统计物理初步

大学物理II徐立副教授物理电子学院逸夫楼314lixu/p>

注意事项1.成绩构成：平时10%,期中20%，期末40%，两次平时考试30%；期中和期末考试的难度将加大。2.习题册每本6元，9月19日（第三周周五）全天在文印中心以行政班为单位购买。3.从第四周最后一次课开始交作业，每次交三个练习。无特别通知则每周如此。物理学是探讨客观物质世界基本规律的一门学科,是其它各门自然科学和一切工程技术的基础，知识：物理学就是一个研究问题的方法宝库。方法：物理学是知识和方法并重的关于我的课程我会特别注重这部分内容的阐述物理学知识很容易淡忘，而对物理学研究方法的领悟则会让你受益终生本学期的内容安排热学电磁学量子力学静电学静磁学变化的电磁场（7次课左右）（6次课）热学篇热是人类最早发现的一种自然力，是地球上一切生命的源泉。

—恩格斯热现象：凡是与温度有关的物理性质的变化都叫称为热现象热学就是研究热现象规律及其应用的一门科学。热力学与统计物理初步系统：热学的研究对象热运动热运动有一个最大的特点，大量的微观粒子中的个别粒子的运动是无规则的和随机的，但在总体上，在一定的宏观条件下却遵循确定的统计性规律它是运用统计的方法把物体的宏观性质作为微观粒子热运动的统计平均结果，找出宏观量与微观量之间的联系统计物理宏观层面微观层面从微观方面研究热学的理论我们称之为统计物理或分子物理学，热学的宏观理论它根据由观察和实验总结出来的热力学定律，再用严密逻辑推理的方法来研究系统的热性质热力学两种理论互有优势，相互补充统计物理

气体动理论本章讨论的气体分子运动论是统计物理学最简单最基本的内容。目的在于使我们了解一些气体性质的微观解释，并学到一些统计物理的基本概念和方法第七章统计物理初步从上述物质分子运动论的基本观点出发，研究和说明宏观物体的各种现象和性能是统计物理学的任务

气体动理论的基本假设1，宏观物体是由大量微粒--分子（或原子）组成的。2，物体中的分子处于永不停息的无规则运动中其激烈程度与温度有关。3，分子之间存在着相互作用力。一热力学系统的平衡态一个系统在不受外界影响的条件下，如果它的一切宏观性质不再随时间变化，并且体系的各个部分也不发生任何宏观变化我们就说这个系统处于热力学平衡态。比如一个封闭容器被隔板分成两个部分，一部分为真空一部分中有空气。第一节：热力学系统与平衡态热力学系统的平衡态说明1：不受外界影响是从作能量角度来说的，既外界既不作功也不热传递。说明2：平衡是动态的平衡说明3：不受外界影响的系统是不存在的,是个理想模型说明4：平衡态不同于系统受恒定外界影响所达到的稳定状态100oc0oc金属杆有外界影响的稳定状态不是平衡态二状态参量1宏观量和微观量通常我们把描述单个粒子运动状态的物理量称为微观量，如粒子的质量、位置、速度、动量、能量等；描述系统宏观属性的物理量称为宏观量，如温度、压强、体积、热容状态参量：是描述气体性质的宏观量如果在所研究的问题中既不涉及电磁性质又无须考虑与化学成分有关的性质，系统中又不发生化学反应，则不必引入电磁参量和化学参量。非平衡态：没有确定的温度和压强一般指的就是这三个三理想气体——实际气体的理想模型理想气体（宏观模型）：实验指出：在通常的温度和压强下一切气体都近似遵守玻马定律、查理定律、盖-吕萨克定律和阿伏伽德罗定律。理想气体严格遵守上述实验定律不同的气体所表现出的这一性质绝非偶然理想气体（微观模型）：不计大小质点：不计相互作用自由质点：理想气体分子弹性质点：弹性碰撞自由弹性质点什么叫理想模型？理想模型：抓住问题的主要因素忽略次要因素，把实际情况理想化、模型化的一种简化问题的研究方法理想模型—物理学最重要、最基本的研究问题方法举例：质点实际物体都有大小和形状，但大小和形状对我们研究问题影响不大时，我们就忽略物体的大小和形状，把该物体看成一个有质量的点，即质点。主要因素：质量什么是理想模型次要因素：大小和形状这样质点就是实际物体的理想模型(7-1)

