专题20 几何基础题-2020-2021学年四川八年级上期末数学试题分类汇编（四川专用）（解析版）

专题20几何基础题1．（2020秋•成都期末）如图，在中，的角平分线与外角的角平分线相交于点．（1）设，用含的代数式表示的度数；（2）若，，求线段的长；（3）在（2）的条件下，过点作的角平分线交于点，若，求边的长．【详解】（1）设，，则有，可得（2），，，，，，，．（3）如图，连接，过点作于，延长交于．平分，平分，，，，，，，在中，，，，，，，，平分，，，设，，则有，解得（不符合题意的解已经舍弃）．．2．（2020秋•金牛区期末）已知：等边三角形，直线过点且与平行，点是直线上不与点重合的一点，连接线段，并将射线绕点顺时针转动，与直线交于点（即．（1）如图1，点在的延长线上时，求证：；（2）如图2，，，依题意补全图2，试求出的长．（3）当点在点右侧时，直接写出线段、和之间的数量关系．【详解】（1）过点作，交的延长线于点，直线，，，，为等边三角形，，，，，又，，，；（2），不可能是直角，当点在点的右侧时，在四边形中，，，，在中，，，，由（1）可知，当点在点左侧时，作，交的延长线于点，直线，，，，为等边三角形，，，，，又，，，，，，在中，，在中，．综合以上可得，或．（3）①如图3，当点在的延长线上时，过点作，交的延长线于点，由（1）可知，，，；②如图4，当点在线段上时，过点作，交于点，由（1）可知，，，．3．（2020秋•武侯区期末）阅读理解如图，在中，，，，过点作直线的垂线，垂足为，求线段的长．解：设，则．，．在中，，在中，，．又，，．解得，．．知识迁移（1）在中，，，过点作直线的垂线，垂足为．如图1，若，求线段的长；若，求线段的长．（2）如图2，在中，，，过点作直线的垂线，交线段于点，将沿直线翻折后得到对应的，连接，若，求线段的长．【详解】（1）设，则，，，在中，，在中，，，，，，，，；在中，，在中，，当为锐角时，如图，，当为钝角时，如图，；（2）如图2，连接交于点，则，过点作于，在中，；在中，，垂直平分，，，，，，，设，则，，，，，，，．4．（2020秋•青羊区校级期末）在中，，，点、是线段上两点，连接，过作于点，过点作于点．（1）如图1，若点是的中点，求的大小；（2）如图2，若点是线段的中点，求证：；（3）如图3，若点是线段的中点，，，求的值．【详解】（1）解：，，，，，，，．（2）证明：过点作交的延长线于点．，，，，，，，在和中，，，，，，，点是线段的中点，，在和中，，，，．（3）解：在线段上取点，使得，连接、，如图3所示：，，，，，，，，在和中，，，，，是等腰直角三角形，，，，是等腰直角三角形，，，．5．（2020秋•新都区期末）把长方形沿对角线折叠，得到如图所示的图形，已知，．（1）求和的度数；（2）求长方形的面积．【详解】（1）四边形是长方形，，，，由折叠的性质得：，，，，，，；（2）由（1）得：，，，，，长方形的面积．6．（2020秋•青羊区校级期末）如图，已知等腰的底边，是腰上一点，且，．（1）求证：是直角三角形；（2）求的长．【详解】证明：（1），，，，为直角三角形；（2）设，是等腰三角形，，，即，解得：，．7．（2020秋•锦江区校级期末）如图1，点为对角线上一点，连接，．（1）求证：；（2）如图2，若，为线段上一点，且，连接，设，，求与的函数表达式；（3）在（2）的条件下，如图3，点为线段上（不与点、点重合）任意一点，试判断以、、为边的三角形的形状，并说明理由．【详解】证明：（1）四边形是平行四边形，，，，，，，，，；（2），，，，，，，，，；（3）设，当时，如图3，，，，，，，以、、为边的三角形是直角三角形；当时，过点作于，，，，，，，以、、为边的三角形是直角三角形；综上所述：以、、为边的三角形是直角三角形；8．（2020秋•成都期末）已知，和都是等边三角形，点，，三点不在一条直线上（如图．（1）求证：；（2）若，，，求的长；（3）若点，，三点在一条直线上（如图，且和的边长分别为3和5，求的长．