天津市某中学2024届高三年级下册考前热身训练数学试题（含答案解析）

天津市实验中学2024届高三下学期考前热身训练数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合4={%|%=3左一1,左£]^},5={%|—4%2+4%+15>0},则4nB=（）

A.{-1,0}B.{0,1}C.{-1,1}D.{-1,2}

c

2.记S”为数列{%}的前〃项和，设甲：{%}为等差数列；乙：{2}为等差数列，则（）

n

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

3.如图，直线/和圆C,当/从。开始在平面上绕点O按逆时针方向匀速转到（转到角不

超过90。）时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间，的函数，这个函数的图像大致是

4.已知m,n为异面直线，m_L平面a,n_L平面[3,直线1满足1J_m,1_Ln,/a,//?,则

试卷第1页，共4页

（）

A.a〃p且/〃aB.a_L0且/_L0

C.a与B相交，且交线垂直于/D.a与0相交，且交线平行于/

5.四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数.根据四名同学的统计结果，可

以判断出一定没有出现点数6的是（）

A.平均数为3,中位数为2B.平均数为2,方差为2.4

C.中位数为3,众数为2D.中位数为3,方差为2.8

6.已知a=log23,6=log34,c=log45,则a,b,c的大小关系是（）

A.a<b<cB.a<c<b

C.c<a<bD.c<b<a

TT

7.已知函数y[x）=Qsinx+cosx（。为常数，x£R）的图象关于直线％=T■对称，则函数g（x）

6

=sinx+qcosx的图象（）

A.关于点对称B.关于点对称

C.关于直线x=J对称D.关于直线x=彳对称

36

22

8.已知双曲线4-4=1（。/>0）上存在关于原点中心对称的两点4B,以及双曲线上的

ab

另一点C,使得V/BC为正三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（）

D.

9.已知定义在R上的奇函数“X）,当x<0时，/（x）=el-（x+l）,给出下列命题:

①当x>0时，/（x）=e-（l-x）；②函数/（X）有2个零点；

③/。）>0的解集为（T0）U（l,+8）；④都有|〃西）一/（々）|<2.

其中正确的命题个数为（）

A.1B.2C.3D.4

二、填空题

10.已知2i-3是关于x的方程2/+必+4=0（0应€11）的一个根，则。+4=.

试卷第2页，共4页

11.在。-2x)5.(1+3x)4的展开式中，按x的升塞排列的第3项为.

12.已知点A为圆C：(x-",)2+(y-m-l)2=2上一点，点2(3,0),当加变化时线段N3长度的

最小值为.

13.甲、乙、丙三个人去做相互传球训练，训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球

时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出.如果第一次

由甲将球传出，设“次传球后球在甲手中的概率为4，则8=;Pn=.

―►—►3——►1—>

14.在梯形/BCD中，AB//CD,AD=1,AB=3,CD=1,AC-AB=—，点、M满足4M=-4B,

23

则；若8。与CM相交于点P,N为线段/C延长线上的动点，则标.丽的

最小值为.

15.已知函数/(x),g(x)的定义域均为R,S./(x)+g(2-x)-5,g(x)-f(x-4)=7.若

22

v=g(x)的图象关于直线x=2对称，g(2)=4,贝!]£/(左)=.

k=l

三、解答题

16.如图，在V/BC中，已知/8=2,/。=5,/3/。=60°,3(7,/(7边上的两条中线/〃，BN

相交于点P.

⑴求中线的长；

⑵求的余弦值；

(3)求A/8尸面积.

17.如图，在棱长为。的正方体ON8C-OW£C中，瓦尸分别是棱上的动点，且

AE=BF.

试卷第3页，共4页

⑴求证：A'F1C'E；

(2)当三棱锥B'-BEF的体积取得最大值时，求平面B'EF与平面BEF夹角的正切值及点O到

直线B'E的距离.

18.已知等比数列｛%｝的前〃项和为S“，且a向=2S,+2(〃eN*).

(1)求数列｛%｝的通项公式；

⑵在an与an+l之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为dn的等差数列.

(i)求数列｛4“｝的通项公式及2竽；

(ii)在数列｛",｝中是否存在3项力,，或，。(其中优，hp成等差数列)成等比数列？若存

在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由.

22

19.已知椭圆三+5=1(。>6>0)的左焦点为尸(-70),右顶点为A,点E的坐标为(0,c),

ab

△EE4的面积为d.

