九年级数学上册专题训练八平面图形的运动及不规则图形面积问题课时精讲新版新人教版

Page1专题训练(八)平面图形的运动及不规则图形面积问题一、求动态中弧长或扇形面积1．已知一个半圆形工件，未搬动前如图所示，直径平行于地面放置，搬动时为了爱护圆弧部分不受损伤，先将半圆作如图所示的无滑动翻转，使它的直径紧贴地面，再将它沿地面平移50m，半圆的直径为4m，则圆心O所经过的路途长是__(2π＋50)m___．(结果用π,第1题图),第2题图)2．如图，在直角坐标系中放置一个边长为1的正方形ABCD，将正方形ABCD沿x轴的正方向无滑动地在x轴上滚动，当点A离开原点后第一次落在x轴上时，点A运动的路径线与x轴围成图形的面积为(C)A.eq\f(π,2)＋eq\f(1,2)B.eq\f(π,2)＋1C．π＋1D．π＋eq\f(1,2)3．如图，正六边形ABCDEF是边长为2cm的螺母，点P是FA延长线上的点，在A，P之间拉一条长为12cm的无伸缩性细线，一端固定在点A，握住另一端点P拉直细线，把它全部紧紧缠绕在螺母上(缠绕时螺母不动)解：点P运动的路径长为eq\f(60π×12,180)＋eq\f(60π×10,180)＋eq\f(60π×8,180)＋eq\f(60π×6,180)＋eq\f(60π×4,180)＋eq\f(60π×2,180)＝eq\f(π,3)(12＋10＋8＋6＋4＋2)＝14π(cm)4．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，边CD在直线l上，将矩形ABCD沿直线l作无滑动翻滚，当点A第一次翻滚到点A1位置时，求点A经过的路途长．解：如图，A″C1＝eq\r(32＋42)＝5，eq\o(AA′,\s\up8(︵))＝eq\f(90π×3,180)＝eq\f(3,2)π，A′A″⌒＝eq\f(90π×4,180)＝2π，A″A1⌒＝eq\f(90π×5,180)＝eq\f(5,2)π，则点A第一次翻滚到点A1位置时，点A经过的路途长为eq\o(AA′,\s\up8(︵))＋A′A″⌒＋A″A1⌒＝eq\f(3,2)π＋2π＋eq\f(5,2)π＝6π5．如图，把Rt△ABC的斜边AB放在直线l上按顺时针方向在l上转动两次，使它转动到三角形A″B′C′的位置．若BC＝1，AC＝eq\r(3)，当顶点A运动到点A″的位置时．(1)求点A所经过的路途长；(2)求点A所经过的路途与l所围成的图形的面积．解：点A所经过的路途图略．(1)在Rt△ABC中，AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝2，∴∠BAC＝30°，则∠ABC＝60°，∴∠ABA′＝120°，∴eq\o(AA′,\s\up8(︵))的长为eq\f(120π×2,180)＝eq\f(4π,3).又∵∠A′C′A″＝90°，∴A′A″⌒的长为eq\f(90π×\r(3),180)＝eq\f(\r(3),2)π，∴点A所经过的路途长为eq\f(4,3)π＋eq\f(\r(3),2)π(2)S扇形BAA′＝eq\f(1,2)×eq\f(4π,3)×2＝eq\f(4π,3)，S扇形C′A′A″＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(3)π,2)×eq\r(3)＝eq\f(3π,4)，S△A′BC′＝eq\f(1,2)×1×eq\r(3)＝eq\f(\r(3),2)，∴点A经过的路途与l所围成的图形的面积是eq\f(4,3)π＋eq\f(3,4)π＋eq\f(\r(3),2)＝eq\f(25,12)π＋eq\f(\r(3),2)

二、求不规则图形面积问题6．(用割补法)如图，在矩形ABCD中，AB＝2DA，以点A为圆心，AB为半径的圆弧交DC于点E，交AD的延长线于点F，设DA＝2.(1)求线段EC的长；(2)求图中阴影部分的面积．解：(1)在矩形ABCD中，AB＝2DA，DA＝2，∴AB＝AE＝4，∴DE＝eq\r(AE2－AD2)＝2eq\r(3)，∴EC＝CD－DE＝4－2eq\r(3)(2)在Rt△DEA中，∵eq\f(AD,AE)＝eq\f(1,2)，∴∠DEA＝30°，∴∠DAE＝60°，∴S阴影＝S扇形EAF－S△DAE＝eq\f(60π×42,360)－eq\f(1,2)×2×2eq\r(3)＝eq\f(8,3)π－2eq\r(3)7．(用旋转法)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5cm，AC＝2cm，将△ABC绕顶点C按顺时针方向旋转45°至△A1B1C解：∵∠BAC＝90°，∴BC2＝AB2＋AC2＝52＋22＝29.∵S阴影＝S扇形CBB1＋S△A1B1C－S△ABC－S扇形CAA1.又∵△ABC旋转得到△A1B1C，∴S△ABC＝S△A1B1C，∴S阴影＝S扇形CBB1－S扇形CAA1＝eq\f(45×π×29,360)－eq\f(45×π×22,360)＝eq\f(25,8)π(cm2)8．(用平移法)如图是两个半圆，点O为大半圆的圆心，AB是大半圆的弦，且与小半圆相切，AB＝24.求图中阴影部分的面积．解：将小圆向右平移，使两圆变成同心圆(如图)，连接OB.过O作OC⊥AB于C点，则AC＝BC＝12.∵AB是大半圆的弦且与小半圆相切，∴OC为小圆的半径，∴S阴影＝S大半圆－S小半圆＝eq\f(1,2)π·OB2－eq\f(1,2)π·OC2＝eq\f(1,2)π·AC2＝72π9．(用等积变形法)如图，已知点A，B，C，D均在已知⊙O上，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠BAD＝120°，四边形ABCD的周长为15.(1)求此圆的半径；(2)求图中阴影部分的面积．解：(1)易证∠DBC＝30°，AB＝AD＝DC，BC＝2DC，∴BC＋eq\f(3,2)BC＝15，∴BC＝6，∴此圆的半径为3(2)连接OA，OD，过O作OE⊥AD于点E.可求∠AOD＝60°，∴S扇形AOD＝eq\f(60π×32,360)＝eq\f(3,2)π.在R