【详解】证明：（1）和是等边三角形，，，，，即，在与中，，，；（2）等式等边三角形，，，，，在中，，，，；（3）如图2，过作于，点，，三点在一条直线上，，和都是等边三角形，，，，在中，，，，在中，．9．（2020秋•成都期末）如图，四边形中，，，点是的中点，连接，将沿折叠后得到，且点在四边形内部，延长交于点，连接．（1）求证：；（2）求证：；（3）若点是的中点，，求的长．【详解】（1）证明：将沿折叠后得到，，，，，，，，在和中，，；（2）证明：由折叠性质可得，，，，四边形是矩形，，．（3）解：由折叠可知，由（1）知，，又，，，，，，，，．10．（2020秋•四川期末）如图，，．（1）判定与的大小关系，并说明理由；（2）若平分，于点，，求的度数．【详解】（1），理由如下：，，又，，，；（2）平分，，，，，，，，，，．11．（2020秋•邛崃市期末）在中，，，．如图1，若时，根据勾股定理有．（1）如图2，当为锐角三角形时，类比勾股定理，判断与的大小关系，并证明；（2）如图3，当为钝角三角形时，类比勾股定理，判断与的大小关系，并证明；（3）如图4，一块四边形的试验田，已知，米，米，米，米，求这块试验田的面积．【详解】（1），理由如下：过点作于，设，则，由勾股定理得，，，，整理得：，，；（2），理由如下：作交的延长线于，设，则，整理得：，，；（3）连接，作于，由勾股定理得，，由（1）可知，，即，解得，，则，这块试验田的面积米12．（2020秋•涪城区校级期末）如图，在中，平分，所在直线是的垂直平分线，为垂足，过点作于点，交的延长线于点．求证：（1）；（2）．【详解】证明：（1）连接，如图：所在直线是的垂直平分线，，平分，过点作于点，交的延长线于点，，在与中，，，；（2），，，，．13．（2020秋•四川期末）如图，在中，是边上一点，是边的中点，作交的延长线于点．（1）证明：；（2）若，，，求．【详解】（1）证明：是边的中点，．又，，，在与中，．（2）解：，，，又，，是边的中点，，．，．14．（2020秋•四川期末）如图，在等边中，，现有，两点分别从点，同时出发，沿的边按顺时针方向运动，已知点的速度为，点的速度为，当点第一次到达点时，，同时停止运动，设运动时间为．（1）当为何值时，，两点重合？两点重合在什么位置？（2）当点，在边上运动时，是否存在使的位置？若存在，请求出此时点，运动的时间；若不存在，请说明理由．【详解】（1）由题意，，解得：，当时，，两点重合，此时两点在点处重合；（2）结论：当点、在边上运动时，可以得到以为底边的等腰三角形．理由：由（1）知12秒时、两点重合，恰好在处，如图，假设是等腰三角形，，，，是等边三角形，，在和中，，，，设当点、在边上运动时，、运动的时间秒时，是等腰三角形，，，，，解得：．故假设成立．当点、在边上运动时，当运动时间为12秒或16秒时，．15．（2020秋•涪城区期末）如图，在中，．（1）证明：；（2），，求的度数．【详解】（1）证明：，，，．（2），，，由（1）可知，，．16．（2020秋•涪城区期末）好学的小明同学通过学习，知道一般情况下，要证明一个几何命题，需要明确命题中的已知和求证：根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证．再写出证明过程，小明准备用上述步骤，证明命题：如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线分别相等，那么这两个三角形全等．他已经画出如图的图形，用符号表示了已知，请你帮他用符号表示求证，并写出证明过程．已知：如图，在和△中，点和点分别是和的中点．且，，．求证：证明：【详解】求证：△，证明：，分别是和△的中线，，，在和△中，，△，，在和△中，，△．17．（2020秋•通川区期末）在等边三角形中，点在内，点在外，且，．（1）求证：；（2）请判断是什么形状的三角形？试说明你的结论．【详解】证明：（1）为等边三角形，，，在和中，，，（2），，，，，是等边三角形．18．（2020秋•成都期末）拖拉机行驶过程中会对周围产生较大的噪声影响．