柱体台体球体的表面积与体积20220412

柱锥台的表面积和体积

则其面积为__________.

复习：1.如图①中，则的面积________

2.已知长方形的长为宽为,边上的高为，

图①△△1３.梯形的上底，下底，高梯形的面积为______________。圆心角,5.如图扇形的半径为，则扇形的面积是2弧长是，——————，也可表示成——————。4.已知圆的半径为r，则圆的面积为__________。5问题：上述几何体的展开图与其表面积有什么关系？1.柱体、锥体、台体的表面积正方体、长方体的表面积就是各个面的面积之和。探究

棱柱、棱锥、棱台也是由多个平面图形围成的几何体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？棱柱侧面展开图平行四边形组成S表=S底+S侧棱锥侧面展开图三角形组成S表=S底+S侧棱台的侧面展开图梯形组成7S表=S底+S侧

例1.已知棱长为,各面均为等边三角形（如图④）,则它的的三棱锥①底面积为_______,

②侧面积为_______,③表面积为_______.图④8例2.下图是一个几何体的三视图(单位:cm)想象对应的几何体，并求出它的表面积12解：直观图是四棱台,侧面是四个全等的梯形,上下底面为不同的正方形2、圆柱、圆锥、圆台（1）圆柱的表面积1416（2）、圆锥的表面积（3）、圆台的表面积OO’OO

圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间的关系。r’＝r上底扩大r’＝0上底缩小

1.看图回答问题

做一做203.以直角边长为1的等腰直角三角形的一直角边为轴旋转，所得旋转体的表面积为____________.侧面展开图为正方形，则它的表面积为__________.2.一个圆柱形锅炉的底面半径为,21

４.一个圆台形花盆盆口直径为20cm,盆底直径为15cm,底部渗水孔直径为1.5cm,盆壁长15cm.为美化花盆的外观，需要涂油漆.已知每平方米用100毫升油漆，则

(1)每个花盆要涂油漆的表面积为___________；

(2)涂100个这样的花盆，需要油漆___________毫升.(精确到1毫升,可用计算器)

22分析

(1)花盆外壁的面积=花盆的侧面积+底面积-底面圆孔面积23(2)涂100个需漆:y=0.1×100×100=1000(毫升)

答:每个涂漆面积0.1100个需涂漆1000毫升.24解:(1)练习1.一个圆台，上、下底面半径分别为

10、20，母线与底面的夹角为60°，求圆台的表面积.变式:

求切割之前的圆锥的表面积.

面积公式：17情景设置

取一些书堆放在桌面上(如图所示)

，并改变它们的放置方法，观察改变前后的体积是否发生变化？从以上事实中你得到什么启发？祖暅原理

夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．

问题：两个底面积相等、高也相等的柱体的体积如何？4.柱体、锥体、台体的体积ShSS

棱柱（圆柱）可由多边形（圆）沿某一方向得到，因此，两个底面积相等、高也相等的棱柱（圆柱）应该具有相等的体积．hV柱体=sh柱体锥体

经探究得知，棱锥(圆锥)是同底等高的棱柱(圆柱)的，即棱锥(圆锥)的体积：（其中S为底面面积，h为高）

由此可知，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底面面积乘高；棱锥与圆锥的体积公式类似，都是等于底面面积乘高的．台体柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？上底扩大上底缩小柱体、锥体、台体的体积锥体台体柱体小结例4：如图，一个长方体截去一个角所得多面体的正视图和侧视图在下面画出（单位：cm）.（1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；(2)按照给出的尺寸，求该多面体的体积；例题讲解练习：已知一正四棱台的上底边长为4cm,下底边长为8cm，高为3cm，求其体积解（略）例5已知一个圆锥的底面半径为R,高为H,在其中有一个高为x的内接圆柱.(1)求圆柱的侧面积;(2)x为何值时,圆柱的侧面积最大?并求出这个最在值.OO1PAB如图，圆柱内有一个三棱柱，三棱柱的底面在圆柱底面内，并且底面是正三角形．如果圆柱的体积是Ｖ，底面直径与母线长相等，那么三棱柱的体积是多少？巩固练习BACA1B1C1OABCD例5一圆台的母线长为20cm,母线与轴的夹角为300,上底面的半径为15cm,求圆台的高,下底面的面积及体积.练习:如图,轴截面是正方形的圆柱,叫等边圆柱.已知等边圆柱的底面半径为r,求等边圆柱的表面积.O’oABCrOO1

