微分中值定理及其应用

[1]．分析：这也是一道考研真题，这道题考察了Lagrange中值定理的运用，通过题目的条件，我们知道在上可导，在有界，题目的结论是证在区间上的连续性，这显然是通过导数来研究原函数，又因为微分中值定理是连接函数及其导数的有力工具，所以自然而然的想到借助微分中值定理来解决这一问题．证法一对任意的，则在上，运用Lagrange中值定理知，存在一点，使得．又在有界，存在正数，对任意的，都有，所以有，即在内满足Lipschitz条件，由引理1可知结论成立．证法二同样，在上，对应用Lagrange中值定理，则，使得．在有界，，对，均有，则有．对，，当时，就有．即在区间上一致连续．5一道大学生数学竞赛题引发的思考通过分析知，微分中值定理中的中值点个数不一定只有一个．那么，当存在多个中值点时，各个中值点之间有没有什么联系？例5.1(2016年国赛(非数))设函数在区间上连续，且．证明在内存在不同的两点，使得．证设，则，，由介值性定理可知，存在，使得，在子区间，上分别应用Lagrange中值定理，则，，结论成立．注5.1其实这里若令，则，，相当于的中值点．注5.2现在推广到一般区间，会得到如下结论：如果函数在区间上连续，且．证明在内存在不同的两点，且使得．证证明方法和上述例题是相似的，构造函数，则有，，由介值性定理可知，存在，使得，在子区间，上分别应用Lagrange中值定理，则存在，使得即有，，则．参考文献郭政，高理峰.大学教材全解数学分析(华东师大第四版上册)[M].延边大学出版社，2013.8.杨娇艳，张红梅.例举微分中值定理的应用[J].萍乡学院学报，2016，33(3)：9-11.华东师范大学数学系.数学分析(第四版上册)[M].北京：高等教育出版社，2010.10.刘章辉.微分中值定理及其应用[J].山西大同大学学报(自然科学版)，2007，23(2)：79-81.郝彦.数学分析习题课指导书[M].浙江大学出版社，2009.10.曾韧英.关于复变函数的中值定理[J].重庆师范大学学报：自然科学版，1998，S1：46-47.郑利凯.复变函数的微分中值定理及其应用[J].湖北民族学院学报(自然科学版)，2013，31(1)：38-42.宋燕，王大可，刘铁成.数学分析考研讲义[M].北京：清华大学出版社，2014.郑攀，胡学刚，李玲.关于拉格朗日中值定理在证明题中的一些应用[J].科教文汇，2015(02)：59-60.王高雄，周之铭，朱思铭，王寿松.常微分方程(第三版)[M].北京：高等教育出版社，2006.7.致谢时光飞快流转，转眼已匆匆四年，心中也是感慨万千，虽有眷恋，但还是要说再见，虽有困难，但还是收获满满．在这四年中，老师和同学都给予了我许多帮助，让我的知识和技能都有了很大程度的提高，我的论文指导老师，治学严谨，学识渊博，视野开阔，在遇到问题时，经常给我讲应该怎样去思考，使我受到很大启发，在论文的修改过程中张培国老师总是悉心点拨，让我慢慢的领悟，使我受益匪浅．我还要感谢爸爸妈妈对我的支持和帮助，让我努力学习，鼓舞着我不断前进．同时，也十分感谢院领导和辅导员对我的关心，最后再次感谢所有曾经帮助过我的良师益友．本文从确定题目，论文的写作、修改到定稿都得到了我的