2022新教材北师大版高中数学必修第一册第四章 对数运算与对数函数 课时练习题及章末测验含答案解析

第四章对数运算与对数函数

1、对数的概念...........................................................1

2、对数的运算...........................................................5

3、对数函数的概念、图象和性质.........................................10

4、对数函数图象及性质的应用...........................................14

5、指数函数、基函数、对数函数增长的比较...............................19

章末检测...............................................................25

1、对数的概念

一、选择题

1.将一=9写成对数式，正确的是（）

A.Iog9^=—2B.logl9=-2

C.logl（—2）=9D.log9（—2）=^

33

B[根据对数的定义，得log19=-2.]

3

2.已知log.3=2”％,则a的值为（）

A.2B.3

C.8D.9

B=.-.loga3=l,：.a=3.]

3.已知log、8=3,则x的值为（）

1

A.~B.2

C.3D.4

B[由定义知f=8,所以x=2.]

4.方程的解是（）

1小

A.x=~B.X=-^-

c.D.x=9

A[V2|O^=^=2-2,

/.log3x=—2,

则f(f(2))的值为()

，x

A.0B.1

C.2D.3

2

C[•/A2)=1og3(2-1)=1og33=1,

.,"(f(2))=f(l)=2ei=2Xe0=2.]

二、填空题

6.方程10g3(2x—1)=1的解为x=.

2[原方程同解于log3(2x—1)=log33,所以2x—1=3,x=2.]

7.Iog6[log.t(log381)]=.

0[原式=log6[log.i(log；3')]=log6(log〃4)=log61=0.]

8.若log,2=加，log.,3=/?,则产"=.

12[V\og2=m,loga3=77,

：.a=2,a=3.

:.沪』W•a"=22X3=12.]

三、解答题

9.求下列各式中的x.

3

(1)log2(log5-¥)=1；(2)log,s8=-

[解]⑴由log2(log5x)=1得log/=2,

x=25.

3•<

⑵由log.,8=[得AT=8,

/.刀=8+，即x=(2:i)十，

.*.x=2'=16.

10.已知logi89=a,logi854=Z>,求18""的值.

[解]VlogiS9=a,logi854=Z?>

，18"=9,18〃=54,

18〃542'

11.(多选)下列指数式与对数式互化正确的有()

A.e°=l与In1=0

B.log39=2与9T=3

i11

C.8W=5与10g町=_1

1=

D.log77=1与77

ACD[log；,9=2化为指数式为32=9,故B错误，ACD正确.]

V

12.已知〃2'+1)=可，则〃4)=()

o

A.^log25B.|log23

oo

24

C.~D.-

oJ

B[令2"+l=4,得x=logz3,所以/1(4)=§logz3.]

13.利用对数恒等式壁y=Ma>0,且aWLm0).计算:

/1\1+4

(1)(T)一嗨.=——

(2)2(3+10^3)+3(2-监9)=

-i

(1)8(2)25[(1)

logj_4

2=2X4=8.

Q2Q

(2)2(3+1%3)+3(2-1吗9)=23X2】叫3+=8义3+小

3bg399

=25.]

14.已知log2(log3(log4^))=0,且Iog4(log2力=1.则正♦y牛的值为

64[Vlog2(log3(log4Jf))=0,

/.log3(log^)=1,

，logiX=3,

，x=43=64.

由1ogq(1og2y)=1,知1og2y=4,

.".y=2'=16.

因止匕/,jT=-\/64X16T=8X8=64.]

15.已知log“8=log(,a(a〉0且aWl；b〉0且8W1),求证：a=8或a=*

[证明]设log,,6=log〃a=4,则8=a*,a—1),

b—(6*)*=8居

,/b>Q且

.,.Jc=l,即左=±1.

当左=-1时，a=t；

当k—1时，a=b.

2、对数的运算

一、选择题

1.若a，>0,给出下列四个等式：

①lg（a8）=lga+lgb；②lg^=lga—1gb；

其中一定成立的等式的序号是（）

A.①②③④B.①②

C.③④D.③

D[Vab>Q,：.a>0,8>0或aVO,6V0,.•.①②中的等式不一定成立；

ab>0,=5X21町=1叼，.•.③中等式成“；当ab=l时，lg（ab）

=0,但log”40无意义，.•.④中等式不成立.故选D.]

