专题12 相似三角形的证明与计算50道大题专训（原卷版）

专题12相似三角形的证明与计算50道大题专训【精选2023年江苏地区最新考试题型专训】【题型目录】1．（2023秋·江苏无锡·九年级无锡市东林中学校考阶段练习）如图，在矩形中，点是上的一个动点，连接，作点关于的对称点，且点落在矩形的内部，连结，，，过点作交于点，设

(1)当点落在上时，用含的代数式表示的值；(2)若，且以点，，为顶点的三角形是直角三角形，求的值．2．（2022秋·江苏徐州·九年级校联考阶段练习）如图，中，以为直径作，交于点D，E为弧上一点，连接，交于点F．

(1)若，求证：为的切线；(2)若，求证：平分．3．（2023·江苏淮安·校考二模）如图，点是的边上一点，以点为圆心，为半径作，与相切于点，交于点，连接、并延长交的延长线于点，为弧中点．

(1)连接，求证：是的切线；(2)若，，求的长．4．（2023春·江苏泰州·九年级校考阶段练习）如图，已知AB是⊙O的直径，P是AB延长线上一点，．作射线PQ交⊙O于C，D两点．连接，，．现有2个选项，①，②．

(1)请从2个选项中选择一个作为条件，余下一个作为结论，得到一个真命题，并证明．你选择的一个条件是______，结论是______（只要填写序号）；(2)在（1）的条件下，如果，求CD的长．5．（2023春·江苏无锡·八年级统考期末）已知：如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴正半轴交于点B，与y轴正半轴交于点C，过A作AP⊥x轴于点P，且．

(1)求一次函数的解析式；(2)是x轴上一动点，当的面积是时，求a的值；(3)设点N是x轴上的一个动点，如果，求出点N的坐标．6．（2023·江苏常州·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，与y轴正半轴交于B点，与反比例函数交于点C，且，轴交反比例函数于点D．

(1)则__________，_________；(2)若点E为射线BC上一点，设E的横坐标为m，过点E作，交反比例函数于点F．若，求m的值．7．（2023春·江苏淮安·九年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知矩形中，边，边，且分别在x轴、y轴的正半轴上，点A与坐标原点重合．将矩形折叠，使点A落在边上，设点是点A落在边上的对应点．

(1)当矩形沿直线折叠时（如图1），则点的坐标为（，），b的值为；(2)当矩形沿直线折叠时，①点的坐标为（用k表示）；②求出b和k之间的关系式；③如果折痕所在的直线与矩形的位置如图2，求这种情形时k的取值范围；④如果折痕所在的直线与矩形的位置如图3时，k的取值范围是；如图4时，k的取值范围是．（直接填写结果，不写过程）8．（2023秋·江苏淮安·九年级统考期末）已知抛物线的图像经过点，点，且与轴交于点．

(1)求出点的坐标；(2)若点为轴上方的抛物线上任意一点．①如图1，若点为线段上一点，连接，交轴于点，连接，当时，求点的坐标；②如图2，连接、，若满足，求此时点的坐标．9．（2023春·江苏扬州·九年级高邮市城北中学校联考阶段练习）将两块全等的直角三角形纸片和叠放在一起，其中，，点D与边的中点重合，将绕着点D旋转．

(1)如图1，如果的边经过点C，另一边与边AC交于点G，求的长；(2)如图2，如果的边、分别交边于点M、N，设，求y关于x的函数解析式．10．（2023春·江苏盐城·九年级校联考阶段练习）如图，在中，点C是直径延长线上一点，点D是直径上方圆上的一点，连接，使得．

(1)求证：是的切线；(2)若平分，且分别交，于点E，F，当时，求的长；(3)若，，求的长．11．（2023春·江苏苏州·八年级苏州工业园区星湾学校校考阶段练习）如图，矩形中，E为上一点，把沿翻折，点D恰好落在边上的点F处．

(1)求证：；(2)若，，求的长．12．（2023秋·江苏南通·九年级统考期末）如图，在中，，，M为上一点，，D为边上一点（不与A，B重合），作，使交的边于点N．

(1)如图1，点N在上时，①求证：；②若，求的长；(2)若，请直接写出的长．13．（2022秋·江苏扬州·九年级校联考阶段练习）如图，A、B两点的坐标分别是，点P由点B出发沿方向向点A做匀速直线运动，速度为每秒3个单位长度，点Q由A出发沿（O为坐标原点）方向向点O做匀速直线运动，速度为每秒2个单位长度，连接，若设运动时间为秒．解答如下问题：

(1)当t为何值时，？(2)设的面积为S．①求当时，求t的值；②若我们规定：点P、Q的坐标分别为，则新坐标称为“向量”的坐标．当时，求“向量”的坐标．14．（2023·江苏盐城·景山中学校考三模）如图，在正方形中，点M是边上的任一点，连接并将线段绕点M顺时针旋转得到线段，在边上取点P使，连接．(1)求证：；(2)线段与交于点Q，连接，若，证明：15．（2023春·江苏泰州·九年级统考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴和轴的交点点和点，直线，点为双曲线与直线在第一象限内的交点．