单位:SI

压强p:Pa帕斯卡(帕斯卡)。

1atm=76cmHg=1.013×105Pa(atmosphere)

体积V：m3;1L=10-3m3

温度T：K(T=273+tC

)M:气体质量(kg);Mmol

:摩尔质量(kg.mol-1)。普适气体恒量:R=8.31(J.mol-1.K-1)四、理想气体状态方程20玻耳兹曼常量k=R/No=1.38×10-23(J.K-1)R=8.31(J.mol-1.K-1)于是理想气体状态方程又可写为式中：n=N/V—单位体积的分子数密度。m

分子质量,N

气体分子数(7-1)或

(7-2)例7-1一篮球在室温为00C时打入空气到1.5个大气压，假设球的体积不变，试计算：（1）在赛球时,篮球温度升高到300C，问这时球内的压力有多大？（2）在赛球过程中,球被划破一个洞开始漏气，把篮球拿回室温的条件下，最终漏掉的空气是原来空气的百分之几？解：（1）解：（2）原来的质量后来的质量23

例题7-2估算在标准状态下，每立方厘米的空气中有多少个气体分子。

解由公式：p=nkT，标准状态:p=1atm=1.013×105Pa,T=273K=2.7×1025(个/m3)=2.7×1019(个/cm3)

例题7-3一氧气瓶的容积V=32l,瓶中氧气压强p1=130atm。规定瓶内氧气的压强降到p2=10atm时就得充气,以免混入其他气体而需洗瓶。一车间每天需用pd=1atm的氧气Vd=400l,问一瓶氧气能用几天?

解抓住：分子个数的变化，用pV=NkT求解。使用后瓶中氧气的分子个数:(设使用中温度保持不变)每天用的氧气分子个数:能用天数：未使用前瓶中氧气的分子个数:

例题7-4一长金属管下断封闭,上端开口,置于压强为po的大气中。今在封闭端加热达T1=1000K,而另一端则达到T2=200K，设温度沿管长均匀变化。现封闭开口端，并使管子冷却到TE=100K。计算此时管内气体的压强(不计金属管的膨胀)。

解初态(加热时)是定态,但不是平衡态。末态是平衡态。关键是求出管内气体的质量。.......图7-1x,L

管长

对x处的气体元(dx,dM)可视为平衡态:dxxdM.......图7-1xdxx,S

管横截面积.......图7-1xdxx末态:封闭开口端,并使管子冷却到TE=100K。=0.2po最后得：理想气体微观模型：不计大小质点：不计相互作用自由质点：理想气体分子弹性质点：弹性碰撞第二节理想气体压强和温度的统计意义一统计性假设（平衡态下）1分子处于容器内任一位置处的概率相同（均匀分布）分子数密度2分子沿各方向运动的概率相同任一时刻向各方向运动的分子数相同3分子速率在各个方向分量的各种平均值相同续：统计假设二：推导建立宏观量(P)与微观量的联系

气体压强是大量分子不断碰撞容器壁的结果压强是怎么产生的？

压强等于器壁单位面积上所受的平均压力推导压强公式压强等于器壁单位面积上所受的平均压力体积为v的长方体容器中有一定质量的同种理想气体，每个分子质量为m,总分子数为N，处于平衡态,分子数密度为n。在垂直于x轴的器壁上任取一小面积dS,计算其所受的平均压力续：推导压强这个问题很难办考虑速度为vi的一个分子一次碰撞的动量变化大小是多少？利用理想气体分子微观模型，考虑速度为vi的一个分子对器壁的一次碰撞而产生的动量变化弹性碰撞：速度为vi的一个分子一次碰撞的动量变化大小是：续：推导压强所有速度为的vi的分子在dt时间内与dS相碰的分子总动量变化是多少？速度为vi的一个分子一次碰撞的动量变化大小是：所有速度为vi的分子中在dt时间内与dS相碰的分子数即为：以dS为底以vixdt为高的斜柱体内的分子数续：推导压强这个dt时间内速度为为vi的分子的动量变化之和为：设速度为vi的分子数密度为ni注意：