2.已知6>0,log56=a,lg6=c,5"=10,则下列等式一定成立的是（）

A.d=acB.a=cd

C.c=adD.d=a+c

B[由已知，得。=暑~|,d=lv，所以a=c（Z]

lg5lg5

3.若lgx—lgy=t,则lg©—IgQ=（）

3

A.31B.~t

C.tD.

A[lg（*—lg用=31g1-31g=31匕=3（坨x—lgy）=3t.]

4.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限."约为3附，而可观测宇宙中

普通物质的原子总数A吆勺为1O80.则下列各数中与最最接近的是（）

A

（参考数据：1g3心0.48）

A.IO33B.1053

C.10"D.1093

M3361

D［由题意，1g-=lg/=lg3361-lg1080=3611g3-801g

10-361X0.48-80X1=93.28.

又1g1()33=33,1g1053=53,1g1073=73,1g1093=93,

1/

故与q最接近的是10W故选DJ

/V

5.3ls2-2183=()

A.0B.1g2

C.1g3D.1g6

A［令，仁31吃42叫

则lg41g21g3,1gJV=lg31g2,

：.lg^=lgN,：.M=N,

.,.3lg2-2le3=；'J/-.At=0.］

二、填空题

6.已知log.2=zz?,log,3=〃，则log“18=.(用例〃表示)

22

m+2n［log48=log„(2X3)=1og„2+1og„3=1og,,2+21og;,3=m+2n.}

筲.lg32—lg42

7-计算―ill—+(27)3=-

12［由指数和对数的运算法则，得

1g-；，

1g32—lg424(lg8lg2

~o---+(27)3=--~+(3)3=---+3=---+9=3+9=12.J

lg2lg2lg2lg2

x

8.若lgx+lgy=21g(x—2y),则］=.

4［因为lgx+lgy=21g(x—2力，

(x>0,y>0,

所以{x—2y>0,

lxy=x-2y2.

由xy=(x—20)知系-5xy+4/=0,

所以x=y或x=4y.

又x>0,y>0且才一2y>0,

x

所以舍去x=y,故x=4y,则］=4.］

三、解答题

9.用log.x,logj,logqz表示下列各式：

XyI~V

(1)log/xyz)；(2)log,—；(3)log-V，

yzyaz

［解］(1)log„(xyz)=log“*+logj+log“z=21og“x+logj+log“z.

x2

(2)log“一=log房一log“(yz)=2log,,%—(log„y+log“z)=21og,,x-logj一

log“z.

1

(3)lo

=-log„x—21ogay—logaz.

10.计算:

(l)21og32—log3—+log38；

⑵log：；(9X27°)+log26—log23+log,i3Xlog：；16.

32

［解］(1)J^i^,=log34—log3-^-+log38=log39=2.

6

(2)原式=log3(3：'X36)+log2鼻+logi3,21og34=log3s+log2+2=ll.

o:i2

11.（多选）实数a,6满足2"=5'=10,则下列关系不正确的有（）

1,12,1

A•/厂1B-3=2

1,21,21

K+2=2D-a+b=2

BCD［^=log210,6=log510,工+；=］\八+］==1g2+lg5=1,故

ablog210log510

A正确.

2121

一+i=7i---/---77=lg4+lg5=lg20W2,故B不正确.

ablog210log510

1212

-6-IgOO

a+-I-o21g2+lg25=lg50,故CD不正确.故选BCD.]

10g5

o

12.已知2'=9,2'=鼻，则x+2y的值为（）

J

A.6B.8

C.1D.log48

gg

A[由2*=9,得x=log29,由2'=§,得y=logg

gg88

/.x-\-2y=1og9+210g-=2log3+21og-=2(1og3+1og-)=21og(3X-)

22o22o22o2o

=21og28=2X3=6.]

13.设a,b,c为正数，且满足，+62=c2.

(1)log2fllog2fl4

(2)若log(l+与曰=1,Iog8(a+S—c)=|,则

⑴1(2)3[⑴原式=1矶1+甯.(1+号)]

a+b~-c2

=log:标

a+62-a

=log22=l.