(1)①利用直尺和圆规求作点，使（保留作图痕迹，不写作法）：②求的值；(2)双曲线与直线交于点和点，求的面积．16．（2023·江苏无锡·模拟预测）（1）如图1，正方形ABCD，点E、F分别在边AB、BC上，连接AF与DE交于点O，有∠FOD＝90°，则；

（2）如图2，平行四边形ABCD，AB，BC，点E、F分别在边AB、BC上，连接AF与DE交于点O，当∠FOD＝∠B时，你能求出的比值吗？请写出求比值的过程；

（3）如图3，四边形ABCD，AB＝113，∠B＝∠ADC＝120°，BC＝45，，点E在边AB上，连接AC与DE交于点O，当∠COD＝∠B时，求的值．

17．（2023春·江苏·八年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点，点B是x轴的正半轴上的一个动点，连接，取的中点M，将线段绕着点B按顺时针方向旋转，得到线段．过点B作x轴的垂线交直线于点D．设点B坐标是．

(1)求点C的坐标（用含t的代数式表示）；(2)是否存在点B，使四边形为矩形？若存在，请求出点B的坐标；若不存在，请说明理由；(3)在点B的运动过程中，平面内是否存在一点N，使得以A、B、N、D为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的纵坐标（不必要写横坐标）；若不存在，请说明理由.18．（2023·江苏南京·统考二模）“黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用．如图①，点C把线段分成两部分，如果，那么称线段被点C黄金分割，点C为线段的黄金分割点．与的比称为黄金比，它们的比值为．请完成下面的问题：

(1)如图②，，点A在边上，．请在边上用无刻度的直尺和圆规作出点B，使得与的比为黄金比；（不写作法，保留作图痕迹）

(2)如图③，在中，，若，请你求出的度数．

19．（2023·江苏徐州·统考二模）将矩形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点，点P在边上（点P不与点O，C重合），沿着折叠该纸片，得点O的对应点．

(1)如图1，若，则________°；(2)如图2，若，求的面积；(3)连接，当是直角三角形时，直接写出此时点P的坐标．20．（2023·江苏·模拟预测）（1）【基础模型】：如图1，在中，为上一点，．求证：．（2）【尝试应用】：如图2，在平行四边形中，为上一点，为延长线上一点，，若，，求的长．（3）【更上层楼】：如图3，在菱形中，是上一点，是内一点，，，，，请直接写出菱形的边长．

21．（2023秋·江苏宿迁·九年级统考阶段练习）如图，在矩形中，，，点从点沿边向点以的速度移动；同时，点从点沿边向点以的速度移动，设运动的时间为秒．

(1)若，求的值；(2)若是直角三角形，求的值；(3)是否存在这样的时刻，使？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．22．（2023秋·江苏泰州·九年级校联考阶段练习）如图，矩形放置于平面直角坐标系中，点O与原点重合，点A在x轴正半轴上，点C在y轴正半轴上，点B的坐标为，点D从点O出发，沿x轴正半轴运动，连接，作点O关于直线的对称点E．

(1)若点C、E、A在一直线上，则的长为___________；(2)若点E到边的距离为1时，求的长；(3)若点E刚好落在边的垂直平分线上时，求的长．23．（2023秋·江苏无锡·九年级校考阶段练习）如图，在中，点D、E分别在边，上，与相交于点O，且，．

(1)求证：；(2)若，，求线段的长．24．（2023秋·江苏无锡·九年级无锡市东林中学校考阶段练习）【模型呈现：材料阅读】如图，点，，在同一直线上，点，在直线的同侧，和均为等边三角形，，交于点，对于上述问题，存在结论（不用证明）：（1）（2）可以看作是由绕点旋转而成；…

【模型改编：问题解决】点，在直线的同侧，，，，直线，交于，如图1：点在直线上，①求证：；

②求的度数．

如图2：将绕点顺时针旋转一定角度．③补全图形，则的度数为______；④若将“”改为“”，则的度数为______．（直接写结论）【模型拓广：问题延伸】如图3：在矩形和矩形中，，，，连接，，求的值．

图1

图2

图325．（2023·江苏盐城·校考二模）【问题情境】数学活动课上，王老师出示了一个问题：如图1，在中，，为延长线上一点，连接，过点作于点．在图中找出与一定相等的角，并证明．

(1)【独立思考】请解答王老师出示的问题．(2)【实践探究】在原有问题条件不变的情况下，王老师通过增加新条件，并提出了新问题：如图2，与交于点，若，，，求的长度．(3)【问题解决】在（2）的条件下，数学活动小组的同学提出了下面的问题：如图3，为上的一点，且，①证明；②该小组研究后发现，延长交于点．根据线段与的长度，可以求出图3中所有已经用字母标记的线段长度．请你求出的长．26．（2023·江苏盐城·校联考二模）【回归课本】我们曾学习过一个基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．