2

(I)求椭圆的离心率；

(II)设点。在线段/E上，|尸。|=(，延长线段尸。与椭圆交于点尸，点M,N在x轴上,

PM\\QN,且直线尸”与直线QN间的距离为c,四边形PQW的面积为3c.

(i)求直线尸尸的斜率；

(ii)求椭圆的方程.

20.已知函数/'(x)=ae2%+(<?-2)e*-x,g(x)=eA-ln(x+m].

⑴讨论/(x)的单调性；

(2)当加42时，求证g(x)>0；

⑶若有两个零点，求。的取值范围.

试卷第4页，共4页

参考答案:

题号123456789

答案DCDDBDCAB

1.D

【分析】解一元二次不等式得到3,再由集合交集运算即可求解.

【详解】因为/=｛x|x=3左一1,左eN｝,当左=一1,0,1,2,时，3左-1=-4,-1,2,5

5=|x|-4x2+4x+15>O｝=卜-T<x<

所以4(18=｛T,2｝

故选：D

2.C

【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前〃项和与第〃

项的关系推理判断作答.，

【详解】方法1,甲：｛%｝为等差数列，设其首项为q,公差为d,

则Sn=71al+Dd,且=Cli+^-d=gn+—^,^77——=p

2n222n+1n2

因此｛24为等差数列，则甲是乙的充分条件；

n

反之，乙：｛1｝为等差数列，即螯—,=也常箸迫=将/为常数，设为''

艮|3九：；：；],=t,则S九=nan+1-t-n(n+1),有S5i=(n-l)an-t-n(n-l),n>2,

两式相减得：an=nan+1—(n—l)an—2tn,即册+1—an=23对〃=1也成立，

因此｛4｝为等差数列，则甲是乙的必要条件，

所以甲是乙的充要条件，C正确.

方法2,甲：｛%｝为等差数列，设数列｛%｝的首项q，公差为d,即s“=〃q+”^",

则1=%+"d=Sn+ai—4，因止匕｛盘｝为等差数列，即甲是乙的充分条件；

反之，乙：｛今为等差数列，即罄—?=£>,?=S1+5—1)。，

即Sn=nSx+n(n-1)Z>,Sn_1=(〃-1)R+(〃一1)(〃-2)。,

当〃22时，上两式相减得：Sn-Sn_r=Sr+2(n-1)Z),当〃=1时，上式成立，

于是4=4+2(〃-1)。,又4+i=%+2〃。-[q+2(〃-1)0=20为常数，

答案第1页，共17页

因此｛。J为等差数列，则甲是乙的必要条件，

所以甲是乙的充要条件.

故选：C

3.D

【分析】由题意可知：S变化情况为“一直增加，先慢后快，过圆心后又变慢”，据此确定函

数的大致图像即可.

【详解】观察可知面积S变化情况为“一直增加，先慢后快，过圆心后又变慢”，

对应的函数的图象是变化率先变大再变小，由此知。符合要求.

故选D.

【点睛】本题主要考查实际问题中的函数图像，函数图像的变化趋势等知识，意在考查学生

的转化能力和计算求解能力.

4.D

【详解】试题分析：由巾平面直线/满足/J-加，且所以///a,又“_L平面"，

11小1邙,所以/〃分，由直线九〃为异面直线，且机，平面平面。，则a与。相交,

否则，若a//〃则推出机//〃，与机,〃异面矛盾，所以％£相交，且交线平行于/,故选D.

考点：平面与平面的位置关系，平面的基本性质及其推论.

5.B

【分析】根据题意举出特例，结合中位数，众数，平均数以及方差公式，即可得出答案.

【详解】对于A,当投掷骰子出现结果为1,1,2,5,6时，满足平均数为3,中位数为2,

可以出现点数6,故A错误；

对于B,若平均数为2,且出现6点，则方差s?>:(6-2)2=3.2>2.4,

则平均数为2,方差为2.4时，一定没有出现点数6,故B正确；

对于C,当投掷骰子出现结果为2,2,3,4,6时，满足中位数为3,众数为2,可以出现

点数6,故C错误；

对于D,当投掷骰子出现结果为1，2,3,3,6时，满足中位数为3,

平均数为了=：(1+2+3+3+6)=3,

方差为$2=g[(1-3)2+(2-3)2+(3-3>+(3-3)2+(6-3>]=2.8,

答案第2页，共17页

可以出现点数6,故D错误;

故选：B.

