电路 (第四版) 课件 第15章 拉普拉斯变换及其在电路中的应用

第15章拉普拉斯变换及其在

电路中的应用15.1拉普拉斯变换的定义15.2拉普拉斯变换的性质15.3s域电路定律和运算电路模型15.4F(s)的分解及拉普拉斯反变换15.5拉普拉斯变换在线性电路分析中的应用15.6s域网络函数15.7卷积积分

动态电路的方程是微分方程,当方程较为简单(一阶或二阶)时,求解较为容易;当方程复杂(三阶或高阶)时,求解将变得十分繁琐和困难。但是,如果利用数学变换,即拉普拉斯变换将时域中的微分方程变换为s域中的代数方程,就可以回避那些复杂的微积分运算,方便电路的分析和求解。事实上,拉普拉斯变换及其反变换是一对可逆变换。利用该变换可以将描述电路的微分方程变换为s域的代数方程,可以求出s域的解;

然后,通过拉普拉斯反变换将电路方程s域的解,变换为人们习惯的时域解,如图15-1所示。

图15-1动态电路拉普拉斯求解过程示意图

15.1拉普拉斯变换的定义

一个定义在[0,∞)上的函数f(t),其拉普拉斯变换(简称拉氏变换)的定义为

例15-1求以下函数的像函数。

(1)单位阶跃函数。

(2)单位冲激函数。

(3)指数函数。

解阶跃函数和冲激函数是两种“基本”函数。从数学分析角度看,任何激励信号都是由单位阶跃信号(或单位冲激信号)构成的,所以研究以上基本函数特别有意义。

15.2拉普拉斯变换的性质

15.2.1线性性质

例15-2函数f(t)=sin(ωt)和f(t)=K(1-e-αt)的定义域均为[0,∞),求它们的像函数。

15.2.2微分性质

例15-3应用拉氏变换的微分性质求下列函数的像函数。

(1)f(t)=cos(ωt)

(2)f(t)=δ(t)

15.2.3积分性质

例15-4利用拉氏变换的积分性质求f(t)=t的像函数。

15.2.4延迟性质

例15-5求图15-2所示矩形脉冲f(t)=ε(t)-ε(t-τ)的像函数。图15-2例15-5图

根据拉氏变换的定义及其基本性质,还可求得其他常用函数的像函数,如表15-1所示。

15.3s域电路定律和运算电路模型

15.3.1s域电路定律如前所述,基尔霍夫定律的时域表示为根据拉氏变换的线性性质可以得出s域基尔霍夫定律的表达式为

15.3.2基本电路元件的s域模型

图15-3(a)所示为电阻元件,其时域VCR为u(t)=Ri(t),两边取拉氏变换,得

由此关系得出电阻元件的s域电路模型(称为运算电路模型)如图15-3(b)所示。

图15-3电阻的运算电路模型

图15-4电感元件及运算电路模型

图15-5电容元件及运算电路模型

图15-6耦合电感及运算电路模型

15.3.3s域电路方程

有了基本元件的s域电路(运算电路)模型以后,就可以将时域电路模型转换成s域的运算电路模型,然后根据s域的KCL和KVL以及基本分析方法列出s域电路方程。

例15-6RLC串联电路如图15-7(a)所示。设电感初始电流和电容初始电压分别为iL(0-)和uC(0-),试画出运算电路模型并列出运算电路的KVL方程。图15-7RLC串联电路的运算电路模型

15.4F(s)的分解及拉普拉斯反变换

15.4.1单根情况

15.4.2共轭复根情况

15.4.3重根情况

15.5拉普拉斯变换在线性电路分析中的应用

和相量法类似,在用运算法分析动态电路时,首先应将时域电路模型转换成运算电路模型,然后根据s域电路的KCL和KVL以及电路的基本分析方法列出s域电路方程,求解方程便可以得出电路的s域响应,最后通过拉氏反变换得出电路的时域响应。有了电路的运算模型以后就可以将电阻电路中学过的各种分析方法和定理等移植到s域电路中。

例15-10已知图15-8(a)所示电路处于稳态,电容C上的原始储能为零。在t=0时将开关S闭合,试用运算法求解电流i1。图15-8例15-10图

例15-11电路如图15-9(a)所示,已知uS=Umsin(ωt)V,

i(0-)=0,在t=0时将开关S闭合,试用运算法求解电流i(t)。图15-9例15-11图

图15-10例15-11电流i的波形图

例15-12图15-11(a)所示为RC并联电路,激励为电流源iS(t),在下列两种情况下,试求电路响应u(t)。

(1)iS(t)=ε(t)A

(2)iS(t)=δ(t)A图15-11例15-12图

解运算电路如图15-11(b)所示。

例15-13图15-12(a)所示电路处于稳态,在t=0时将开关S闭合,已知uS=5e-2tV,iS=2A,R1=R2=5Ω,L=1H,求t≥0时的uL(t)。图15-12例15-13图

例15-14在图15-13(a)所示电路中,已知R1=1Ω,R2=2Ω,L1=2H,L2=1H,M=1H,uS=6ε(t)V。试求电压u2(t)。图15-13例15-14图