vix<0的分子不与dS碰撞。所有分子在dt时间内碰器壁dS所导致的总动量变化为：续：推导压强得理想气体压强公式：续：推导压强为分子平均平动动能（简称平均平动能）平均平动能说明：1此式子给出了一个宏观量压强和一个微观量的统计平均值之间的关系，就是我们要找的公式。（体现了统计物理研究问题的基本特点）2是大量分子的统计平均结果，是统计规律。是把宏观压强表示为单位面积器壁上受到分子平均冲力这一思想的结果。离开“大量”和“平均”压强p失去意义宏观量(P)与微观量的联系3，结果表明：4如果容器中不是同种分子，结果如何？道尔顿分压定律：总压强等于各种气体单独充满容器时压强之和宏观量(P)与微观量的联系4、混合气体内的压强道尔顿分压定律

设容器内有多种气体，n=n1+n2+…+ni…+nn

,其中ni是第i种气体的分子数密度,由压强公式有(只与温度有关)于是有

p=p1+p2+……+pn

这就是说，总压强等于各气体分压强之和，这就是道尔顿分压定律。三理想气体温度公式理想气体状态方程玻尔兹曼常数1理想气体温度T是分子平均平动动能的量度，是分子热运动剧烈程度的标志（给出了温度的实质）2温度是大量分子热运动的集体表现，是统计性概念，对个别分子无温度可言温度的统计意义热力学认为绝对零度只能逼近，不能达到温度的统计意义3分子平均平动动能和温度的关系式对任何种类的气体都是不变的

例题7-6一容器体积V=1m3,有N1=1×1025个氧分子，N2=4×1025氮分子，混合气体的压强p=2.76×105pa,求分子的平均平动动能及混合气体的的温度。解由压强公式所以=8.26×10-21J又混合气体的的温度：=400K

例题7-7两瓶不同种类的气体，温度、压强相同，但体积不同，则

(1)它们单位体积中的分子数相同。

(2)它们单位体积中的气体质量不相同。

(3)它们单位体积中的分子平动动能的总和(p=nkT)(

=mn)(Ek=nEt)相同。温度为30℃时1摩尔氧气的能量按理想模型计算：实际为：气体的能量问题理想气体模型在解释压强和温度时是成功的但是在研究气体能量时却出现了困难理论的评价理想气体模型在解释压强和温度时是成功的但是在研究气体能量时却出现了困难一个理论都存在一个应用范围问题，超出了范围就是错的，所以评价一个理论不宜用简单的对和错加以衡量理想气体模型错了么？理想气体微观模型在解释能量问题时的缺欠不计大小质点：不计相互作用自由质点：理想气体分子弹性质点：弹性碰撞一理想气体模型的改进讨论能量问题：考虑分子内部结构—质点组分子热运动能量：1平动动能2转动动能3分子内原子间振动动能和势能第三节能量按自由度均分定律二自由度确定一个物体的空间位置所需的独立坐标数总自由度数=平动自由度+转动自由度+振动自由度1质点的自由度受限制时自由度减少轮船t=2火车t=1飞机t=3

只有平动最多三个自由度决定质心位置t=3过质心转轴方向刚体相对于轴的方位转动共计r=32刚体的自由度如何确定转动的位置呢？刚体的任何转动都可以看成绕通过质心的轴（方向可变）的转动请大家记住决定质心位置t=3过质心转轴方位刚体相对于轴的方位r=3最多6个自由度:i=t+r=6定轴刚体:i=r=1

