2023届广东省揭阳、潮州金中高考冲刺模拟数学试题含解析

2023高考数学模拟试卷

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.欧拉公式为*=cosx+isinx,（i虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，

建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知，e至表

示的复数位于复平面中的（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.已知非零向量"，b满足|a=必|,则“卜+2耳=|2。一可”是的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解：

3.AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=百力=1,3=3（）,则人为（）

A.60B.120C.60或150D.60或120

2

4.若ae[l,6],则函数y=1—在区间[2,+8）内单调递增的概率是（）

4„3~2

A.—B•—C.—D.一

5555

5.幻方最早起源于我国，由正整数1,2,3,”2这〃2个数填入〃X”方格中，使得每行、每列、每条对角线上

的数的和相等，这个正方形数阵就叫〃阶幻方.定义/（〃）为〃阶幻方对角线上所有数的和，如/（3）=15,则/（10）=

B.500C.505D.5050

6.为了贯彻落实党中央精准扶贫决策，某市将其低收入家庭的基本情况经过统计绘制如图，其中各项统计不重复.若

该市老年低收入家庭共有900户，则下列说法错误的是（）

共怙传及&弗9%

fill*

A.该市总有15000户低收入家庭

B.在该市从业人员中，低收入家庭共有1800户

C.在该市无业人员中，低收入家庭有4350户

D.在该市大于18岁在读学生中，低收入家庭有800户

7.已知三棱锥P-ABC的四个顶点都在球。的球面上,PAJ_平面ABC,AABC是边长为2省的等边三角形，若球。

的表面积为20%,则直线PC与平面所成角的正切值为()

A.-B.—C.-V?D.—

4374

8,若复数2=巴二在复平面内对应的点在第二象限，则实数。的取值范围是()

1+z

A.(-U)B.C.(1,+»)D.(0,+巧

9.设全集U=R,集合A={X|X2-3X—4>0},则&A=()

A.{x|-l<x<4}B.{x|-4<x<l}C.{x|-l<x<4}D.{x卜4金Wl}

1+if

------+-------=

10.已知i是虚数单位，贝i()

13133131

--+-z~~+~i~~~i

A.22B.22C.22D.22

11.关于函数/(x)=sin|尤|+|cos尤|有下述四个结论：()

①/(x)是偶函数；②/(x)在区间(-5,0)上是单调递增函数；

③/(x)在R上的最大值为2；④/(%)在区间［一2肛2句上有4个零点.

其中所有正确结论的编号是()

A.①②④B.①③C.①④D.②④

12.若复数二满足(l+i)z=|3+4i|,贝k的虚部为()

55

A.5B.-C.--D.-5

22

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.AABC中，角A6,C的对边分别为a,"c,且A,&C成等差数列，若b=6,c=l,则AABC的面积为

14.曲线y=ev(x2+2)在点(0,2)处的切线方程为.

15.已知公差大于零的等差数列｛4｝中，%、&、%依次成等比数列，则组的值是.

x+y>a

16.设X、「满足约束条件〈，，且2=*+©，的最小值为7,则〃=__________.

x—y4-1

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)在ABC中，角A3,C的对边分别为a*,c,且csinB=bsin(1—C)+辰.

(1)求角C的大小；

(2)若c=J7,a+匕=3,求AB边上的高.

18.(12分)如图，在直三棱柱A8C-A向G中，ZABC=90°,AB=AAltM,N分别是AC,81cl的中点.求证:

(1)MN〃平面ABBiAi；

(2)ANLAtB.

19.(12分)已知动圆过定点E(O,1),且与直线/：)>=-1相切，动圆圆心的轨迹为C,过户作斜率为4伏工0)的直线

加与。交于两点48,过48分别作。的切线，两切线的交点为P,直线。尸与C交于两点

(1)证明：点P始终在直线/上且防_LAB；

(2)求四边形AMBN的面积的最小值.

x=2cosa

20.(12分)选修4-4：坐标系与参数方程：在平面直角坐标系即中，曲线G：\.(a为参数)，在以平

y=2sina

面直角坐标系的原点为极点、x轴的正半轴为极轴，且与平面直角坐标系X。、取相同单位长度的极坐标系中，曲线。2：

TC

psin(^--)=1.

