一维原子链晶体振动的研究

一维原子链晶体振动的研究

1.1原子链晶体振动是固体物理的重要基础内容。近年来，随着超级网格、有机导电等输运现象的研究，三维体系越来越受到重视，并得到了越来越深入和广泛的研究。同时，固体物理的一些基本内容也得到了丰富。固体物理是一门领先的学科课程之一，其自身的广度和深度逐渐增大，相关领域也在不断发展。因此，许多初学者认为内容丰富、内容广泛、学习难度大，这是害怕的。在课堂上，我们发现，一个典型的例子是，可以从一个典型的例子中进行讨论，然后推广到三维网格，这是直观的、有效的。让我们从不同的角度来讨论它。1[a3[b333一维晶格是晶体结构中最简单的形式,但对一维晶格的描述却包含晶体结构的全部性质.一维晶格原胞基矢→a=→a1a⃗=a⃗1,其倒格子基矢可由以下公式求出→b1=2π→a2×→a3→a1⋅[→a2×→a3]；→b2=2π→a3×→a1→a1⋅[→a2×→a3]；→b3=2π→a1×→a2→a1⋅[→a2×→a3].b⃗1=2πa⃗2×a⃗3a⃗1⋅[a⃗2×a⃗3]；b⃗2=2πa⃗3×a⃗1a⃗1⋅[a⃗2×a⃗3]；b⃗3=2πa⃗1×a⃗2a⃗1⋅[a⃗2×a⃗3].对于一维晶格,只有一个基矢→a=→a1a⃗=a⃗1,在计算倒格矢时可以假想有→aa⃗2、→aa⃗3两单位矢量与→aa⃗1相互垂直,从而求出其倒格矢→b=→b1=2πa(→aa)b⃗=b⃗1=2πa(a⃗a),对于三维晶格计算方法相同.一维晶格和三维晶格一样,也存在简单格子和复式格子.简单格子中每个原子的位置可表示为l1→aa⃗1,复式格子中每个原子的位置可表示为→rα+l1→a1(→rαr⃗α+l1a⃗1(r⃗α表示原胞内各种等价原子之间的相对位移,α=1,2,3,…),推广到三维晶格,可以将三维简单格子中各原子的位置表示为l1→a1+l2→a2+l3→a3l1a⃗1+l2a⃗2+l3a⃗3,复式格子中每个原子的位置可表示为,→rα+l1→a1+l2→a2+l3→a3.r⃗α+l1a⃗1+l2a⃗2+l3a⃗3.一维晶格具有最简单的晶体结构,具有最低的配位数(配位数2,链状结构),依此类推配位数为3的为层状结构晶体,配位数4、6、8、12的为三维晶格.2关于晶体振动2.1边界条件假设一维原子链是学习格波的典型例子,它的振动既简单又可解,又能较全面地表现格波的基本特点.在教学中我们常常通过求解一维双原子链的动力学方程,得到其色散关系ω2±=βm+ΜmΜ{1±[1-4mΜ(m+Μ)2sin2aq]1/2}.ω2±=βm+MmM{1±[1−4mM(m+M)2sin2aq]1/2}.采用周期性边界条件N(2aq)=2πh(h=整数),q的取值范围(-π2a∼+π2a),(−π2a∼+π2a),h只能取(-Ν2∼+Ν2)(−N2∼+N2),一共有N个不同的取值.所以,由N个原胞组成的一维双原子链,q可以取N个不同的值,每个q对应两个解(两支格波),共有2N个不同的格波,正好等于链的自由度,也即链的全部振动模.推广到三维的情况,可得出结论:对一定的波矢q,有3n个格波(n为原胞内原子数,其中3个声学波,3n-3个光学波),格波总数=3nN=原胞内自由度数×原胞数=晶体自由度总数.边界条件允许的q在q空间均匀分布的密度=V(2π)3=V(2π)3,而在一维和二维情况下的分布密度分别为L2πL2π和S(2π)2.S(2π)2.2.2布里渊区的振动原子间距为a的一维单原子链,晶格振动的行波解为un=Aexp[i(ωt-naq)],布里渊区为(-πa,πa)(−πa,πa).由固体物理学的基础知识,un(q)=un(q+2πa)un(q)=un(q+2πa)即波矢为q的振动模与相差一个倒格矢的波矢q+2πaq+2πa状态,描写晶格的同一个振动状态.