6.D

【分析】对。，b,c进行变形，构造〃+x>2,求导后得到其单调性，从而

Inx

判断出b,。的大小.

【详角军】«=log23=^1,Z)=log34=^,c=log45=^1-,

In2m3In4

令/(尤)=蛇却，xN2,

Inx

Inxln(x+l)

则HQ=IZTx=^lnx-(x+l)ln(x+l),

In2xx(x+D或x

因为x>2,所以x(x+l)ln2%>0,

令g(x)=xlnx,x>2,

gr(x)=lnx+l>0在x22上恒成立,

故xlnx—(x+l)ln(x+l)<0,

xlnx-(x+l)ln(x+l)

所以/'(x)=<0在122上恒成立,

x(x+l)ln2x

故/(无)="(x+1)在x22上单调递减,

Inx

In3In4In5

所以——>——>——，即〃〉6>c

In2ln3In4

故选：D

【点睛】构造函数比较大小是高考热点和难点，结合代数式的特点，选择适当的函数，通过

导函数研究出函数的单调性，从而比较出代数式的大小，本题中变形得到。=logz3=P，

In2

6=log，4="，C=log45=^4,所以构造/(x)」n(x+l),%>2,达到比较大小的目的.

In3In4'7Inx

7.C

【分析】由题意结合函数的对称性可得/.(oh/1?],进而可得a=，，结合辅助角公式

可得g(x)=#isin[x+^|,再结合三角函数的图象与性质逐项判断即可得解.

答案第3页，共17页

【详解】由函数小)的图象关于直线x=?对称可得/(0)=，/即「等Q+j

所以a=^~，g(x)=sinx+^-cosx=^-^-sinfx+—1,

333V6J

小丁A八2百.(nn\2G人七廿、口八-rr&

对于A、C,gly1=^—smly+—1=^—,故A错庆、C正确;

TTc「2乃12百.(2兀兀'G•'口

对于B,gl—1=^—sinl—+—l=—,故B错厌;

对于D,g[\=竺sin([+[]=l,故D错误.

故选：C.

【点睛】本题考查了三角函数图象与性质、辅助角公式的综合应用，考查了运算求解能力与

转化化归思想，属于中档题.

8.A

【分析】设点/(无,力，则可取cb5,岳)，代入双曲线方程整理可得q=n，结

XCL।3D

合渐近线列式求解即可.

【详解】由题意可知：双曲线的渐近线方程为＞=±2》,

a

设点Z(x,y),则可取C卜岛，亚卜

22

匕=1,

“Ib2，整理得4=”名〈与,

则2

3y3x21x2a2+3b2a2

-------------I

a2b2

2

解得〃＞/,即°2一/〉/,可得二＞2,则e=£

aa

所以该双曲线离心率的取值范围是(3,+8).

答案第4页，共17页

故选：A.

【点睛】关键点点睛：1.巧妙设点：设点/(XJ),根据垂直和长度关系可取C卜岛，后卜

2/2

2.根据渐近线的几何意义可得：与〈与.

xa

9.B

【分析】利用奇函数的定义与性质可判定①②，通过导数研究函数的单调性、最值可判定

③④.

【详解】不妨令一无<0,则x>0J(-x)=ef(-x+l)

因为/(x)为奇函数,所以/(f)=—/(x)n〃x)=eT(xT，即①错误；

ex(x+l),x<0

由上可知/(x)=<0,x=0,

e-A>0

令/(尤)=0可得x=±l或0,有三个零点，即②错误；

对于/(x)=ex(x+1)(x<0)=>/'(X)=er(x+2),

显然x<-2时/'(x)<0,此时y=/(x)单调递减，

0>x>-2时/'(无)>0,此时y=/(x)单调递增，

不难发现尤>-1时，/(x)>0,x<-l时/(x)<0,

所以/(x"/(-2)=-x-0时，

所以x<0时，f(-X)e-/,lj,

由奇函数的性质可知/(无)>0的解集为(T,0)U(l,+s)；

且x>0时，,故尤eR时有/(x)e(-1,1),

则VXi'eR,都有<,=>-2</(X1)-/(x2)<2,

［一1<一J—J<1

所以恒成立，即③④正确；

故选：B

答案第5页，共17页

【点睛】思路点睛：根据奇函数的对称性性质结合导数研究函数的单调性、极值与最值计算

即可，另外多积累常用的几类函数会帮助比较大，形如了=xe"=xlnx/=《/=住等.