(i)求曲线G的普通方程以及曲线G的平面直角坐标方程；

(2)若曲线G上恰好存在三个不同的点到曲线c2的距离相等，求这三个点的极坐标.

21.(12分)设数列｛q｝的前"项和S,满足2S,="/+",neN+,%=2,

(D证明：数列｛4｝是等差数列，并求其通项公式；

,1

(2)设a=I1=,求证：T=b｝+h^++h<1.

22

22.(10分)已知椭圆E:=+与=l(a>0>0)的左，右焦点分别为《，F2,|片名|=2,M是椭圆E上的一个动

矿b

点，且的面积的最大值为由.

(1)求椭圆E的标准方程，

(2)若45,0),B(0,b),四边形ABCD内接于椭圆E,AB//CD,记直线AD,BC的斜率分别为勺，k2,求证:k&

为定值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.A

【解析】

计算1=cosX+isin生='+且3得到答案.

3322

【详解】

根据题意*=cosx+isinx，故=cosK+z'sin工，表示的复数在第一象限.

3322

故选：A.

【点睛】

本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力和理解能力.

2.C

【解析】

根据向量的数量积运算，由向量的关系|a+2bH2a-b|oa/=Ooa，b,可得选项.

【详解】

I|2I|2222.2

|a+2Z>|=|2"/?|—卜+24=2a-Z?<=>a+4a-b+4b=4a-4a-b+b,

Ia1=161H0，；•等价于ab=Ooa±h>

故选：C.

【点睛】

本题考查向量的数量积运算和命题的充分、必要条件，属于基础题.

3.D

【解析】

由正弦定理可求得sinA='二，再由角4的范围可求得角4

2

【详解】

由正弦定理可知一J=上，所以巫=—1—,解得sinA=Y3,又0<A<180，且a>b,所以A=60°或

sinAsinBsinAsin302

120°o

故选：D.

【点睛】

本题主要考查正弦定理，注意角的范围，是否有两解的情况，属于基础题.

4.B

22

【解析】函数蚱三产在区间[2,+8）内单调递增，.•.y'=l-±±于2在[2，+°0）恒成立，.•.a"在

[2,+oo）恒成立，a«4,ae[1,6],ae[1,4],.•.函数y=三产在区间[2,+8）内单调递增的概率是芒|=|，

故选B.

5.C

【解析】

因为幻方的每行、每列、每条对角线上的数的和相等，可得十°十十〃，即得解.

n

【详解】

因为幻方的每行、每列、每条对角线上的数的和相等，

所以〃阶幻方对角线上数的和/（〃）就等于每行（或每列）的数的和，

又〃阶幻方有〃行（或〃列），

田海r（\-1+2+34-----1-n~

因f（几）=-------------,

n

于是/（10）=1+2+3+］。+99+100=505

故选：c

【点睛】

本题考查了数阵问题，考查了学生逻辑推理，数学运算的能力，属于中档题.

6.D

【解析】

根据给出的统计图表，对选项进行逐一判断，即可得到正确答案.

【详解】

解：由题意知，该市老年低收入家庭共有900户，所占比例为6%,

则该市总有低收入家庭900+6%=15000（户），A正确，

该市从业人员中，低收入家庭共有15000x12%=1800（户），B正确，

该市无业人员中，低收入家庭有15000x29%%=4350（户），C正确，

该市大于18岁在读学生中，低收入家庭有15000x4%=600（户），D错误.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查对统计图表的认识和分析，这类题要认真分析图表的内容，读懂图表反映出的信息是解题的关键,属于基

础题.

7.C

【解析】

设。为中点,先证明CD，平面PAB,得出NCPO为所求角，利用勾股定理计算PA,PD,CD，得出结论.

【详解】

设D,E分别是AB,的中点AEflCD=F

24,平面ABC:.PALCD

A48C是等边三角形:.CD±AB

又P4AB^A

\CC>A平面E钻；.NCPr>为PC与平面Q43所成的角

AABC是边长为2道的等边三角形

2一.—

/.CD-AE=3,AF=—AE=2且尸为AA3C所在截面圆的圆心

3

球0的表面积为207r.••球0的半径QA=右

：.0F=yl0^-AF2=1

24,平面48。:.PA=2OF=2

PD=yjPA'+AD2=S

本题正确选项：C

【点睛】

本题考查了棱锥与外接球的位置关系问题，关键是能够通过垂直关系得到直线与平面所求角，再利用球心位置来求解

出线段长，属于中档题.

