第四章 假设检验(1)

第四章假设检验假设检验的基本概念§4.1关于总体未知分布或对已知分布总体中未知参数的假设称为统计假设，简称假设；对样本进行考察，从而决定假设是否成立的方法称为假设检验，简称检验；生产流水线上罐装可乐不断地封装，然后装箱外运.怎么知道这批罐装可乐的容量是否合格呢？例1:罐装可乐的标准容量是250毫升通常的办法是每隔一段时间进行抽样检查.例2(医疗领域)为了检验某种新疗法是否比传统疗法更有效，对40名患者进行实验。把病人分成两组，每组20人，第一组采用新疗法，第二组采用传统疗法。从治疗结果表中，我们能否认为新疗法比传统疗法更有效？即第一组的康复人数比第二组多的原因是因为新疗法效果更好，还是由随机因素引起的？疗法康复未康复新疗法128传统疗法911例3从某校2013年550名应届毕业生的高考成绩中随机抽取了50个，问能否根据这50个成绩判断该校在2013年高考成绩服从正态分布？

例4从福州市和厦门市2013年售出的房屋中各随机抽取200套，根据每套的单价（元/平方米），能否判断这两个城市在2013年的房价持平？

以上实际例子的解决都需要我们根据问题本身提出假设，然后根据样本的信息对假设进行检验，最后作出“是”与“否”的判断。检验是否为真的假设称为原假设/零假设,用H0表示与H0对立的假设称为备择假设，用H1表示定义：原假设是关于总体参数的，则称之为参数假设;检验参数假设的问题，称为参数检验；原假设是关于总体分布类型的，则称之为分布假设；检验分布假设的问题，称之为分布检验,或称为非参数检验.假设检验的类型假设检验的基本原理提出H0→在H0成立时构造统计量W和小概率事件A→进行1次试验或抽样→若A发生→拒绝H0

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若A没发生→接受H0“小概率事件”原理：概率很小的事件在一次试验中几乎不可能发生。基本思想：为了描述一个小概率事件，需预先指定一个很小的数α

，一般地，取α=0.05或0.01，并把α称为检验的显著性水平。对于指定的显著性水平α

，在一定的统计思想下，构造一个区域w（一般是一个区间或两个区间的并集），使得如果由样本观测值计算出统计量W的值落在w内，则意味着小概率事件A发生了。称w为检验拒绝域。假设检验中的两类错误以真为假(弃真)以假为真(取伪)H0为真决定拒绝H0接受H0H0不真第一类错误正确正确第二类错误 小概率事件不管多小都可能发生，再加上样本的随机性，它们可能会影响检验结果。实际情况同时减少犯两类错误的概率的唯一办法是增大样本容量。假设检验的一般步骤(1)根据实际问题需要,提出H0与H1;(2)选择统计量W,要求在H0为真时,W的分布已知;(3)选取显著性水平α,查表确定对应α

的临界值，从而得到检验拒绝域w;(4)利用样本观测值代入W,计算出W的值；(5)若W落在拒绝域内,得出拒绝H0的结论；若W落在拒绝域外,得出接受H0的结论。§4.2一个正态总体参数的假设检验设总体X~，关于总体参数讨论4种假设检验：1.方差已知，关于期望的假设检验2.方差未知，关于期望的假设检验3.期望已知，关于方差的假设检验4.期望未知，关于方差的假设检验

方差已知，关于期望的假设检验3.4.由样本值计算出U的值得拒绝域是5.若U落在拒绝域内,则拒绝H0；否则接受H0。1.提出假设：2.检验统计量双侧检验：例1可乐容量总体 (单位:毫升),现在抽取了4罐，其容量分别为248,246,252,242，问封装系统是否正常工作？(取显著性水平α=0.05)查表得解：由于U落在拒绝域内,应拒绝H0；即认为系统不正常。左侧检验：右侧检验：拒绝域为拒绝域为例2据统计资料，我国健康成年男子每分钟脉搏次数服从正态分布

，现从某体院男生中随机抽取了25人，测定他们的每分钟脉搏次数后，计算出样本均值为68.6，假定该体院男生的脉搏次数服从正态分布，且标准差不变。问能否认为该体院男生的平均脉搏次数明显低于一般健康成年男子？(取显著性水平α=0.05)解：查表得由于，应拒绝即可以认为该体院男生的平均脉搏次数明显低于一般健康成年男子。例3长期统计资料表明，某市轻工产品月产值占工业产品月总产值的百分比服从方差为1.21的正态分布。以下是随机抽查9个月份的数据（%）：

30.330.130.529.631.630.031.831.028.8能否认为过去该市轻工产品月产值占工业产品月总产值的百分比平均大于30%？（取显著性水平α=0.05）解：查表得由于，应接受即不能认为过去该市轻工产品月产值占工业产品月总产值的百分比平均大于30%。