刚体的自由度自由细杆t=3,r=2,i=53）气体分子的自由度单原子分子—自由质点双原子分子—轻弹簧联系的两个质点i=t=3质心位置t=3刚性双原子分子,相当于自由细杆双原子分子的自由度非刚性双原子分子,相当于轻弹簧连接两质点多原子分子（原子数n)最多可能自由度i=3n平动t=3转动r=3振动s=3n-6刚性多原子分子t=3r=3s=0i=6在上节中我们已得到分子的平均平动动能可见，分子的平均平动动能是均匀地分配在3个自由度上的，即每个平动自由度上的平均平动动能都相等，都为

三能量按自由度均分定律分子的平均总动能:统计表明：在温度T的平衡态下，物质（固，液，气）分子的每一个可能的自由度都有相同的平均动能kT/2平均能量按自由度均匀分配平均平动动能平均转动动能平均振动动能分子的平均总动能:

能量按自由度均分定律1，是平均值，不是指单个分子的2，由于气体分子运动是无规则的，在平衡态下，气体分子相互碰撞的结果是任何一种运动都不比另一种运动优越，因此平均来说气体分子的每一个自由度包括振动、转动都具有相同的动能所有分子内原子振动势能之和：所有分子的总动能之和1实际气体内能的定义：（分子数N）四气体的内能所有分子间相互作用的势能之和：三部分之和为内能理想气体内能E：（分子数N）理想气体分子间无相互作用~无分子相互作用势能微振动：假设为简谐振动所有分子的总动能之和：所有分子内原子振动势能之和：平均总能量注意这个处理问题的方式温度为T平衡态下，分子数为N的理想气体的内能为：对1mol理想气体：单原子分子刚性双原子分子刚性多原子分子温度T的单值函数理想气体内能：讨论：(1)理想气体的内能只取决于分子运动的自由度

i

和热力学温度T。(2)对于一定量的某种理想气体，内能的改变只与初、末态的温度有关,即：(3)物体的内能不同于机械能，机械能可以等于零，而它的内能永远不会等于零。但物体的内能和机械能之间可以互相转换。公式小结平衡态下，分子每个自由度上的平均动能平衡态下，分子的平均平动能平衡态下，1mol理想气体内能例7-8指出下列各量的物理意义例7-9

求在温度为30℃时氧气分子的平均平动能，平均总动能，平均总能量以及32.010-3kg的氧气的内能，（常温下，可以认为分子是刚性分子，不计振动）。解:氧分子是刚性双原子分子，平动自由度t=3，转动自由度r=2，平均平动能平均总动能平均总能量内能平均总能量例7-10

两个容器中分别贮有氦气和氧气（刚性），已知氦气的压强是氧气压强的1/2，氦气的容积是氧气的2倍。试问氦气的内能是氧气内能的多少倍？下标1，2分别表示氦和氧的有关各量下标1，2分别表示氦和氧的有关各量即氦气的内能是氧气内能的五分之三倍。71思考1：有两种理想气体，T相同，则它们的

一定相同。（A）内能；（B）分子的平均总动能；（C）分子的平均平动动能。思考2：一容器盛有双原子理想气体，测其压强为p，则该气体的单位体积内的内能E＝

。解：思考3：同温度下，1mol氢气和氦气的内能之比为

。解：思考4：如图，试比较1mol理想气体在四个状态下的内能关系

。解：思考5：如图，正确结论是

。

例7-11容器内有co2和o2两种混合气体，混合气体的热力学温度T=290K,总的内能E=9.64×105J,总质量M=5.4kg，求两种气体的质量。解

设co2的质量为M1，o2的质量为M2，则

M1+M2=M解得：M1=2.2kg,M2=3.2kg。

刚性分子总的内能：

例7-12如左下图示，容器两边是同种气体，左边的压强、温度、体积分别是p1、T1、V，右边的压强、温度、体积分别是p2、T2、V；抽去中间的隔板，让两边的气体混合(设混合过程中气体与外界无能量交换)，求平衡时的压强和温度。

解

因混合过程中气体与外界无能量交换，所以混合前后气体的内能不变：又p1V=v1RT1,p2V=v2RT2p(2V)=(v1+v2)RT解得P1T1

VP2T2

V......1分子处于容器内任一位置处的概率相同（均匀分布）分子数密度2分子沿各方向运动的概率相同任一时刻向各方向运动的分子数相同3分子速率在各个方向分量的各种平均值相同分子热运动的统计规律小结：4，在平衡态下，速率平方的平均值为常数方均根速率：在平衡态下，速率的平均值为常数么？分子无规则热运动的统计规律还有那些呢？分子热运动的统计规律小结：第四节麦克斯韦气体分子速率分布