(2)由log(l+"j=l,得-3a+8+c=0,①

2

由log8(a+Zr—c)=可，得a+8—c=4,②

由题设知3+62=占③

由①②③及a,b,c为正数，可得a=6,6=8,c=10.

a+6+c6+8+10

所以8-=8=3.]

14.下列表中的对数值有且仅有一个是错误的:

X358915

lgX2a-ba+c3—3a—3c4a—263a-6+c+1

请将错误的一个改正为1g

153a—6+c［由lg9=21g3,对照表格可知3,9的对数值没错，1g8

=31g2,所以1g8=3—3。一3c等价于1g2=1—a—c,比较lg5=a+c,由

lg2+lg5=1可知lg5,lg8的值没错，而lg15=lg3+lg5=3a—8+c,

所以表格中lg15错误，应改为：lg15=3a—6+c.］

15.若a,6是方程2(lgxL—lg4+1=0的两个实根，求lg(ab)•(log/

+logAa)的值.

［解］原方程可化为2(lgx)2—41gx+l=0(x>0).

设i=lgx,则方程化为2d—4l+l=0,

***0=2,t\*22=行.

乙

又•：a,6是方程2(lgx^—lgx'+l=0的两个实根，

/.ti=lga,t2=lgb,即lga+lg8=2,lga,lgb=g.

lg(aZ?)•(log.,/?4-logAa)

lgb!lga

=(lga+lg6)•

lgalg0

lgb'+lga

=(lga+lg6)•

lga•lg

lga+lgb'-21ga•lgb

=(lga+lg6)•

lga•lg

21

22-2X-

=2X——j——=12,

2

即lg(aZ?)•(logo2?+logda)=12.

3、对数函数的概念、图象和性质

一、选择题

函数4)=存的定义域是(

1.)

A.[4,+°°)B.(10,+8)

C.(4,10)U(10,+8)D.[4,10)U(10,+8)

jx—420,产4,

D[由(lgx—1W0,解得｛xW10,

且x#10,

[x>0,[x>0,

函数/'(x)的定义域为[4,10)U(10,+oo).故选D.]

2.函数/V)=log2X,且F(勿)>0,则勿的取值范围是()

A.(0,+8)B.(0,1)

C.(1,+8)D.R

C[结合/'(>=log2”的图象可知,/1(一>0时,m>l.]

3.函数尸log?%的定义域是机值域是M则"C/V等于()

A.MB.N

C.0D.R

A\_M=(0,+°°),N=R,则"02(0,4-°°)=M.]

4.函数尸4,的反函数是()

A.y=4rB.y=x'

Cy=log,v4D.y=logi^

[答案]D

5.当a>l时，在同一坐标系中，函数y=a-'与y=logax的图象为()

ABCD

1

C[y=a~x=，Va>1,则尸a-'在(—8,+8)上是减函

wa

数，过定点(0,1)；对数函数y=log,x在(0,+8)上是增函数，过定点(1,0).故

选C.］

二、填空题

6.函数f(x)=12—log”的定义域是.

(0,4］［由2—log?*2。,得log?石2,又x>0,

，0W4.］

7.已知函数/'(x)=

1

用)=F(log2?=f(—2)=3-2=].]

9-

8.函数f(x)=log2X在区间[a,2a](a>0)上取大值与最小值之差为..

1[,.•/'(才)=1。82n在区间[a2@]上是增函数，

/.f(x)1MX—f{x}mi„=f(2a)—f®=log2(2a)—log2a=l.]

三、解答题

9-求函数尸1。轲十］.1,—2的定义域.

x〉0,

[解]由题意知,3才一2>0,

log:i3x-2WO,

%>0,

22

%,故有鼻<x<l或x〉l,

oo

、3x-2Wl,

所以原函数的定义域是I<矛<1或X>1

10.当勿为何值时，关于*的方程|10g2(x—1)|=/无解？有一解？有两解？

［解］在同一坐标系，分别作出函数y=IlogKx-1)|和y=勿的图象，如图

所示.

由图象得：当水0时，方程无解；

当股=0时,方程有一解；

当就0时，方程有两解.

