周角推出等弦.

[题目区如图,在平面直角坐标系中，OA在，轴正半轴上，在y轴正半轴上，以。4OC为边构造矩形

OABC,点B的坐标为(8,6),。,E分别为。4,BC的中点，将AABE沿4E折叠，点B的对应点F恰好落

在CD上，则点F的坐标为()

4(普畏B.(f1)C.(f>)D.f20

'13'13，

【答案】A

【分析】先求得直线CD的解析式，过点F作FM±CE于点M,过点F作FN±。。于点N,设点

|-m+6),在RtLEMF中，再利用勾股定理得到关于小的方程,解方程即可.

【详解】解：•.•点B的坐标为(8,6),四边形。43。是矩形，。，石分别为Q4,BC的中点，

.♦.0(0,6),0(4,0),E(4,6),

由折叠的性质可得：EF=BE=4,

设直线CD的解析式为沙=皿+仇

则(6=6

、」14%+6=0'

解得：2,

[b=6

直线CD的解析式为9=一坛+6,

过点F作FM_LCE于点、M■，过点F作FN±OC于点、N,

MS

设点―^-m+6),

则MF—CN=6—(—+6)=EM—4—m,

在Rt^EMF中，EM2+MF2=EF2,

・・・(4-m)2+(ym)2=42,

解得：?n=等或M=0(不合题意，舍去)，

io

出32升332..30

当…近时，。=—/v而+6=育

.••点歹的坐标为(管,普)，

故选：A.

【点睛】本题是一次函数与几何综合题，考查了求一次函数解析式，勾股定理，翻折的性质，矩形的性质，中点

的性质，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键.

题目回综合与实践课上，李老师让同学们以矩形纸片的折叠为主题开展数学活动.如图，将矩形纸片

ABCD对折,折痕为EF,再把点A折叠在折痕EF上，其对应点为A,折痕为DP,连接若AB=2,BC

=通，则tan/ABF的值为（）

【答案】A

【分析】先证明EF=AB=CD=2,CF=BF=DE=吟,ADEA=90°,ZAFB=90°,人。=4。=四，可

得HE=VAD2-DE2=—,AF=2-■|=。,再利用正切的定义求解即可.

【详解】解：•.•矩形纸片ABCD对折,折痕为EF,4B=2,8。=通，

:.EF=AB=CD=2,CF=BF=DE=号,ADEA^90°,ZAFB=90°,

由折叠可得：AD=AD=V3,

：.AE=y/AD2-DE2=-1-,

.•0=2-=

MS

~2~

故选A

【点睛】本题考查的是轴对称的性质，矩形的性质，勾股定理的应用，求解锐角的正切，熟记轴对称的性质是

解本题的关键.

趣目17〕如图，矩形4BCD中，AB=2,BC=3,P是边中点,将顶点。折叠至线段4P上一点D,折痕为

EF,此时，点。折叠至点C.下列说法中错误的是（）

A.COSZBAP=4B.当=?时，DE_LAP

53

C.当AB=18—6，K时，△AZ7E是等腰三角形D.sin/D4P=§

5

【答案】。

［分析］根据矩形的性质，直角三角形的性质，三角函数，勾股定理，折叠的性质计算判断即可.

【详解】：矩形ABCD中，AB=2,BC=3,P是边BC中点,

：.BP=^-BC=^-,ZB=90°,

AP=^AB2+BP'2=^22+(-1)2=-1,

：.cosZBAF=4?=4-=4-

APA5

2

故A正确；

•.•矩形ABCD,

：.AD//BC,

：.NDAP=NAPB,

：.sinADAP=sinZAFB=cosZBAP=二,

5

故D正确；

设DE=DE=a:,

根据题意，得AE=AO—OE=3—msin/OAP=g,

5

•：DfE±AP,

解得力二今，

0

：.AE=AD-DE=3-x=^-,

o

故3正确；

当=时，

设OE=D'E=2,根据题意，得AE=AD—DE=3-①,MS

J.X—6—X,

解得

此时。',4重合，三角形不存在，不符合题意；

当=时，过点。'作iyN_LA。于点N,

则AN=NE;

•・,矩形ABCD,

・・.AD//BC,

・・・/DAP=/APB,

3

-

2

cosZDAF=cosZAFB5

-

2

设。石=。'石=力，根据题意，得4E；=AD—0E=3—力，。'石=AD'=c,

.AN=AN=3

Aor-^r-T,

解得AN=yrx;

5

AE=AD—DE=3—T=2AN=§力,

5

解得/=*；

.6_15_18.

“一5X11-11,

当AB=AD'时，过点。'作。'H_LAD于点H,

设。E=£>'E=①，根据题意，得4E=AD'=AD—DE=3—H,

：.LfH=AiysinZDAP=-^(3—x),AH=ALfcosADAP=-1-(3—z),

00

HE—AE—AH—(3-x)—^-(3-x)—-~-(3-x),

00

根据勾股定理,得HE2+D'H2=D^E2,

，［卷(3-«)T+弓(3-2)丫=X2

解得x=6V5—12;

AE=3—力=15—6V5;

综上所述，40=15-6，^或4&=*，

故。错误，

故选C.