8.B

【解析】

复数z=9N=伫！一"1"在复平面内对应的点在第二象限，可得关于a的不等式组，解得a的范围.

1+z22

【详解】

a-ia-1。+1.

z=-----=--------------1

14-Z22

由其在复平面对应的点在第二象限,

。一1<0

得.，贝！JavT.

。+1<0

故选：B.

【点睛】

本题考查了复数的运算法则、几何意义、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

9.C

【解析】

解一元二次不等式求得集合A,由此求得4/

【详解】

由X2—3x—4=(x-4)(x+l)>0,解得》<一1或x>4.

因为A={x|xv-1或x>4},所以gA={x|-14x44}.

故选：C

【点睛】

本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合补集的概念和运算，属于基础题.

10.D

【解析】

利用复数的运算法则即可化简得出结果

【详解】

1+ii-?(/+0i(l-i),i-fi131

i1+i/(7+；)(7-/)22222

故选。

【点睛】

本题考查了复数代数形式的乘除运算，属于基础题。

11.C

【解析】

根据函数/(X)的奇偶性、单调性、最值和零点对四个结论逐一分析，由此得出正确结论的编号.

【详解】

/(X)的定义域为R.

由于〃一力=/(力，所以/(x)为偶函数，故①正确.

由于/\£l=si吟+cos.="j(q)=si吟+cos?=^l,"Vm，所以小)在

区间卜5,。］上不是单调递增函数，所以②错误.

当xNO时,/(x)=sinx+|cosx\=sinx±cosx=A/2sinx±—<V2,

且存在x=—，使/7—sin—+cos—=72.

414J44

所以当x20时，/(x)<V2；

由于/(x)为偶函数，所以xeR时

所以/(x)的最大值为0,所以③错误.

依题意，/(0)=sin|0|+|cos0|=l,当0<xW2不时,

.八/兀—P-3万

sinx+cosx,0<x<——<X<2TI

22

〃x)=’

.7134

sinx-cosx,—<x<——

22

77T

所以令sinx+cosx=0,解得％=彳，令sinx-cosx=0,解得x=j-.所以在区间((),2可，/(x)有两个零点.

由于“X)为偶函数，所以/(x)在区间［-2肛0)有两个零点.故“X)在区间［-2羽2句上有4个零点.所以④正确.

综上所述，正确的结论序号为①④.

故选:c

【点睛】

本小题主要考查三角函数的奇偶性、单调性、最值和零点，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.

12.C

【解析】

把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案.

【详解】

22

由(1+«)z=|3+4i|=73+4=5-

5_5(1-/)_55

得『市=而诉=5一5''

•••z的虚部为一*.

2

故选C.

【点睛】

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.巨

2

【解析】

TT

由A,B,C成等差数列得出5=60。，利用正弦定理得C进而得A=彳代入三角形的面积公式即可得出.

2

【详解】

,：A,B,C成等差数列，，4+C=2B,

又A+3+C=180°,.•.33=180°,3=60°.

ch1TT7T

故由正弦定理二一一.・.sinC=—c<b,\C=-,故A=—

sinCsinB262

所以SAABC=—bc=,

22

故答案为：立

2

【点睛】

本题考查了等差数列的性质，三角形的面积公式，考查正弦定理的应用，属于基础题.

14.y-2x+2

【解析】

对函数求导，得出在(0,2)处的一阶导数值，即得出所求切线的斜率，再运用直线的点斜式求出切线的方程.

【详解】

令/(另=/(r+2),_f(x)=e'(Y+2x+2),所以((0)=2,又八0)=2,.•.所求切线方程为y—2=2x,即

y=2x+2.

故答案为：y=2x+2.

【点睛】

本题考查运用函数的导函数求函数在切点处的切线方程，关键在于求出在切点处的导函数值就是切线的斜率，属于基

础题.

【解析】

利用等差数列的通项公式以及等比中项的性质，化简求出公差与的关系，然后转化求解组的值.

