集合的概念与表示高一数学苏教版（2019）必修第一册

1.1集合的概念与表示在初中的数学学习中，我们曾做过下面的作业：5这里有“正数集合”“负数集合”“整数集合”“分数集合”，那么，5●什么是集合?●如何用数学语言表示集合?康托尔(G.Cantor，1845—1918)，德国数学家、集合论创始人，他在1874年发表了关于集合论的论文.5一、元素与集合集合定义记法一定范围内某些________、_______对象的全体组成一个集合.确定的不同的常用大写拉丁字母表示，如集合______、集合______等.AB5元素定义记法集合中的__________称为该集合的元素，简称元.每一个对象常用小写的拉丁字母a，b，c，···表示.5“中国的直辖市”组成一个集合，该集合的元素就是北京、天津上海和重庆这4个城市.

“young中的字母”组成一个集合，该集合的元素就是y，o，u，n，g这5个字母.“book中的字母”也组成一个集合，该集合的元素就是b，o，k这3个字母.

“1~10以内的所有质数”组成一个集合，该集合的元素就是2，3，5，7这4个数.5【思考】(1)集合中的“研究对象”所指的就是数学中的数、点、代数式吗?提示：集合中的“研究对象”所指的范围非常广泛，可以是数学中的数、点、代数式，也可以是现实生活中的各种各样的事物或人等.(2)根据集合的定义思考：集合中的元素具有哪些特性?提示：确定性、互异性和无序性.二、常见的数集及表示符号6数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号________Z__RNN*或N＋Q6特别地，全体自然数组成的集合，叫作自然数集，记作N；全体正整数组成的集合，叫作正整数集，记作N*或N＋；全体整数组成的集合，叫作整数集，记作Z；全体有理数组成的集合，叫作有理数集，记作Q；全体实数组成的集合，叫作实数集，记作R.【思考】N与N＋(或N*)有何区别?提示：N＋(或N*)是所有正整数组成的集合，而N是由0和所有的正整数组成的集合，所以N比N＋(或N*)多一个元素0.三、元素与集合的关系6关系文字叙述记法读法属于a是集合A的元素_____a属于A不属于a不是集合A的元素____或______a不属于Aa∈Aa∉A

【思考】元素与集合之间有第三种关系吗?提示：对于一个元素a与一个集合A而言，只有

“a∈A”与“a∉A”这两种结果.【基础小测】1.辨析记忆(对的打“✔”，错的打“✘”)(1)在一个集合中可以找到两个相同的元素.(

)(2)高中数学新教材苏教版第一册课本上的所有难题能组成集合.(

)✘✘集合中的元素是互不相同的.“难题”没有严格的标准，所以不能构成集合.(3)由方程x2－4＝0和x－2＝0的根组成的集合中有3个元素. (

)✘由于集合中的元素具有互异性，故由两方程的根组成的集合有2个元素.2.下列关系中，正确的个数为(

).A.1 B.2 C.3 D.4

D

3.已知集合A含有三个元素0，1，x－2，则实数x

不能

取的值是________.

【解析】根据集合中元素的互异性可知：x－2≠0且x－2≠1，所以实数x

不能取的值是2，3.2，3【跟踪训练】1.已知2a∈A，a2－a∈A，若A只含这两个元素，则下列说法中正确的是(

)A.a可取全体实数B.a可取除去0以外的所有实数C.a可取除去3以外的所有实数D.a可取除去0和3以外的所有实数D解析：因为2a∈A，a2－a∈A，所以2a≠a2－a.所以a(a－3)≠0.所以a≠0且a≠3.解析2.若以方程x2－5x＋6＝0和方程x2－x－2＝0的解为元素的集合为M，则M中元素的个数为

(

)A.1 B.2 C.3 D.4解析：方程x2－5x＋6＝0的解为2和3，方程x2－x－2＝0的解为－1和2，所以集合M是由－1，2，3这三个元素组成的集合.解析C3.英文短语“openthedoorto...”中的字母构成一个集合，该集合的元素个数是 (

)A.7 B.8 C.9 D.10解析：根据集合中元素的互异性可知，“openthedoorto...”中的不同字母共有“o，p，e，n，t，h，d，r”8个，故该集合的元素个数为8.解析B

(1)，(4)

解析5.设集合A中含有三个元素3，x，x2－2x.(1)求实数x应满足的条件.解：由集合中元素的互异性可知，x≠3，且

x≠x2－2x，x2－2x≠3.

解之得x≠－1且x≠0，且x≠3.(2)若－2∈A，求实数x.解：因为－2∈A，所以x＝－2或x2－2x＝－2.由于x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，

所以x＝－2.【补偿训练】已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，(1)若－3∈A，试求实数a的值.解：因为－3∈A，所以a－3＝－3或2a－1＝－3.

若a－3＝－3，则a＝0.此时集合A含有两个元素－3，－1，符合题意.若2a－1＝－3，则a＝－1.此时集合A含有两个元素－4，－3，符合题意.综上所述，满足题意的实数a的值为0或－1.(2)若a∈A，试求实数a的值.解：因为a∈A，所以a－3＝a或2a－1＝a.当a－3＝a时，有－3＝0，不成立.当2a－1＝a时，有a＝1，此时A中有两个元素－2，1，符合题意.

综上知a＝1.1.列举法(1)方法：将集合的元素_________出来，并置于花括

号_________内.