15.6s域网络函数

15.6.1s域网络函数的定义电路(或网络)在单一独立激励下,零状态响应r(t)的像函数R(s)与其激励e(t)的像函数E(s)的比定义为网络函数H(s),即

网络函数的定义可以由图15-14表示。图15-14(a)所示为线性电路(网络或系统)的框图,设零状态条件下,在e(t)激励下产生的响应为r(t);电路转换到s域的框图如图15-14(b)所示,其中E(s)为s域激励,R(s)为s域响应,H(s)为s域网络函数。

图15-14网络函数定义框图

例15-15-图15-15(a)所示为RLC串联电路,已知激励为电压源uS,响应为电容电压uC,求网络函数图15-15-例15-15图

解因为网络函数是零状态条件下响应与激励之比,由s域电路模型图15-15(b),得

可见,网络函数只与电路的结构和参数有关,而与激励无关。

例15-16求图15-16所示电路的网络函数H(s)=

和冲激响应h(t),若iS(t)=ε(t)-ε(t-2),计算在该激励下的响应io(t)。图15-16例15-16图

解根据运算电路模型和分流公式可得其网络函数,即

15.6.2s域网络函数的零点和极点

由上面的分析知道,电路的网络函数是网络(电路)零状态下的激励与响应之比,其结果和激励无关,而是由电路的结构和参数决定的,在形式上网络函数H(s)是s域的有理分式,即分子和分母都是s的多项式,它的一般数学表达式为

将例15-15的网络函数重新写为

得其极点为

例15-17电路如图15-17(a)所示已达稳态,已知R=4Ω,L=1H,C=0.02F,求网络函数H(s)=Io(s)/US(s),零点、极点以及冲激响应h(t)。图15-17例15-17图

15.6.3极点与冲激响应

网络函数的零点和极点可能是实数,也可能是虚数或者复数,如例15-17所示。因为s=σ+jω,若以实部σ为横轴,虚部jω为纵轴,就可以得到一个关于s的复频域平面,简称为复平面或s平面。在复平面上,若H(s)的零点用“。”表示,极点用“×”表示,于是就可以得到零点与极点在s平面上的分布。零点与极点在s平面上的分布情况与其时域响应有着密切的关系。

图15-18极点与冲激响应的关系示意图

值得指出的是:

(1)H(s)极点pi的位置是由网络自身结构和参数决定的,所以将pi称为固有频率或自然频率。

(2)根据傅里叶的观点,虚部较小的极点pi对应于h(t)的基频成分,所以h(t)的特征主要由靠近原点的极点决定的。

(3)H(s)是从复频域描述电路内部固有特性的。在复频域分析线性动态电路不仅简化了分析过程,而且为其赋予了鲜明的物理意义。

例15-18在例15-17中,若设uS=4e-2tV,求电路的响应io(t)。

例15-19例133中图1315(a)所示的电路,用s域网络函数重新求取H(jω)=图15-19例133图1315(a)s域电路模型

解根据已知参数,画出图1315(a)电路对应的s域模型如图15-19所示。

根据分流公式首先求得s域网络函数,即

令s=jω,得

和例133所得结果相同。

15.7卷积积分

15.7.1卷积积分的定义如前所述,电路的冲激响应和电路的零输入响应相同,零输入响应只与电路的性质(结构和参数)有关。因此,冲激响应是电路本身性质的反映。下面将会看到,一旦知道了电路的冲激响应就可以求出该电路在任意激励下的响应。更有意义的是,如果能够通过实验的方法测(得)到电路的冲激响应,即使不知道电路的结构与参数,也可以根据冲激响应和已知激励直接求出电路的时域响应。

图15-20卷积积分的推导过程

15.7.2拉普拉斯变换的卷积定理

设e(t)和h(t)拉氏变换的像函数分别为E(s)和H(s),则拉氏变换的卷积定理为

图15-21阶跃函数与阶跃延迟函数

15.7.3卷积积分在电路分析中的应用

由以上分析知道,任意激励e(t)产生的电路响应r(t),除了可利用式R(s)=H(s)E(s)及其拉氏反变换r(t)=L-1[R(s)]=L

-1[H(s)E(s)]进行计算外,也可利用卷积积分直接计算,即

图15-22例15-20图

例15-21图15-23所示为RC并联电路。其中,R=200kΩ,

C=10μF,iS(t)=20e-t

μA。设电容上原始储能为零,求u(t)。图15-23例15-21图

本章我们利用拉氏变换这一数学工具,解决了线性动态电路的分析问题,即运用运算法求解动态电路。拉氏变换与反变换是一对可逆变换,可将时域求解微分方程的问题映射

(转换)到s域的求解代数方程的问题,将求解所得s域的响应通过拉氏反变换可得到时域响应。需要注意的是,利用运算法求解的电路响应,包括稳态(强制)响应和暂态(自由)响应,两者相加即是电路的全响应。s域网络函数的引入为分析零状态电路提供了方便,如果知道了网络函数H(s)就可以