例6、如图，已知直角梯形ABCD,AB=2,CD=1,BC=1,若分别以梯形的各条边所在的直线l为旋转轴旋转，可得到不同的旋转体。求出它们各自的体积与表面积？BCCDDAAB例题讲解球的大圆球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的大圆球的性质OO`球心与截面圆的圆心的连线垂直于截面圆球的表面积是2500

，球内有两个平行截面的面积分别是49

、400,求两截面距离OO2O1ABOO2O1AB1.3.2球的体积和表面积AOO.1、球的体积B2C2BiCiAO已知球的半径为R问题:已知球的半径为R,用R表示球的体积.例1.钢球直径是5cm,求它的体积.定理:半径是R的球的体积变式1：一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它的内径.(钢的密度是7.9g/cm2)解:设空心钢球的内径为2xcm,则钢球的质量是答:空心钢球的内径约为4.5cm.由计算器算得:球面：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面。球(即球体):球面所围成的几何体。它包括球面和球面所包围的空间。半径是R的球的体积：推导方法：

分割求近似和化为准确和球的表面积第一步：分割O球面被分割成n个网格，表面积分别为：则球的表面积：则球的体积为：设“小锥体”的体积为：O2、球的表面积O第二步：求近似和O由第一步得：第三步：转化为球的表面积

如果网格分的越细,则:①

由①②

得:②

球的体积:的值就趋向于球的半径RO“小锥体”就越接近小棱锥。(1)若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的—倍。(2)若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的—倍。(3)若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是———。(4)若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是———。练习一：两个几何体相切:一个几何体的各个面与另一个几何体的各面相切.两个几何体相接:一个几何体的所有顶点都在另一个几何体的表面上(变式2)把钢球放入一个正方体的有盖纸盒中,至少要用多少纸?用料最省时,球与正方体有什么位置关系?球内切于正方体侧棱长为5cm变式3.有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求这三个球的体积之比.作轴截面例2.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,它的各个顶点都在球O的球面上，问球O的表面积。ABCDD1C1B1A1OABCDD1C1B1A1O分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。略解：变题1.如果球O和这个正方体的六个面都相切，则有S=——。变题2.如果球O和这个正方体的各条棱都相切，则有S=——。关键：找正方体的棱长a与球半径R之间的关系2023/12/1355变式（1）若一个正方体的各个顶点都在球面上,求正方体表面积与球面积的比.（2）球O的内接长方体的长,宽,高分别为,求球的体积.2023/12/13561.两个球的体积之比是８：２７，求它们的表面积之比________.2.在球面上有4个点P,A,B,C,若PA,PB,PC两两垂直,且PA=PB=PC=a,则这个球的表面积为_________.变式练习4：93、半球的半径为R，一正方体的四个顶点在半球的底面上，另四个顶点在球面上，求正方体的棱长4、半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体的一边长为

，求半球的表面积和体积。小结1.两种方法:化整为零的思想方法和“分割,求和,取极限”的数学方法.2.一个观点:在一定条件下,化曲为直的辨证观点.3.二个公式:半径为R的球的体积是4.解决两类问题:两个几何体相切和相接作适当的轴截面OABC例３.已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=２cm，求球的体积，表面积．例题讲解2023/12/1361例4．求棱长为a的正四面体的内切球与外接球的体积之比.2023/12/1362变式.四棱锥P-ABCD的底面为矩形,侧面PAD为正三角形,且面PAD面ABCD,若PD=4,AB=8,求该四棱锥的内切球的体积.PABCDM2023/12/13631.已知正三棱锥高为１，底面边长为内有一球与四个面都