11.(多选)已知f(x)=lg(10+x)+lgdo—x),则/'(x)()

A.是奇函数

B.是偶函数

C.在(0,10)上单调递增

D.在(0,10)上单调递减

'10+x>0,

BD[由仁.得x£(—10,10),故函数f(x)的定义域为(一

」0—x>0

10,10),因为V(―10,10)都有一xW(―10,10),且f(—x)=lg(10—*)+

lg(10+x)=f(x),故函数f(x)为偶函数.

f(x)=lg(10+x)+lg(10-A-)=lg(100-/),y=100一系在(0,10)上递

减，尸lgx递增，故函数f(x)在(0,10)上递减.]

12.方程log/=0的解的个数是()

A.0B.1

C.2D.不确定

B[在同一坐标系中画出函数与y=log2X的图象，如图所示.

由图知它们的图象只有一个交点，即方程t[=log/仅有一个解.]

13.已知函数f(x)=Ilogl的定义域为］m,值域为［0,1］,则r的取

2U」

值范围为.

11,2］［作出f(x)=|loglx|的图象(如图)可知=晨AD=0,

由题意结合图象知：1W/W2.

14.已知f(x)为定义在区间(一8,0)U(0,+8)上的偶函数，当矛@(0,

+8)时,f(x)=1og2X

当xe(—8,o)时，函数/'(x)的解析式为.

f(x)=log2(—A)［设xW(—8,0),则一x£(o,+8),

所以f(—x)=log2(-x)，

又/'(X)为定义在区间(-8,0)U(0,+8)上的偶函数，

得/'(—x)=f(x),所以f(x)=log2(-X)(xG(―8,0)).］

15.已知f(x)是对数函数，并且它的图象过点(2啦，m，g(x)=/(x)一

2b*Ax)+3,其中8WR.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)求尸g(x)在［镜，16］上的最小值.

［解］⑴设f(x)=log〃x(a>0,且aWl),

的图象过点(2电，I］,

.,"(2啦)=35,即log.2m=3a，

乙乙

r

AaT=2y/2=2T,即a=2,Af(^x)=log2A.

⑵设t=f(x),则尸g(设=2A+3=(Z—8)2+3一方=勿(力),

丁镜WxW16,...■|wiog2xW4,

即ze4,函数R(Z)的图象的对称轴方程为t=b.

①当D4时,加⑺在;，4上是增函数，为n=4m=^-力；

②当〈＜从4时，加⑺在)，6上为减函数，在(6,4］上为增函数，y*、、=m(b)

=3-Z?2；

③当624时，加(1)在3，4上是减函数，为产加(4)=19—86.

r1

13.6

4一-42-

综上所述，%in=S21

3—If,-<Z><4,

119—86,824.

4、对数函数图象及性质的应用

一、选择题

1.已知函数F(x)=log2(l+2f),则函数f(x)的值域是()

A.[0,2)B.(0,+8)

C.(0,2)D.[0,+8)

B[f(x)=log2(l+2'),•••Iog2(l+2N>0,.*.函数f(x)的值

域是(0,十8),故选B.]

2.已知实数a=logi5,8=(；)-c=log:t0.4,则a,b,c的大小关系为()

A.伙c〈aB.b〈a〈c

C.c〈a〈bD.c《Xa

D[由题知，a=logi5>l,b=1,(?=log30.4<0,故]

函数/'(x)=|log2x|的单调递增区间是(

3

B.(0,11

(0,+°°)D.［1,+°°)

D［f(x)的图象如图所示，由图象可知单调递增区间为［1,+8).

已知logJL己logl水0,

D［因为0<5<1,logl/zKlogl?7<0,所以故选D.］

z22

5.若函数f(x)=logjx+l|在(-1,0)上有/'(x)>0,则/1(x)()

A.在(一8,0)上是增函数

B.在(一8,0)上是减函数

C.在(一8,—1)上是增函数

D.在(一8,—1)上是减函数

C［当―1<矛<0时，0<x+l<l.

Vlogs|^+l|>0,/.0<a<l,

，函数/'(x)=logjx+lI在(-8,—1)上递增，在(-1,十8)上递减.'

二、填空题

6.设/'(x)=lgx,若f(l—a)—f(a)>0,则实数a的取值范围为.