理想气体,平衡态下各分子不停运动且频繁碰撞对大量分子整体而言，气体分子按速率分布具有确定规律。一，分子速率分布函数对大量分子整体而言，气体分子按速率分布具有确定规律。续；分子速率分布函数分子速率在

v

附近单位速率区间的分子数占总分子数的比率定义分子速率分布函数：一般将上式写成续；分子速率分布函数麦克斯韦

詹姆斯·克拉克·麦克斯韦 （JamesClerkMaxwell1831--1879) 19世纪伟大的英国物理学家、数学家。 主要从事电磁理论、分子物理学、统计物理学、光学、力学、弹性理论方面的研究。尤其是他建立的电磁场理论，将电学、磁学、光学统一起来，是19世纪物理学发展的最光辉的成果，完成了物理学的又一次大综合。他预言了电磁波的存在。这一理论自然科学的成果，奠定了现代的电力工业、电子工业和无线电工业的基础。 在热力学与统计物理学方面麦克斯韦也作出了重要贡献，他是气体动理论的创始人之一。分布函数：分子速率在

v

附近单位速率区间的概率续；分子速率分布函数讨论(1)曲线下的面积的物理意义分子速率在v-v+dv区间内的概率总面积为多少？归一化条件讨论(2)最概然速率1,气体分子速率可取的一切值，但速率很小和速率很大的分子所占比率小，具有中等速率分子所占比率大。若将分为相等的速率间隔，则在包含的间隔中的分子数最多。讨论：(2)最概然速率m一定,

讨论3,分布曲线随m,T

变化曲线峰值右移总面积不变因而会：曲线变平坦

T一定,曲线峰值左移，总面积不变曲线变尖锐讨论3,分布曲线随m,T

变化三.分子速率的三种统计平均值1）方均根速率该速度分子数占总数的比率2）算术平均速率3）最概然速率（最可几速率)该速度分子数占总数的比率三者的大小比较：例1

已知f(v)是速率分布函数，说明以下各式的物理意义（1）f(v)dv；（2）nf(v)dv，其中n是分子数密度；（3）（vp是最概然速率）答：（1）f(v)dv表示某分子的速率在间隔内的几率（2）nf(v)dv表示单位体积内，分子速率在间隔内的分子数。（3）表示速率小于或等于vp的分子占总分子数的几率。例2解一：解二：4.实验验证1934年葛正权实验O：银蒸汽源C：绕中心轴转动的圆筒内贴玻片C不同v分子到达p所用时间不等,沉淀于玻片上不同位置,用光学方法测玻片上银厚度分布可推知分子速率分布。实验结果验证了麦氏分子速率分布定律C实验验证*第五节玻耳兹曼分布一，玻耳兹曼分布定律没有考虑有外力场时的情形：考虑有外力场时：在外力场（特别是重力场）中的气体分子分布气体分子的玻耳兹曼分布气体分子的玻耳兹曼分布续：气体分子的玻耳兹曼分布二，重力场中粒子数密度按高度分布例1,不考虑温度变化的影响,在300K下求海拔8848米高度处的分子数密度及压强。空气分子的质量取势能表达式为：1分子处于容器内任一位置处的概率相同（均匀分布）分子数密度2分子沿各方向运动的概率相同任一时刻向各方向运动的分子数相同3分子速率在各个方向分量的各种平均值相同分子热运动的统计规律小结：4，在平衡态下，速率和速率平方的平均值为常数分子无规则热运动的统计规律小结：5，分子按速度和位置分布规律统计性规律还有那些呢？分子无规则热运动的统计规律小结：讨论气体分子碰撞的统计规律只能求统计平均值，寻求其统计规律。分子速率分布平均动能按自由度分布都是依赖分子间频繁碰撞实现的每个分子1