与一维单原子链类似,原子间距为a的一维双原子链的行波解为u2n=Aqexp[i(ωt-2naq)],(a)u2n+1=Bqexp{i[ωt-(2n+1)aq]},(b)布里渊区为(-2πa,2πa)(−2πa,2πa),在同一支格波中,波矢为q的振动模与相差一个倒格矢的波矢q+2π2aq+2π2a状态,描写晶格的同一个振动状态,有u2n(q)=u2n(q+2π2a),(a′)u2n+1(q)=u2n+1(q+2π2a).(b′)u2n(q)=u2n(q+2π2a),(a′)u2n+1(q)=u2n+1(q+2π2a).(b′)由于复式晶格的振动状态,是包括所有原子振动的状态,是所有原子在波矢q状态与q+2π2aq+2π2a状态都对应相同的状态,在此前提下,可知与波矢q有关的格波振幅满足Aq+2π2a=Aq‚Bq+2π2a=Bqexp(iπ).Aq+2π2a=Aq‚Bq+2π2a=Bqexp(iπ).推广到三原子链(间距为a)的情况,晶格振动的行波解为u3n=Aqexp[i(ωt-3naq)],u3n+1=Bqexp{i[ωt-(3n+1)aq]},u3n+2=Cqexp{i[ωt-(3n+2)aq]},布里渊区为(-π3a,π3a)(−π3a,π3a),在同一支格波中,波矢为q的振动模与相差一个倒格矢的q+2π3aq+2π3a状态,描写晶格的同一振动状态,有u3n(q)=u3n(q+2π3a),u3n+1(q)=u3n+1(q+2π3a),u3n+2(q)=u3n+2(q+2π3a),u3n(q)=u3n(q+2π3a),u3n+1(q)=u3n+1(q+2π3a),u3n+2(q)=u3n+2(q+2π3a),其中与波矢q有关的行波解振幅满足Aq+2π3a=AqAq+2π3a=Aq;Bq+2π3a=Bqei2π3Bq+2π3a=Bqei2π3;Cq+2π3a=Cqei4π3.Cq+2π3a=Cqei4π3.3原子间相互作用引起的非简谐效应若晶格的振动是非简谐的,则晶体存在热膨胀效应,决定物体热膨胀特性的物理量——格森乃律常数γ.教材中以一维双原子链为例,证明γ=-dlnωdlnV=-a⋯V(a)¨V(a)γ=−dlnωdlnV=−aV⋯(a)V¨(a),可以验证,当⋯V(a)=0V⋯(a)=0时γ=0将不会有热膨胀.在简谐近似下各格波是相互独立的,格波一旦被激发将不会衰减,它将携带热运动能量以格波波速传播,各格波之间无法达到热平衡,晶格也不会发生热膨胀.事实上,由于原子间相互作用势能的非简谐项(三次以上项)的作用,使得格波间不独立,声子间有相互作用,导致晶格间有热膨胀发生及热振动能量以远低于格波波速的速度在晶格中传播,这即是由势能的非简谐项引起的非简谐效应。在非简谐项的作用下,一维双原子链的色散关系为ω2±=12mΜ{m(2β-aQ2)+Μ(2β-aΡ2)±[Μ(2β-aΡ2)-m(2β-aQ2)]√1+4mΜ|2βcos(aq)|2[Μ(2β-aΡ2)-m(2β-aQ2)]2.图中实线是a<0时的色散关系示意图。当a=0时该式退化为线性链的色散关系,如图中虚线所示.4布里渊区界面变化的能量能带理论是研究固体中电子运动的主要理论基础,是分析半导体理论问题的主要手段,是固体物理学中的主要内容之一.在研究能带理论时,借助于一维晶格,可以使能带理论的理解既简单又形象.如对于一维晶格,简约布里渊区为-πa∼+πa,任意波矢k=˜k+2πa(m为整数,ˉk为简约波矢),一维晶格的能带图从图中很容易理解第一、第二……能带和禁带的概念,显然,推广到二维、三维情况,由于E(k)在布里渊区的界面处发生突变,ˉk在沿不同方向趋于布里渊区界面时,不同的能带在能量上不一定都能分隔开来,电子能量的取值不同,因此,能带就有可能重叠.如图通过这样的比较,学生对能带理论有了较深刻的理解,进而可以利用能带模