(0,［由题意，f(x)=lgx在(0,+8)上单调递增，因为f(i—a)一

所以1—a>a>0,所以ae(0,；［.］

7.已知函数尸log,(2—ax)在［0,1］上是减函数，则实数a的取值范围是

(1,2)［令u=2—ax,则y=log〃，因为a>0,所以"=2—ax递减，由题

意知y=log.u在［0,1］内递增，所以a>l.又u=2—ax在x£［0,1］上恒大于0,

所以2—a>0,即水2,综上，l<a<2.］

3—x,x<2,

8.已知a〉0且aWl,若函数f(x)=〈‘、。’的值域为口，+°°)»

［log/,x>2

则a的取值范围是.

3一天,才W2,

(1,2］［若函数/1(x)=〈9的值域为［1,+8),且a>0,aWl,

Llog“x,x>2

fx>2,

当xW2时，y=3—x»l,所以彳可得l〈aW2.］

、log“x》l,

三、解答题

9.已知函数f(x)=ln(3+x)+ln(3—x).

(1)求函数y=f{x)的定义域；

(2)判断函数了=f(x)的奇偶性.

f3+x〉0,

［解］(1)要使函数有意义，则.…解得一3VxV3,故函数尸/"(X)

.3—x>0,

的定义域为(-3,3).

(2)由(1)可知，函数y=f(x)的定义域为(-3,3),关于原点对称.

对任意xW(—3,3),则一xG(—3,3).

f(—x)=In(3—x)+In(3+x)=f(x),

由函数奇偶性可知，函数y=f(x)为偶函数.

10.已知指数函数/'(x)=a"a>0,且aWl).

(1)求函数f(x)的反函数g(x)的解析式；

(2)解不等式g(x)Wlog,(2—3x).

［解］(1)令y=a'(a>0,且aWl),则x=logj(a>0,且aWl),所以函数

f(x)的反函数为g(x)=log.x(a〉0,且aWl).

(2)当a>l时，logaxWlog/—3x)，

xW2—3x,解得(Kxw)

所以

x>0,乙

x22—3x,12

当o〈水i时，原不等式等价于。。、八解得jWxq.

2—3x>0,3J

综上，当a>l时，原不等式的解集为卜，1；

当。〈水1时，原不等式的解集为:，I].

11.(多选)函数/'(才)=1。8，』“一1|在(0,1)上是减函数，那么()

A.f(x)在(1,+8)上递增且无最大值

B.f(x)在(1,+8)上递减且无最小值

C.f(x)在定义域内是偶函数

D.f(x)的图象关于直线*=1对称

AD[由|x—1]>0得，函数y=logjx-11的定义域为{x|xWl}.设g(x)=

X—1,x>1,

11={

—x+1,A<1,

则g(x)在(一8,1)上为减函数，在(1,+8)上为增函数，

且g(x)的图象关于X=1对称，所以f(x)的图象关于x=1对称，D正确；

由上述分析知f(x)=log,|x-l|在(1,+8)上递增且无最大值，A正确，B

错误；

又/'(-x)=log0|—X—11=log/x+l|WF(x),所以C错误,故选AD.]

12.已知曲线C：尸与函数f(x)=log.,x及函数g(x)=a*(其

中a>l)的图象分别交于4(否，弘)，6(孙④，则第+第的值为()

A.16B.8

C.4D.2

C[如图所示，4(x”弘)、B(xz,④两点关于y=x

对称，

又4(由，必)关于y=x的对称点为(必，为)，则x2=yl,

故x：+x；=x；+M=4.故选C.]

13.定义：区间[不，生](不〈及)的长度为尼一小.已知函数y=1logo.sxl的定

义域为［a,b］,值域为［0,2］,则区间［a,6］的长度的最大值为.

1511

~T［由0W|logo.sxl<2,解得所以［a,6］长度的最大值为4一1=

鸟

4。」

1_1_OV

14.函数/'(x);打工迷(aW2)为奇函数，则实数a等于.

1•~1-乙>¥

—什*―/、，/、.1一ax,、1+a*,\—ax1+ax

-2［依题思有f(—x)+F(x)=lrr;z-+ln.=0,即ar•;—•,,„=

L-2X1十2x1—2x1+2x

1,故1—ay=l—4*,解得d=4,但aW2,故a=-2.］

15.某学校为了加强学生数学核心素养的培养，锻炼学生自主探究学习的能

1—V

力，他们以函数f(x)=lg彳为基本素材，研究该函数的相关性质，取得部分

研究成果如下：

①同学甲发现：函数/'(X)的定义域为

②同学乙发现：函数/'(X)是偶函数；

③同学丙发现：对于任意的xe(―1,1)都有=

④同学丁发现：对于任意的a,1,1),都有

11IO.UJ

⑤同学戊发现：对于函数f(x)定义域中任意的两个不同实数及，如总满足

fX\—fx

------------2->0.