XX

10.38

【分析】代入方程结合复数的概念及运算法则待定系数计算即可.

【详解】将x=2i-3代入方程2x?+p尤+g=0

得2（2i—3『+p（2i-3）+g=（2p_24）i+10-3p+q=0,

2p-24=0p=12

所以所以p+q=38.

\Q-3p+q-0=g=26

故答案为：38

II.-26x2

【分析】易知，展开式中有常数项、一次项，二次项，……，故按x的升幕排列，第三项为

含Y项，结合展开式的通项可求解.

【详解】解：易知，展开式中有常数项、一次项、二次项等，故所求的项为f项.

整个式子中项可由(1-2x)5,(1+3x＞的展开式的常数项与二次项、一次项与一次项相乘

得到，其中(1-2x)5展开式的通项为&]=q(-2x)r,(1+3x)4展开式的通项为=c：(3x)4；

故所求为：C；xC：(3x)2+C(-2x)xC；(3x)+C；(-2x)2xC：=-26x?.

故答案为：-26，.

12.V2

【分析】根据圆的方程得到圆心的轨迹，然后根据几何知识得到当时线段N8的长度

最小，

然后求线段的长度即可.

答案第6页，共17页

【详解】

圆C的圆心坐标为〃z+l）,半径一行，所以圆心在直线/：y=x+l上,

当时线段AB的长度最小,

|3+1-0|

点B到直线/的距离〃==20,

V1+T

所以同L=d-r=^2.

故答案为：V2.

【分析】设出事件4，由题意得到4M=4-A+i，由互斥事件的概率加法公式和

全概率公式得到概率月的递推式IM=-1^+p接着构造等比数列优-1），求出其通项公

式即得.

【详解】设4="经过”次传球后，球在甲的手中”，则事件4的概率即勺,“=1,2,3,，

则q=0,

依题意，4M・A,则p=p（A-A+J4M）（4M）（・

41M=4-+4n+ln+}nI1+IA=pZ♦+p4A+I）

——11

=尸（4）•尸（4M4）+尸（4）•尸（4M4）=（I—£）X5+£XO=3（I—月），

即4+1=-34+＜，1,2,3,-,（*）

因代入解得，＜，

6=0,8=P3=_LXL+L=L.

由（*）可得，只+「;=_1月+[=一:（勺­），且月一.=一;,

3262333

故数列化-9是以-;为首项，-1为公比的等比数列，

答案第7页，共17页

于是，尸，则得，^=1-1x(-lr=1x(-Lr+L

33幺3幺3

故答案为：(；lx*-；)〃+:•

一2兀23

14.——一

336

【分析】结合图形，利用向量的加减运算和数量积的定义化简计算即可求得/24。；接着

根据条件建立平面直角坐标系，设运用向量数量积的坐标运算式，将而•屉化

成关于t的二次函数，利用其图象特征即得而.福的最小值.

由图知，AC-AB^(AD+DC)-AB=AD-AB+DC-AB^3cosZDAB+3^^,

I7jr

解得，cosNDAB=一一,因0</。/8<兀，贝!|40/3=三；

23

7IT

如图建立平面直角坐标系，因=AB//CD,4D=CD=1,易得正4CD.

则/(0,0),2(3,0),吗,号,。(-；,表心1,0)，直线CM的方程为：6x+y-£>=0,

2

直线BD的方程为:岳+7y-=0,两直线联立解得<

因N为线段/C延长线上的动点,则”1,

’2166

于是，NP-NB=-------1,--------------1

3232

2116或、/6、_/77，23

=(---0(3--0+(--0(--t-3^+2-a--)+-)

793

因Z>1,故当t=z时，杨•屉取得最小值，为外.

O36

答案第8页，共17页

_2兀23

故答案为：—;—■

336

15.-24

【分析】根据/'(x)+g(2-x)=5,g(x)-/(x-4)=7得至U/(-=根据y=g(x)的图

象关于直线x=2对称得到g(2-x)=g(2+x),然后通过替换得到/'(x)为周期为4的周期

函数，最后通过赋值和周期性求函数值即可.