【点睛】本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，三角函数，勾股定理，折叠的性质，熟练掌握三角函数,

勾股定理,矩形的性质，折叠的性质是解题的关键.

〔题目可如图，AB为半圆O的直径，点。为圆心，点。是弧上的一点,沿CB为折痕折叠自己交AB于点、M,

连接CM,若点河为AB的黄金分割点则sin/BCM的值为（）

•••

追_1逐+1

A.B.D

22-f

【答案】A

【分析】过点_M'作MD±CB,垂足为。，延长MD交半。O于点,连接CM',BM',根据折叠的性质可得:

ACMB=ACM'B,BC±MM'，从而可得ABDM=90°,再根据黄金分割的定义可得刍譬="二上,然后

AB2

利用直径所对的圆周角是直角可得/力CB=90°,从而证明A字模型相似三角形〜△CR4,进而利

用相似三角形的性质可得第=察=41，最后根据圆内接四边形对角互补以及平角定义定义可

得：=从而可得CA=CM,再在①△CDM中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答.

【详解】解：过点"作MO_LCB,垂足为。，延长交半。。于点M7,连接W,BMr,

由折叠得：ACMB=ACMfB,BC_LMMf,

：.ZBDM=90°,

・・•点河为AB的黄金分割点(BM>AM),

.BMV5-1

9，~AB~2'

・・•AB为半圆O的直径，

・・・乙4cB=90°,

・・・/ACB=/MDB,

・・•/DBM=/CBA,

・・・/\DBM〜/\CBA,

.DM=BM_=V5-1

**AC~~AB~2'

・・・四边形ACMrB是半。。的内接四边形,

：.ZA+ZCM^B=180°,

・・・ZAMC+ZC7WB=180°,ZCMB=/CMB

：.ZA=ZAMC,

：.CA=CM,

在Rt/XCDM中，sinZBCM=察《=耳譬=当」.

dVLN

故选：A.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，黄金分割，解直角三角形，翻折变换(折叠问题)，圆周角定理,

根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.

二、填空题

［题目回如图，将一张矩形纸片ABCD折叠,折痕为EF,折叠后，EC的对应边EH经过点4co的对应边

HG交BA的延长线于点P.若PA=PG,AH=BE,CD=3,则的长为.

MS

G

R.

BEC

[^<]4V3

【分析】本题考查了矩形与折叠问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理.连接PF,设BC=2H,AH=BE

=a，证明Rt/\PAF咨Rt^PGF(地)，求得凡4=FG=FD=cc,由折叠的性质求得BE=,在RtAABE

中，利用勾股定理列式计算，即可求解.

【详解】解:连接PF,设8。=2%，AH=BE=a,

由矩形的性质和折叠的性质知FG=FD,ZG=ZFAP=90°,AB=CD=3,AD=BC,

,:PA=PG,PF=PF,

：.RtAPAFTRt/\PGF(HL),

：.FA=FG=FD=^-AD=^-BC=xf

由矩形的性质知：AD//BC

・・・4AFE=/FEC,

折叠的性质知：4FEA=4FEC,

：./.FEA=/AFE,

：.AE=FA=x,

由折叠的性质知石O=E"=A£；+4H=%+Q,

BC=BE+EC=a+x-\-a=2x,

ii

a=—x,即BE=—x,

在Rt/\ABE中，AB2+BE2^AE2,即32+(ya;)2=x2,

解得/=2A/3,

BC=2x=4V3,

故答案为：4四

【题目皿如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=6,“为AD的中点，N为6。边上一动点，把矩形沿MN折

叠，点4B的对应点分别为A,8,连接AAr并延长交射线CD于点P,交MN于点、。，当N恰好运动到BC

的三等分点处时，CP的长为.

MS

4

-

-

-口

-

-

-

--

8

A

B'

5

】1或

【答案

=

当BN

形；②

为矩

BNG

边形A

,则四

点G

0于

G_L4

N作N

过点

N时.

=2B

当CN

况:①

种情

】分两

【分析

1.再

G=

M-A

M=A

质得G

的性

矩形

,根据

矩形

NG为

形AB

四边

G,则

于点

±AD

作NG

点N

时，过

2cN

答案.

质可得

定与性

形的判

似三角

根据相

°,然后

^90

AOM

可得A

性质

叠的

由折

晌.

2BN

CN=

①当

】解:

【详解

形，

为矩

BNG

边形A

则四

点G,

AD于

G±

N作N

，过点

如图1

2.

=BN=

,AG

B=3

=A

:.NG

点，

的中

为AD

■：M

3,

AW=

，

对应

与4

叠A

由折

90°,

图1

,

=90°

AMO