%

【详解】

设等差数列｛为｝的公差为d,则d＞0,

由于42、。6、依次成等比数列，则即（生+41）2=々2（。2+104），

a｝1o,+10d18d9

d＞0,解得%=84，因此，—=-------=万7=7.

a2a28d4

故答案为：j9

4

【点睛】

本题考查等差数列通项公式以及等比中项的应用，考查计算能力，属于基础题.

16.3

【解析】

根据约束条件画出可行域，再把目标函数转化为y=-'x+」z,对参数。分类讨论，当a=0时显然不满足题意；当

aa

aNl时，直线y=—‘x+'z经过可行域中的点A时，截距最小，即z有最小值,再由最小值为7,得出结果;当0＜。＜1

aa

时，y=-4x+'z的截距没有最小值，即z没有最小值；当。＜0时，y=-Lx+』z的截距没有最大值，即z没有

aaaa

最小值，综上可得出结果.

【详解】

根据约束条件画出可行域如下：由＜',，可得出交点A—二,一；；一,

x—＞,=-1I22J

由z=x+ay可得y=-x-\—z,当a=0时显然不满足题意；

aa

当aNl即-1＜—工＜0时，由可行域可知当直线y=-Lx+‘z经过可行域中的点A时，截距最小，即z有最小值，

aaa

rr。-1。+1_、_，人、

即二一+a•——=7,解得a=3或-5（舍）；

22

当0＜。＜1即1时，由可行域可知y=—,x+'z的截距没有最小值，即z没有最小值；

aaa

当a＜0即-工＞0时，根据可行域可知＞=—‘x+’z的截距没有最大值，即z没有最小值.

aaa

综上可知满足条件时a=3.

故答案为：3.

本题主要考查线性规划问题，约束条件和目标函数中都有参数，要对参数进行讨论.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)—；(2)叵

37

【解析】

(1)利用正弦定理将边化成角，可得sinC=sin(g—C)+JJ,展开并整理可得sin(C—^)=1,从而可求出角C；

(2)由余弦定理得=“2+02-2"cosC,进而可得(。+与2—而=7,由。+力=3,可求出他的值，设4?边上的

高为〃，可得ABC的面积为La〃sinC=」M,从而可求出〃.

22

【详解】

(1)由题意，由正弦定理得sinCsinB=sinBsin(g-C)+GsinB.

因为8€(0,兀)，所以sinB＞0,所以sinC=sin(=—C)+百，展开得sinC=@cosC-'sinC+百，整理得

322

71

sin(C--)=l.

6

因为0＜。＜兀，所以—四＜c—工＜2,故。―2=二，即。=竺.

666623

(2)由余弦定理得c2="+A2-2HcosC,贝(1〃+从+访=7,得3+与2一帅=7,故而=(。+4一7=9-7=2,

故ABC的面积为工a/?sinC=sin"=—^.

232

设AB边上的高为〃，有立h=虫,故〃=囱，

227

所以A3边上的高为叵.

7

【点睛】

本题考查正弦、余弦定理在解三角形中的应用，考查三角形的面积公式的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档

题.

18.(1)详见解析；(2)详见解析.

【解析】

(1)利用平行四边形的方法，证明MN//平面

(2)通过证明481•平面,由此证得

【详解】

(1)设E是中点，连接由于M是AC中点，所以ME〃BC且MN=；BC,而gN//BC且

4N=；BC,所以ME与4N平行且相等，所以四边形MEAN是平行四边形，所以MN//B】E,由于MN/平

面ABB/,g£u平面ABB|A，所以MN//平面AB4A.

(2)连接A耳，由于直三棱柱中8C_L8与，而,8gcA8=6,所以平面A34A，所以8C_L4吕，

由于3C7/BC,所以.由于四边形AB44是矩形且A8=A4,,所以四边形ABB^是正方形，所以

46_14片,由于44门线。1=4，所以48，平面44可，所以ABLAN.

【点睛】

本小题主要考查线面平行的证明，考查线面垂直的证明，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.

19.(1)见解析(2)最小值为1.