【详解】由/(尤)+g(2-x)=5得/(2->)+g(x)=5,

由g(x-4)=7得〃2-力+仆-4)=-2,

令x=3得/'(一1)=一1,

因为y=gO)的图象关于直线x=2对称，所以g(2-无)=g(2+x),

由/(尤)+g(2-x)=5得y(x)+g(2+x)=5,

由g(x)-〃x-4)=7得g(2+x)-/(x-2)=7,

贝U/(x)+/(x-2)=-2,/(x-2)+/(x-4)=-2,

所以/'(x)=/(尤一4),/(x)为周期为4的周期函数，/(-1)=/(3)=-1,

在/(尤)+g(2-x)=5中，令x=0得〃0)+g⑵=5,则/(0)=/(4)=1,

在/(x)+/(x-2)=-2中,令》=2得〃2)+/(0)=-2,则/⑵=一3,

令x=3得〃3)+〃1)=-2,则/⑴=一1,/⑴+〃2)+〃3)+/(4)=-4,

22

g/(A:)=/(l)+/(2)+5x(-4)=-24.

k=l

故答案为：-24.

16.(1)叵

2

⑵幽

91

⑶毡

6

【分析】(1)运用中线长的向量表达式，结合数量积定义可解；

(2)转化为向量夹角余弦值可解；

答案第9页，共17页

（3）运用重心的性质，结合面积公式可解.

【详解】(1)因为W为的中点，，翔=^方+(万，

/.AM=-{AB+ACY=~^AB+2ABAC+ACj=-(4+25+2x2x5xcos60)=y，

/.|AM卜叵.

2

—►1—►—►

(2)因为BN=—4C—

2

--2(1—►--Y1--2—►―►—-21o21

BN=-AC-AB=-AC—AC•AB+AB=—x25—2x5xcos60+4=—,

uJ444

（3）・・・尸为中线的交点，「.0为V45C重心,

22

:.\AP\=-\AM\,\BP\=-\BN\,

___________斥

•「ZMPNG(0,7i),/.sinZMPN=yjl-cos2ZMPN=,

<91

i&八

/.SARC=-\AF\\BP\sin/MPN=­.

2o

17.(1)证明见解析

(2)2亿

【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明求解即可.

（2）利用平面夹角的向量求法结合同角三角函数的基本关系求出tan6=2夜，利用直线夹

角的向量求法求出cos^=|,再求解点到直线的距离即可.

【详解】（1）以C为原点，如图所示建立空间直角坐标系，

答案第10页，共17页

AE=BF,CF=BE,

设C/=6(0<6〈q),

/.F(0,b,0),A(a,a,a\E(b,a,0),C(0,0,a),

AF=(-a,b-a,-a)9CE=(b,a,-a)，

■:A.F•CE=—cib+ctb-iz2+ci^—0f

/.AF_LCE，即AF_LC'E,

(2)VB，_BEF=；SmFxBB'=才3b(a—b)xa

2

=~ab+1/仇6e(o,0,由二次函数性质得,

66

12

-Q

,6Q一.

当6=一—宁方=5时，%.BEF取得最大值，

2xhJ

此时瓦厂为的中点，

设平面8跖的法向量为*=(0。1),

而=心,“，

设平面B'EF的法向量为需=(x,y,z),

n2•FE-0Jx+j=0

n2-FB'-0\y+2z=0

令z=1,.，.y=-2,x=2,/.n2-(2,—2,1),

设平面BrEF与平面BEF的夹角为。,

cos6=|cos/^,^\|=,

'/"iH%3

答案第11页，共17页

/.sin0=----，tan6=2^2，

3

班出,0厂0；砺=[\,见0

设直线OE和所成角为6，

I/—.—A||赤•匹]9[7

■•.cos尸=cos(。及B'E)\=I|=1,；.sin£=里

1'710目忸目55

•'•点O到直线BE的距禺d=|(9E卜sin0=.

18.(1)%=2X3"T

力，4X3”T9”/178〃+17)

万届一64x9"J；（ii）不存在，理由见解析

⑵⑴"”二F

【分析】（1）当“22时，由％=2S“+2可得%=2“+2,两式作差可得出一=3a“，再

由〃=1可得出g=2q+2=3%,求出可的值，确定等比数列｛册｝的公比，即可求得数列｛册｝

的通项公式；

（2）①求得d“=4Wx—,利用错位相减法可求得7；；

〃+1

②假设在数列｛4,｝中是否存在三项"、%（其中"?、k、。成等差数列）成等比数列，

由等比数列的定义结合已知条件化简得出4k2=4mp,结合2左=加+p以及加R。可得出结

论.

