授课《数学思想高考解题的应用漫谈》

数学思想全国卷解题应用探析知识是载体，方法是手段，思想是灵魂。——它们是知识体系的三个层次。在强调对数学活动的指导时称数学思想。在强调具体操作（如推理、解题和建模等）时则称数学方法。——严格来说，数学方法是数学思想的具体化。我们知道，人的行为源自于思想认识——思想的混乱必然会导致行为的混乱！——数学的学习也是如此！为什么有许多人解决不了一些并不复杂甚至是简单的数学问题呢？——除了极少数的人不知道相应的数学知识外，绝大部分不是不会方法。——而是由于没有站在思想的高度来思考和引领方法。——或者是因为思想不明确而想不起来用什么方法来处理问题。因此，只有在思想上立意，引领学生运用思想引领解题，学生才能在具体问题的探究中培养起解题的策略思想智慧。以下就“特殊与一般思想”、“函数与方程思想”在数学全国卷试题中的应用举例探析，请老师和同学们批评指正。第一讲：“特殊与一般思想”

在全国卷试题中的应用探析人们对一类新事物的认识往往是从这类事物中的个体开始的。通过对个体的认识与研究，逐渐积累对这类事物的了解，形成对这类事物总体的认识。发现特点，掌握规律，形成共识.由浅入深，由现象到本质，由局部到整体。这种认识事物的过程是由特殊到一般的认识过程。但这不是目的，还需要用理论指导实践，用所得到的特点和规律解决这类事物中的新问题。这种认识事物的过程是由一般到特殊的认识过程。于是这种由特殊到一般再由一般到特殊反复认识的过程，就是人们认识世界的基本过程之一。数学研究也不例外，这种由特殊到一般，由一般到特殊地研究数学问题的思想，就是数学研究中的特殊与一般思想。——以下就全国卷试题举例说明。本题是一道考查基础知识的好题，入口宽，方法多样，较好地考查了学生对三角函数公式的理解与应用。以上解法虽然不是很难想到，但在分秒如金的考场上，如此去应对一道选择题却是不太值得。其实，本题是个具有一般性特征的问题，因此若立意于特殊与一般思想，运用特殊化策略求解简单快捷。同上题一样，本题若运用常规方法求解费时费力，但若立意于特殊与一般思想，运用特殊化策略予以求解轻松快捷。本题是填空把关题，依常规方法求解难度较大，若运用特殊与一般思想求解，简单快捷。注意到已知只给出递推关系，没给出首项具体的值。而试题为填空题，其结果必为定值。什么意思？就是说，无论首项取什么值，最后结果都为定值，不会因为首项的变化而变化。其实，若能立意于“特殊与一般思想”，借助“特殊化策略”不难使问题轻松得以解决。其实，若能立意于“特殊与一般思想”，借助“特殊化策略”可大大简化讨论过程。从以上的例子可以看出，在数学全国卷中，经常会设置一些具有“一般性”特征的试题，以此考查学生对“特殊与一般思想”的理解与应用。此时应立意于“特殊与一般思想”，运用“特殊化策略”予以求解，能使问题获得轻松解决。在数学高考复习中，应对“特殊与一般思想”的应用予以足够的重视。第二讲：“函数与方程思想”

在全国卷试题中的应用探析函数的思想，是用运动和变化的观点、集合与对应的思想，去分析和研究现实问题或数学问题中的数量关系，建立函数关系。然后利用函数的相应性质（定义域、值域、最值、奇偶性、单调性、周期性等）去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。方程的思想，是分析数学问题中变量间的等量关系，从而建立方程或方程组。然后通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。——它是解决各类计算问题的基本思想。在数学全国卷中，经常会设置一些求值与最值问题，以此考查学生对“函数与方程思想”的理解与应用。——以下就全国卷试题举例说明。从以上的例子可以看出，在数学全国卷中，经常会以三角函数为载体，设置考查学生对“函数与方程思想”理解与应用的试题。此时应立意于“函数与方程思想”，运用“构造策略”构造函数或方程予以求解，能使问题获得轻松解决。在高考复习教学中，应对“函数与方程思想”的应用予以足够的重视。

我们现在面对的是全国统一考试。根据对全国卷试题特点的分析，我们认为数学全国卷试题更