方差未知，关于期望的假设检验3.4.由样本值计算出T的值得拒绝域是1.提出假设：5.若T落在拒绝域内,则拒绝H0；否则接受H0。2.检验统计量双侧检验：例4用传统工艺加工的某种水果罐头中，每瓶的平均维生素C的含量为19(mg).现改变了加工工艺，抽查了16瓶，测得维C含量的平均值为20.8，样本标准差为1.617.假定水果罐头中维C含量服从正态分布。问使用新工艺后维C的含量是否有显著变化（显著水平α=0.05）？解:即认为使用新工艺后维C的含量有显著变化.另外考虑含量是否显著增大,如何检验？查表得由于应拒绝左侧检验：右侧检验：拒绝域为拒绝域为例5为考察某大学男教师的胆固醇水平，随机抽取了16名男教师，测定他们的胆固醇后，计算出样本均值为4.8，样本标准差为0.4。假定该校男教师的胆固醇水平服从正态分布，是否可以认为该校男教师的平均胆固醇水平明显低于5个单位？（取显著性水平α=0.01）解:即不能认为该校男教师的平均胆固醇水平明显低于5个单位.查表得由于应接受例6从某单位一年的发票存根中，随机抽取了25张，分别记录下它们的金额（单位：元），计算出样本均值为81.5，样本标准差为4.2。假定该单位一年内的发票金额服从正态分布，能否认为这一年内发票平均金额大于80元？（取显著性水平α=0.05）解:即可以认为这一年内发票平均金额大于80元.查表得由于应拒绝

期望已知，关于方差的假设检验3.4.由样本值计算出的值得拒绝域是1.提出假设：5.若落在拒绝域内,则拒绝H0；否则接受H0。2.检验统计量双侧检验：左侧检验：右侧检验：拒绝域为拒绝域为例7设维尼纶纤度在正常生产条件下服从正态分布N(1.405,0.0482),某日抽取5根纤维，测得其纤度为：1.321.361.551.441.40问：某天生产的维尼纶纤度的方差是否正常?（取显著性水平α=0.05)解:由于所以拒绝,即认为这一天生产的维尼纶纤度的方差不正常.查表得

期望未知，关于方差的假设检验3.4.由样本值计算出的值得拒绝域是1.提出假设：5.若落在拒绝域内,则拒绝H0；否则接受H0。2.检验统计量双侧检验：左侧检验：右侧检验：拒绝域为拒绝域为例8某炼铁厂在生产正常的情况下，铁水含碳量服从正态分布，其方差为0.03。在某段时间抽测了10炉铁水，算得铁水含碳量的样本方差为0.0375.问这段时间生产的铁水含碳量方差与正常情况下的方差有无显著差异？(显著水平α=0.05)解:由于所以接受,即认为这段时间生产的铁水含碳量方差与正常情况下的方差无显著差异.查表得§4.3两个正态总体参数的假设检验分别是这两个样本的且X与Y独立,X1,X2,…,是取自X的样本,取自Y的样本,分别是这两个样本的样本方差。均值,Y1,Y2,…,是样本为简单起见，本节仅介绍双侧检验，相应的单侧检验方法与一个正态总体参数的假设检验情形完全类似。

3.4.由样本值计算出U的值得拒绝域是1.提出假设：5.若U落在拒绝域内,则拒绝H0；否则接受H0。2.检验统计量例1从甲乙两厂生产的钢丝总体X、Y中各取50束作拉力强度试验，得已知 分析两厂钢丝的平均抗拉强度是否有显著差别？（注：X,Y服从正态分布，显著性水平α=0.05）解:4.将统计量U的值，与临界值比较：5.下结论:拒绝3.根据给定的显著性水平，查表得

1.提出假设：2.计算出即认为两厂钢丝的抗拉强度有显著差别。

3.4.由样本值计算出T的值得拒绝域是1.提出假设：5.若T落在拒绝域内,则拒绝H0；否则接受H0。2.检验统计量例2某烟厂生产两种香烟，独立地随机抽取样本容量相同的烟叶标本测其尼古丁含量，分别测得： 甲：25,28,23,26,29,22

乙：28,23,30,25,21,27假定尼古丁含量都服从正态分布且具有公共方差，在显著性水平α=0.05下，推断两种香烟的尼古丁含量有无显著差异？解：即认为两种香烟的尼古丁含量无显著差异.

3.4.由样本值计算出U的值得拒绝域是1.提出假设：5.若U落在拒绝域内,则拒绝H0；否则接受H0。2.检验统计量例3艾滋病治疗的目的是要有效地降低血液中HIV的浓度（nmol/L）。某医疗机构用甲、乙两种疗法分别对200和150名艾滋病病人进行一个疗程的治疗后，测定这些病人血液中HIV浓度的减少量，已经计算出样本均值分别为0.081和0.062,样本标准差分别为0.025和0.062。假设它们均服从正态分布，分析两种疗法对HIV浓度的减少是否存