【详解】（1）（1）方法一：

当〃22时，an-2S"_]+1,

a,+「a,=25„-2S„_1=2a„,

则J=3%，

｛4｝为等比数列，，等比数列｛an｝的公比为3,

当〃=1时,出=2sl+1=24+1,/.34=24+2,

解得：%=2,.1%=2x3"T（〃eN*）.

方法二：

答案第12页，共17页

设｛册｝公比为见•••｛«„）为等比数列

…a、=a."q=224；+(12+”解得小或3

Q夕w0,:.q=3,「.％=2,

%=2X3〃T

a__4x3"i

«„In2X3"-2X3"T

(2)(2)(i)dn=+

〃+2—1n+\〃+1

』=i±lx3"-=，绊

dk229k

19V23nw+n

9219?939"9,,+1)

诋一*口甘，日8T9"f2111n+1

两式相减得一/=—―T-l—7H—r+...H------丁

92(992939“91

'1__1_、

9〃199*1〃+1

一万7+.19^

I9J

_9"/178〃+17)

一万反-8x9向)

.7_型1_也±12]

一〃2(6464x9〃)

方法二:

nk

。2〃—左_2+1xJ2(M-AT)=1+1x9

dk22

设5■于全…卜力+…+了+一卬

:.9T=2x9"+-X9"-1+-x9n-2+...+—x9*

“2222

两式相减得87；=9"+；x9"i+；x9"<+…+gx)-等x9°

=1(9'+92+...+9"+9"-«-1)

1(9.9〃+1

-2^1-9+9"-n-1

答案第13页，共17页

USj

28

17x9"n17

128-16-128

(ii)假设存在满足题意的3项,

4卢223"T2炉4.3加+。-2

''d,d,d成等比数列,=d-d,即

mkpmp(发+厅m+1(JYI4-1)(2+1)

4.3加+。-24.3加+2-2

・・・巩左M成等差数列,/.2k=m+p,:

(k+1)2(m+1)(/7+1)

/.(k+1)2=(m+1)(/?+1)=mp+m+p+1=mp+2左+1：

/、2/、222

整理可得:e=mp,又/+2丁+P

即(冽一夕)2=0,解得：m=p,则加=夕=左，与题设矛盾。

「•假设错误，即不存在满足题意的3项.

1322

19.(I)(ID(i)(ii)土+匕=1.

241612

【分析】根据△EE4的面积为里列出一个关于。*,。的等式，削去6求出离心率；根据a，c关

2

系巧设直线/E的方程，与直线尸尸的方程联立解出焦点。的坐标,利用/解出斜率机，

把直线F尸的方程与椭圆方程联立，解出P点坐标，分别求出和AEP”的面积，利用

四边形尸QW的面积为3c,解出。，得出椭圆的标准方程.

【详解】(I)设椭圆的离心率为e,由已知，可得g(c+°)c=[.又由〃=/-02,可得

2c2+ac-a2=0>即2/+e-l=0.又因为0<e<1,解得

所以，椭圆的离心率为1.

2

(II)(i)依题意，设直线EP的方程为x=w-c(m>0),则直线尸产的斜率为

m

由(I)知a=2c,可得直线的方程为F+^=l，

2cc

即x+2尸2c=0,与直线歹尸的方程联立，

可解得x=仅二一2」,=上，即点。的坐标为f仅呀?。3c

m+2m+2(冽+2m+2

由已知/。|=万,有

答案第14页，共17页

整理得3%2_4机=0,所以加=2，即直线EP的斜率为之.

34

22

(ii)解：由a=2c,可得b=6c,故椭圆方程可以表示为9+9=1.

由⑴得直线尸尸的方程为3x-4y+3c=0,

3x-4y+3c=0,

与椭圆方程联立x2y2消去y,

[h/j

13c

整理得7/+65-13,=0,解得x=_；-(舍去)

或….因此可得点进而可得同|=1+城+审2吾，所以

\PQ\=\FP\~\FQ\=^~=c.

由已知，线段尸。的长即为尸”与QV这两条平行直线间的距离，

故直线PM和QN都垂直于直线FP.

4Qr

因为所以例===所以力”的面积为

1O7r275r2

JF0QM=K，同理AEPM的面积等于节-，由四边形PQW的面积为3c，得

---=3c,整理得°2=2C,又由C>0,得C=2.

3232

所以，椭圆的方程为二+亡=1.

1612

【点睛】列出一个关于凡上。的等式，可以求离心率；列出一个关于。,仇c的不等式，可以

求