如图，有一台拖拉机沿公路由点向点行驶，已知点为一所学校，且点与直线上两点，的距离分别为和，又，拖拉机周围以内为受噪声影响区域．（1）学校会受噪声影响吗？为什么？（2）若拖拉机的行驶速度为每分钟50米，拖拉机噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？【详解】（1）学校会受噪声影响．理由：如图，过点作于，，，，．是直角三角形．，，，拖拉机周围以内为受噪声影响区域，学校会受噪声影响．（2）当，时，正好影响学校，，，拖拉机的行驶速度为每分钟50米，（分钟），即拖拉机噪声影响该学校持续的时间有2分钟．19．（2020秋•雁江区期末）中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展，现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”．中，．，，，请你利用这个图形解决下列问题：（1）试说明：；（2）如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是3，求的值．【详解】（1）大正方形面积为，直角三角形面积为，小正方形面积为，即；（2）由图可知：，，，．20．（2020秋•雁江区期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点，垂足是，是上一点，平分，于点．（1）试判断与，与是否相等；（直接写出结果，不要求证明）（2）求证：；（3）若，，求的长．【详解】（1）解：，，理由是：，，平分，，，由勾股定理得：．（2）证明：连接，的垂直平分线，，在和中，，，．（3）解：，，在中，由勾股定理得：，设，则，在中，由勾股定理得：，解得：，的长是．21．（2020秋•成都期末）如图，在和中，，，．求证：．【详解】证明：，，在和中，，，22．（2020秋•内江期末）如图，中，的垂直平分线分别交、于点、，且．（1）求证：；（2）若，，求的长．【详解】（1）证明：连接，的垂直平分线分别交、于点、，，，，，是直角三角形，且；（2）解：，，，，，．23．（2020秋•成都期末）如图，在中，，于点，于点，、相交于点，．试说明：（1）．（2）．【详解】（1），，，，，在与中，，；（2），，，，，．24．（2020秋•九龙县期末）如图，在中，，若，．（1），求的长．（2），求的长．【详解】（1），，，，，（2）过点作于点，，，，，，在中，，在中，，即，可得：，解得：．25．（2020秋•四川期末）如图，在中，，，．在其右侧的同一个平面内作，使，．求证：．【详解】证明：在中，，，，，，，，是直角三角形，，，．26．（2020秋•通川区期末）如图，是等边三角形，过边上点作，交于点，在的延长线上取点，使，连接，．（1）求证：；（2）过作，交于点，求证：．【详解】（1）证明：是等边三角形，，，，是等边三角形，，，在和中，，；（2），，，，，，，．27．（2020秋•四川期末）我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的4倍的三角形叫做常态三角形．例如：某三角形三边长分别是5，6和8，因为，所以这个三角形是常态三角形．（1）若三边长分别是2，和4，则此三角形是常态三角形（填“是”或“不是”；（2）若是常态三角形，则此三角形的三边长之比为（请按从小到大排列）；（3）如图，中，，，点为的中点，连接，若是常态三角形，求的面积．【详解】（1），三边长分别是2，和4，则此三角形是常态三角形．故答案为：是；（2）是常态三角形，设两直角边长为：，，斜边长为：，则，，则，故，设，，则，此三角形的三边长之比为：．故答案为：；（3）中，，，点为的中点，是常态三角形，当，时，解得：，则，故，则的面积为：．当，时，解得：，则，故，则的面积为：．故的面积为或．28．（2020秋•四川期末）如图，，，点在边上，，，相交于点．（1）求证：；（2）若，求的