【解析】

(1)根据抛物线的定义，判断出C的轨迹为抛物线，并由此求得轨迹C的方程.设出A6两点的坐标，利用导数求得

切线PAP8的方程，由此求得P点的坐标.写出直线机的方程，联立直线，〃的方程和曲线C的方程，根据韦达定理求

得尸点的坐标，并由此判断出「始终在直线/上，且

(2)设直线AB的倾斜角为a,求得|A8|的表达式，求得|MN|的表达式，由此求得四边形AM3N的面积的表达式

进而求得四边形AMBN的面积的最小值.

【详解】

⑴•.•动圆过定点E(O,1),且与直线/：y=T相切，•••动圆圆心到定点厂(0,1)和定直线y=—1的距离相等，二动圆圆

心的轨迹。是以尸(0,1)为焦点的抛物线，.•.轨迹。的方程为：V=4y,

设A(x“争,8(当净,Vx2=4y,,y=].•.直线Q4的方程为：y-%](f),即：4y=2中一X：①,

同理，直线的方程为：4y=2/x-后②，

由①②可得：P(九上，三三)，

24

"V=lex+1

直线机方程为：>="+1,联立〈2—可得：f—46一4=0,P(2k,-V),

厂=4y

・・・2)乂女=一7乂&二一1,・••点p始终在直线/上且PFJ_Ag；

k

(2)设直线AB的倾斜角为夕，由(1)可得：|A8|=J1+灯％—X2|=4(l+F)=4(l+tan2a)=^^,

44

/.|MN\=—z------------

cos"(a+90)sin2a

Io32

...四边形AM3N的面积为：,x|A8|*|MN|=.,°,=~^~232,当且仅当a=45或135,即人士1时

2sm~cocos_asin~2a

取等号，，四边形AMBN的面积的最小值为1.

【点睛】

本小题主要考查动点轨迹方程的求法，考查直线和抛物线的位置关系，考查抛物线中四边形面积的最值的计算，考查

运算求解能力，属于中档题.

20.(1)x2+V2=4,x-6y+2=();(2)“2,§,cf2,-^-.

【解析】

(1)把曲线G的参数方程与曲线的极坐标方程分别转化为直角坐标方程；(2)利用图象求出三个点的极径与极角.

【详解】

x=2cosa,,

解：(1)由10,消去参数a得一+丁=4,

y=2sina

即曲线G的普通方程为f+J?=4,

又由psin16一看71)=1得夕卜inOcos看-cosOsinj=l

6

即为x—6y+2=0,即曲线。2的平面直角坐标方程为x—6y+2=0

|2|1

d=,।।=1-r

(2)•.•圆心。到曲线。2：x-6y+2=0的距离22，

如图所示，所以直线x-百y+4=0与圆的切点A以及直线工-6)，=0与圆的两个交点3,。即为所求.

-,-OA1BC,则4％=-6，直线做的倾斜角为『，

27r27r7tTC27rTT77r

即A点的极角为:，所以8点的极角为2-工=9,c点的极角为;+彳=」,

3326326

所以三个点的极坐标为A(2,-，B(2，w),C(2，N-).

【点睛】

本题考查圆的参数方程和普通方程的转化、直线极坐标方程和直角坐标方程的转化，消去参数方程中的参数，就可把

参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元

法，极坐标方程化为直角坐标方程，只要将Qcos。和psin。换成)，和x即可.

21.(1)证明见解析，4=〃；(2)证明见解析

【解析】

(1)由2S,,=〃6,+〃，2s“+|=(〃+1)。"+]+〃+1作差得到(〃-1)4+]-也“+1=0,进一步得到

加“+2一("+l)4+i+1=°，再作差即可得到勺+1+%=2。,用，从而使问题得到解决;

_______1_______J〃+l—yfn_11

(2)b“=,求和即可.

+1+(〃+l)Vn+1)品5+1

【详解】

(1)2s〃=几。〃+〃,2S〃+]=(〃+1)4川+〃+1,

两式相减：(〃——次+1=0①

用〃+1换〃，得/以"+2一(〃+1)为+1+1=0②

②一@，得〃。“+2一2%+1+〃％=0,即4用+%=2q+1,

所以数列｛%｝是等差数列，又2S|=q+l,

.•・6=1,a2=2,公差d=1,所以%=〃.

(〃)b二1二