X\—x2

试分别判断哪些同学的研究成果正确？

1V1V

［解］在①中，因为/'(x)=lg而，所以=>0,解得函数的定义域为(一

1—V1—I—V

1,1)，所以①是正确的；在②中，f(x)=lgH=—lg1—=-f(—x)，所以

1-rx1-x

函数/'(X)为奇函数，所以②是错误的；在③中，对于任意xe(—1,1)，有/(告j

(2x、

1x+l—2x+l'x-12「,、/1—R

"lg=lg〔.+2x+J=lg*+］2,又2F(x)=21g"=lg

C十H

―订r，所以③是正确的；在④中，对于任意的a,6W(—1,1),有/'(a)+

AI1

1—51—6(l~~a1-J(1~a—Z?+aB\(a+6、

7(/?)=lgl+^+lgI+6=ldg仁工,不同=运［x+a+b+ab^'又41+aj

1+aZ?1—a—b~\~db__

=lg--VT=运-山：/，所以④是正确的；在⑤中，对于函数Ax)

la-rb1十a十b-rab

1l+aby

的定义域中任意的两个不同实数X”如总满足/>一/用>0,即说明f(x)

》一房

是增函数，但/'(x)=lgE=lg(—1+专)是减函数，所以⑤是错误的.综

上可知，学生甲、丙、丁的研究成果正确.

5、指数函数、幕函数、对数函数增长的比较

一、选择题

1.下列函数中y随才的增大而增大，且增长速度最快的是()

A.y=20201n%B.y=!.e'

乙U乙u

C.y=2020xD.y=2020•2,

B［由于指数型函数的增长是爆炸式增长，所以当x越来越大时，函数尸

7焉e'与y=2020•2,的增长越来越快，由于e>2,当x超过某一个值时，函

乙U乙U

数尸了标e'的值会超过了=2020,2'的值，故选B.］

2.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%,要增长到原来的x

倍，需经过y年，则函数y=f(x)的图象大致为()

ABCD

D[设该林区的森林原有蓄积量为a,由题意可得ax=a(l+O.104)。故y

=log,104x(x21),函数为对数函数，所以函数y=f(x)的图象大致为D中图象，

故选D.]

3.有甲、乙、丙、丁四种不同品牌的自驾车，其跑车时间均为x小时，跑

过的路程分别满足关系式：(-¥)—X,£(x)=4x,£(x)=log3(x+1),£(x)=

2'—1,则5个小时以后跑在最前面的为()

A.甲B.乙

C.丙D.T

D[法一：分别作出四个函数的图象(图略)，利用数形结合，知5个小时后

丁车在最前面.

法二:由于4个函数均为增函数,且£⑸=W=25,£(5)=20,£(5)=log3(5

+l)=l+log32,京(5)=2-1=31,抬(5)最大，所以5个小时后丁车在最前面，

故选D.]

4.某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表：

X1.99345.16.12

y1.54.047.51218.01

对于表中数据，现给出以下拟合曲线，其中拟合程度最好的是()

A.y=2x~2B.尸

C.y=log2*D.1)

D[法一：相邻的自变量之差大约为1,相邻的函数值之差大约为2.5、3.5、

4.5、6,基本上是逐渐增加的，二次曲线拟合程度最好，故选D.

法二：比较四个函数值的大小，可以采用特殊值代入法.可取x=4,经检

验易知选D.]

5.乂=2',y2=x,必=log2X,当2〈矛〈4时，有()

A.%>%>必B.必

C.D.%>必>必

B［在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象(图略)，在区间⑵4)

内，从上到下图象依次对应的函数为%=*,必=2",必=logz*,故%>%>为.］

二、填空题

6.现测得(x,力的两组对应值分别为(1,2),(2,5),现有两个待选模型，

甲：y=/+l,乙：尸3x—1,若又测得(％y)的一组对应值为⑶10.2),则应

选用作为函数模型.

