新教材适用2023-2024学年高中数学第4章指数函数与对数函数4.3对数4.3.1对数的概念学案新人教A版必修第一册

4．3.1对数的概念学习目标1．理解对数的概念，掌握对数的基本性质．2．掌握指数式与对数式的互化，能应用对数的定义和性质解方程．核心素养1．通过生活实例形成对数的概念，培养数学抽象的素养．2．通过指数式与对数式的互化，对式子进行化简，提升数学运算的素养.知识点1对数的概念(1)一般地，若ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝_logaN_，其中a叫做对数的_底数_，N叫做_真数_.(2)ax＝N⇔x＝_logaN_.(3)常用对数：以10为底的对数，记作_lg_N_.自然对数：以无理数e为底的对数，记作_ln_N_.提醒：对数运算是指数运算的逆运算练一练：1．将ab＝N化为对数式是(B)A．logba＝N B．logaN＝bC．logNb＝a D．logNa＝b[解析]根据对数定义知ab＝N⇔b＝logaN，故选B.2．对数式loga8＝3改写成指数式为(D)A．a8＝3 B．3a＝8C．83＝a D．a3＝8[解析]根据指数式与对数式的互化可知，把loga8＝3化为指数式为a3＝8，故选D.知识点2对数的基本性质(1)负数和0没有对数．(2)loga1＝_0_.(3)logaa＝_1_.练一练：填空：(1)lne＝_1_；(2)lg10＝_1_；(3)ln1＝_0_；(4)lg1＝_0_.知识点3对数恒等式_N_；＝_b_.练一练：把下列指数式写成对数式，对数式写成指数式：[解析](1)log28＝3；(2)lnm＝eq\r(3)；(3)log27eq\f(1,3)＝－eq\f(1,3).题型探究题型一对数的定义典例1(1)在对数式y＝log(x－2)(4－x)中，实数x的取值范围是_{x|2<x<4，且x≠3}_.(2)将下列对数形式化为指数形式或将指数形式化为对数形式：[分析](1)底数大于0且不等于1，真数大于0，对数式才有意义．(2)由指、对数式互化的方法进行互化．[解析](1)由题意可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4－x>0，,x－2>0，,x－2≠1，))解得2<x<4且x≠3，所以2<x<4，且x≠3.(2)①由2－7＝eq\f(1,128)，可得log2eq\f(1,128)＝－7.②由＝－5，可得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－5＝32.③由lg1000＝3，可得103＝1000.④由lnx＝2，可得e2＝x.[归纳提升]1.指数式与对数式互化的方法技巧(1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式．(2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．2．互化时应注意的问题(1)利用对数式与指数式间的互化公式互化时，要注意字母的位置改变．(2)对数式的书写要规范：底数a要写在符号“log”的右下角，真数正常表示．对点练习❶将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：[解析](1)log3eq\f(1,9)＝－2.(2)(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))－3＝27.(4)(eq\r(x))－6＝64.题型二对数基本性质的应用典例2求下列各式中的x：(1)log3(log2x)＝0；(2)log3(log7x)＝1；(3)lg(lnx)＝1；(4)lg(lnx)＝0.[分析]利用指数式与对数式的互化进行解答．[解析](1)由log3(log2x)＝0得log2x＝1，∴x＝2.(2)由log3(log7x)＝1，得log7x＝31＝3，∴x＝73＝343.(3)由lg(lnx)＝1，得lnx＝10，∴x＝e10.(4)lg(lnx)＝0，lnx＝1，∴x＝e.[归纳提升]对数性质在计算中的应用(1)对数运算时的常用性质：logaa＝1，loga1＝0.(2)使用对数的性质时，有时需要将底数或真数进行变形后才能运用；对于多重对数符号的，可以先把内层视为整体，逐层使用对数的性质．对点练习❷求下列各式中x的值：[解析]即2－x＝24.∴－x＝4，即x＝－4.∴(eq\r(2)－1)x＝eq\f(1,\r(3＋2\r(2)))＝eq\f(1,\r((\r(2)＋1)2))＝eq\f(1,\r(2)＋1)＝eq\r(2)－1，∴x＝1.题型三对数恒等式的应用典例3计算：[解析][归纳提升]运用对数恒等式时注意事项(1)对于对数恒等式＝N要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为对数的真数．(2)对于指数中含有对数值的式子进行化简，应充分考虑对数恒等式的应用．对点练习❸计算：(1)＝_8_；＝_25_.[解析](1)＝2×4＝8.＋eq\f(9,9)＝25.1．下列说法：①零和负数没有对数；②任何一个指数式都可以化成为对数式；③以10为底的对数叫做常用对数；④以e为底的对数叫做自然对数．其中正确命题的个数为(C)A．1 B．2C．3 D．4[解析]①正确；②底数小于0的指数式不可以化成对数式；③④正确，故选C.2．在b＝log(a－2)(5－a)中，实数a的取值范围是(B)A．(－∞，2) B．(2,3)∪(3,5)C．(2,5) D．(3,4)[解析]由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－2>0，,a－2≠1，,5－a>0，))∴2<a<5且a≠3，故选B.3．将eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))－2＝