例如{北京，天津，上海，重庆}，{y，o，u，n，g}.(2)注意事项：①元素之间要用_______分隔；②列举时与元素的_______无关.四、集合的表示6一一列举“{}”逗号次序【思考】一一列举元素时，需要考虑元素的顺序吗?提示：用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序.例如：{a，b}与{b，a}表示同一个集合.2.描述法(1)形式：{x∣p(x)}，其中x为集合的代表元素，p(x)

指元素x具有的性质.(2)本质：它是集合符号语言的具体体现，可将集

合中元素的规律与性质清楚地表示出来.如：{x∣x为中国的直辖市，{x∣x

为young中的字母}，{x∣x＜－3，x∈R}.6【思考】{(x，y)∣y＝x2＋2}能否写为{x∣y＝x2＋2}或{y∣y＝x2＋2}呢?提示：不能，(x，y)表示集合的元素是有序实数对或点，而x或y则表示集合的元素是数，所以用描述法表示集合时一定要弄清集合的元素是什么.3.Venn图法(1)形式：画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合.(2)作用：直观地表示集合.6北京，上海，天津，重庆(1)y，o，u，n，g(2)例如文恩(J.Venn，1834-1923)，英国数学家。例如，由方程x2－1＝0所有的实数解组成的集合，可以表示为下列形式.(1)列举法：{－1，1}(也可以是{1，－1})；一个集合可以用不同的方法表示.(2)描述法：{x∣x2－1＝0，x∈R}(也可以是{x∣x为方程x2－1＝0的实数解}).64.集合相等(1)定义：如果两个集合所含的元素完全相同，那么

称这两个集合相等.(2)本质：A与B相等，即A中的元素都是B的元素，

B中的元素也都是A的元素.7例如，{北京，天津，上海，重庆}

＝{上海，北京，天津，重庆}.例1用列举法表示下列集合：7(1)大于1且小于13的所有偶数组成的集合；解：设大于1且小于13的所有偶数组成的集合为A，

那么A＝{2，4，6，8，10，12}.(2)由1～15以内的所有质数组成的集合.7解：设由1～15以内的所有质数组成的集合为B，

那么B＝{2，3，5，7，11，13}.例2用描述法表示下列集合：7(1)大于1的所有偶数组成的集合；解：设大于1的偶数为x，并且满足条件x＞1，x＝2k，k∈N，因此，这个集合表示为A＝{x∣x＞1，x＝2k，k∈N}.(2)不等式2x－3＞5的解集.解：由2x－3＞5可得x＞4，故不等式2x－3＞5的解集

为{x∣x＞4，x∈R}.7例1中的集合的元素都有有限个，例2中的集合的元素都有无限个.五、集合的分类(1)含有__________元素的集合称为有限集；(2)含有__________元素的集合称为无限集；(3)_______________的集合称为空集，记作⌀.7有限个无限个不含任何元素【基础小测】1.辨析记忆(对的打“✔”，错的打“✘”).(1)由1，1，2，3组成的集合可用列举法表示为{1，1，2，3}.(

)(2)集合{(1，2)}中的元素是1和2. (

)由1，1，2，3组成的集合可用列举法表示为{1，2，3}.集合{(1，2)}中的元素是(1，2).✘✘(3)集合{x∣x2＝1}与集合{－1，1}相等. (

)(4)集合{x∣x＞3}与集合{t∣t

＞3}相等.(

)由x2＝1求得x＝－1或x＝1，所以{x∣x2＝1}与{－1，1}相等.✔✔虽然两个集合的代表元素的符号(字母)不同，但实质上它们均表示大于3的实数，两个集合相等.2.给出下列集合，(1){0}，(2){x∣x

＞7，且x＜1}，(3){x∣x＞4}，

(4){x∣x2－2＝0，x∈Z}.其中空集的个数为(

)

A.1 B.2 C.3 D.4B3.由大于－1小于5的自然数组成的集合用列举法表示为_________________________，用描述法表示为

_______________________________.

{0，1，2，3，4}

{x∣－1＜x

＜5，x∈N}【题组训练】1.已知集合A＝{x∣－1≤x＜4，x∈Z}，则集合A中元素的个数为 (

)

A.3 B.4 C.5 D.6C解析：因为－1≤x＜4，x∈Z，所以x＝－1，0，1，2，3，所以集合A＝{－1，0，1，2，3}共有5个元素.解析2.集合{(x，y)∣y＝2x－1}表示 (

)A.方程y＝2x－1

B.点(x，y)C.平面直角坐标系中的点组成的集合D.函数y＝2x－1图象上的点组成的集合D解析：集合{(x，y)∣y＝2x－1}的代表元素是(x，y)，满足的关系式为y＝2x－1，因此集合表示的是函数y＝2x－1图象上的点组成的集合.解析

0

解析

{x∈R∣x≠1}

解析5.设x，y

为实数，已知A＝{x，y}，B＝{0，x2}，且

A＝B，求x，y

的值.解：因为集合A，B相等，则x＝0或y＝0.(1)当x＝0时，x2＝0，不满足集合中元素的互

异性，故舍去.(2)当y＝0时，x＝x2，解得x＝0或x

＝1.由(1)知x＝0应舍去.综上知：x＝1，y＝0.7练习1.用“∈”或“∉”填空：

∈∈∈∈∈∈∉∉72.用列举法表示下列集合：(1){x∣x

＋1＝0}；解：x＋1＝0x

＝－1.∴{x∣x＋1＝0}＝{－1}

综上所述，结论是：{－1}；(2){x∣x为15的正约数}；7解：15＝1×15＝3×5.∴{x∣x为15的正约数}＝{1，3，5，15}综上所述，结论是：{1，3，5，15};(3){x∣x为不大于10的正偶数}.7解：不大于10的正偶数是：2，4，6，8，10∴{x∣x为不大于10的正偶数}

＝{2，4，6，8，10}综上所述，结论是：{2，4，6，8，10}.83.用描述法表示下列集合：(1)数的集合；(2)正数的集合；解：奇数的集合＝{n＝2k－1∣k∈Z}；