甲［把*=1,2,3分别代入甲、乙两个函数模型，经比较发现模型甲较好.］

7.函数y=/与函数y=xlnx在区间(1,+8)上增长较快的一个是.

y=x［当x变大时，x比Inx增长要快，

二产要比xlnx增长的要快.］

8.某工厂8年来某种产品的总产量C与时间乂年)的函数关系如图所示，给

出下列四种说法：产

①前三年中产量增长的速度越来越快；L一,

②前三年中产量增长的速度越来越慢；oH—匕群

③第三年后这种产品停止生产；

④第三年后产量保持不变.其中说法正确的是.

②③［由［0,3］的图象，联想到累函数y=x"(0VaVl),反映了。随时

间的变化而逐渐增长但速度越来越慢，由［3,8］的图象可知，总产量。没有

变化，即第三年后停止生产.］

三、解答题

9.画出函数f(x)=5■与函数g(x)2的图象，并比较两者在［0,+

8)上的大小关系.,

［解］函数f(x)与g(x)的图象如图所示.］/步产2

根据图象易得：

oi'24r

当0Wx<4时，f(x)>g(x)；r

当x=4时，f［x)=g(x)；当x>4时，f［x)<g(x).

10.某公司为了实现1000万元的利润目标，准备制订一个激励销售人员的

奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且资金y(单位:

万元)随销售利润才(单位：万元)的增加而增加，但资金总数不超过5万元，同

时资金不超过利润的25%现有三个奖励模型：y=0.25%,y=log^+l,y=

1.002、其中哪个模型能符合公司的要求？

［解］作出函数y=5,y=0.25x,y=log7^+by=1.002”的图象（如图）.

观察图象发现，在区间［10,1000］上，模型尸0.25x,y=L002'的图象都

有一部分在直线7=5的上方，只有模型尸logrx+1的图象始终在y=5和y=

0.25*的下方，这说明只有按模型y=log/+l进行奖励时才符合公司的要求.

11.在某个物理实验中，测量得列变量x和变量y的几组数据，如下表：

X0.500.992.013.98

y-0.990.010.982.00

则对x,y最适合的拟合函数是()

A.y=2xB.y^=-x—1

C.y=2x-2D.y=log2^

D［将x=0.50,y=-0.99,代入计算，可以排除A；将x=2.01,y=0.98,

代入计算，可以排除B、C；将各数据代入函数y=log2X,可知满足题意.故选

D.］

12.已知f(x)=f—8x+c且f(O)=3,f(l+x)=f(l—x),则有()

A.B.F(6)Wf(c*)

c.D.f(b'),f(c*)大小不定

B［由f(l+x)=f(l—x),知函数f(x)的图象关于直线x=l对称，所以楙=

1,即8=2.

由/(0)=3,知c=3.此时f(x)=/—2x+3.

当XO时，3y2y1,函数y=f(x)在区间(一8,1)上是减函数，所以

f(6)"(c")；

当x=0时，当切=f（刃;

当x>0时，3'>2'>1,函数y=f（x）在区间（1,+8）上是增函数，所以

F3）〈f（c'）.综上，］

13.如图所示是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的剩留量y

与净化时间寅月）的近似函数关系：尸a'（C2O,a>0且arl）的图象.

有以下说法：|y

①第4个月时，剩留量就会低于看；kg可

②每月减少的有害物质质量都相等；一

°1234〃月

③当剩留量为（彳，:时，所经过的时间分别是t1,

Z4o

=

22,必3,贝U方l+tl%3.

其中所有正确说法的序号是.

①③［由于函数的图象经过点（2,看，故函数的关系式为尸（|

当£=4时，故①正确;

2142

当方=1时，夕=不，减少可，当看=2时，/=-,减少G，故每月减少有害物质

OOv7C/

11

质量不相等，故②不正确；分别令尸;，-

8-

乙TC2?

t)+1=t,故③正确.]

e哈23

14.甲、乙两地相距500km,一辆运输汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度”

不能超过120km/h.已知运输汽车每小时运输成本为（福武+36。1元，则全程运

I乙。Uj

输成本y与速度r的函数关系是y=,当运输汽车的行驶速度为

km/h时，全程运输成本最小.

18L+-^-^j（0<l<120）100［运输汽