甘肃省徽县第一中学2021-2022学年高二上学期期末数学（理）试题

徽县一中2021—2022学年第一学期期末考试高二数学（理科）注意事项：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.3.本试卷命题范围：必修⑤，选修2-1.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.不等式的解集为（）A. B.C. D.2.下列命题中的假命题是（）A.存在， B.存在，C.任意， D.任意，3.若，，且，则的最大值是（）A. B. C. D.4.已知，（，，为两两互相垂直的单位向量），若，则（）A. B.1 C. D.25.两个正数，的等差中项是，等比中项是，且，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.6.在中，，，分别是角，，的对边，的面积为，，，则的值为（）A.4 B.3 C.2 D.17.已知抛物线（）与倾斜角为45°的一直线相切于点，则该抛物线的焦点坐标为（）A. B. C. D.8.已知双曲线（，）左支上一点到左焦点的距离为4，到右焦点的距离为8，且双曲线一条渐近线的倾斜角为60°，则该双曲线的方程为（）A. B. C. D.9.已知条件：，条件：，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件10.不等式对任意实数恒成立，则实数的最大值与最小值之和为（）A.3 B. C.2 D.11.已知正方体中，是的中点，则直线与平面所成角的余弦值是（）A. B. C. D.12.已知函数则方程有四个实根的充要条件为（）A. B. C. D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.关于的不等式，若此不等式的解集为，则的取值范围是______.14.已知在空间四边形中，，，，点在上，且，为的中点，则可用，，表示为______.15.已知数列（）为等差数列，且，，则数列的通项公式为______.16.已知，是椭圆的两个焦点，是椭圆上在第一象限内的点，若的面积为，则______.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17.（10分）已知关于的不等式的解集为.（1）求，的值；（2）求不等式组所表示的平面区域的面积.18.（12分）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，且最长边的边长为1.（1）求角的大小；（2）求最短边的长.19.（12分）已知双曲线的中心在原点，焦点，在坐标轴上，离心率为，且过点.（1）求双曲线的方程；（2）已知抛物线：（）的焦点到的渐近线的距离为，上一点到其焦点的距离等于3，求点的横坐标.20.（12分）如图，四边形是边长为3的正方形，平面，，，与平面所成的角为60°.（1）求二面角的余弦值；（2）设点是线段上一个动点，试确定的位置，使得平面，并证明你的结论.21.（12分）已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为，上项点为，设点.（1）若是椭圆上的动点，求线段中点的轨迹方程；（2）过原点的直线交椭圆于点、，若的面积为，求直线的斜率.22.（12分）已知函数的图象经过坐标原点，且，数列的前项和（）.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前项和；（3）令，若（为非零整数，），试确定的值，使得对任意，都有成立.徽县一中2021—2022学年度第一学期期末考试・高二数学（理科）参考答案、提示及评分细则1.B且，故，所以解集为.2.C对于A，当时，，正确；对于B，当时，，正确；对于C，当时，，错误；对于D，任意，，正确.3.B，则.4.C，.5.C解得所以，故.6.C，则，，，可得.由余弦定理得，.7.B直线方程代入抛物线方程，由得，抛物线方程为，焦点坐标为.8.D由条件可锝，故，再由渐近线的倾斜角为60°可知一条渐近线的斜率为，故，双曲线的方程为9.A：，：或.10.A在时取得最小值4，故只需，解之得，即的最小值为，最大值为4，最大值与最小值之和为3.11.A如图，以为原点建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则，，，，，，，设平面的法向量为，则∵，，∴可取.设直线与平面所成角的，则，于是直线与平面所成角的余弦值为.12.D当时，，当时，图象如右图所示，要使方程有四个实根，需满足.13.由不等式的解集形式知对应函数图象开口向下，得.14..15.设等差数列的公差为，由，，得，解得，所以，即.16.由题知，，则，则，则，，，.17.解：（1）由题意得即有.（2）由约束条件画出可行域，如图所示，则不等式组所表示的平面区域的面积.18.解：（1）.∵，∴.（2）∵，∴，均为锐角，则，又为钝角，∴最短边为，最长边为由，解得.由，得.19.解：（1）∵，∴可设双曲线方程为.∵该双曲线过点，∴，即.∴双曲线方程为.（2）抛物线的焦点坐标为，双曲线的渐近线方程为，由题意得：，可得，∴抛物线的方程为.设点的横坐标为，则，解得.20.解：（1）分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示.∵与平面所成的角为60°，∴.∵正方形的边长为3，所以，，.则，，，，，∴，.设平面的法向量为，则即令，则.∵平面，∴为平面的一个法向量，∴.∴二面角的余弦值为.（2）点是线段上一个动点，设.则，∵平面，∴，解得.此时，点的坐标为，，符合题意.21.解：（1）由已知得椭圆的短半轴，焦半距，则长半轴.又椭圆的焦点轴上，∴椭圆的标准方程为.设线段的中点为，点的坐标是，由得由点在椭圆上，得，∴线段中点的轨迹方程是.（2）当直线垂直于轴时，，因此的面积.当直线不垂直于轴时，设该直线方程为，代入，解得，，则.又点到直线的距离，∴的面积，即，解得.22.解:（1）∵的图象过原点，∴.∴.当时，，又∵适合，∴数