【初步体验】（1）如图1，在中，点D在上，E在上，．若，，则，；（2）已知，如图1，在中，点D、E分别在、上，且．求证：．证明：过点作的平行线交于点F………………请依据相似三角形的定义（如果两个三角形各角分别相等，且各边对应成比例，那么这两个三角形相似）和上面的基本事实，补充上面的证明过程；【深入探究】（3）如图2，如果一条直线与的三边、、或其延长线交于D、F、E点，那么是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由；（4）如图3，在中，D为的中点，．则．

27．（2023春·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图①，已知点在正方形的对角线上，，垂足为点，，垂足为点．（1）【证明与推断】①求证：四边形是正方形：②推断：的值为______；（2）【探究与证明】：将正方形绕点顺时针方向旋转度（），如图②所示，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由；（3）【拓展与运用】：正方形在旋转过程中，当，，三点在同一直线上时，如图③所示，延长交于点．①求证：②若，，求的长．

28．（2023秋·江苏宿迁·九年级统考阶段练习）在四边形中，分别是边上的点，与交于点G．

(1)如图1，若四边形是正方形，且，则之间的数量关系是_______；(2)如图2，若四边形是矩形，且，求证：；(3)如图3，若四边形是平行四边形，试探究：当与满足什么关系时，成立？并证明你的结论．29．（2023·江苏宿迁·校考三模）【观察与猜想】（1）如图1，在矩形中，点E、F分别在边、上，连接与交于点O，若，且，，则______；【类比探究】（2）如图2，在平行四边形中，点E、F分别在边、上，连接与交于点O，当与满足什么关系时，成立？请说明理由；【拓展延伸】（3）如图3，在四边形中，，，，，点E在边上，连接与交于点O，当时，求的值．

30．（2023·江苏泰州·校考二模）在综合与实践课上老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展了数学活动．（1）操作判断：在上选一点，沿折叠，使点落在正方形内部的点处，把纸片展平，过作交、、于点、、，连接并延长交于点，连接，如图①，当为中点时，求证是等边三角形．（2）迁移探究：如图②，若，且，求正方形的边长；如图③，若，直接写出的值为______．31．（2023·安徽滁州·校考二模）在正方形中，点E、F分别是边上的点，连接且．

(1)如图1，当点G在上时，求证：；(2)如图2，当点B与点E重合时，分别交于点M，N，求证：．32．（2023春·吉林长春·八年级长春市解放大路学校校考期末）【问题原型】华师版教材八年级下册第121页有这样一道题：如图①，在正方形中，．求证：．请你完成这一问题的证明过程．

【问题应用】如图，在正方形中，，E、F分别是边、上的点，且．（1）如图②，连接、交于点G，H为的中点，连接，．当E为的中点时，四边形的面积为______；（2）如阳③，连接、，当点E在边上运动时，的最小值为______．33．（2023春·山东烟台·八年级统考期末）如图，在中，，D是上一点，，连接．

(1)如图①，求证：；(2)如图②，若，，当点D移动到使时，求的长度；(3)如图③，作交的延长线于点F，探索与的数量关系，并证明你的结论．34．（2023·湖南株洲·株洲二中校考模拟预测）如图，在矩形中，，，是上的一个动点（不与，重合），过点的反比例函数的图象与边交于点．

(1)当为的中点时，求点到的距离的长．(2)当点为线段上任意一点时，试问是否为定值？请说明理由．35．（2023春·江西南昌·九年级南昌市第二十八中学校联考阶段练习）如图，在中，于点，

(1)求证：；(2)若，求的长．36．（2023·湖北武汉·武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考模拟预测）如图，菱形，，点E为平面内一点，连接．(1)如图1，点E在的延长线上，将绕点A顺时针旋转60°得，交延长线于点G，连接交延长线于点H，若，，求的长；(2)如图2，点E在的延长线上，将绕点A逆时针旋转60°得，连接，点M为的中点，连接，，证明：；(3)如图3，将沿翻折得（），连交于点S，点T为平面内一点，当取得最大值时，连接，，若，求的最大值．37．（2023春·山东泰安·八年级统考期末）小军在学习相似三角形时，遇到这样一个问题：

(1)如图1，在中，是边上一点，连接，若，求证：；(2)如图2，已知，，，求的度数．38．（2023春·江西鹰潭·九年级校考阶段练习）综合与探究问题提出：数学课上，老师提出了一个问题：在中，，于点D，E为上的一动点，与相交于点G，点F在上，于点E，试探究与的数量关系，并加以证明．

特例故知：（1）勤奋小组从特殊情况入手：如图1，，E为的中点，则与的数量关系为______．变式探究（2）希望小组受此启发，作了如下改变：如图2，将（1）中“”改为“”，其他条件不变，试探究与的数量关系，并加以证明．拓展提高（3）经过前两个小组的探究，智慧小组将该问题的条件更一般化：如图3，，，试探究与的数量关系，并加以证明．39．（2023春·江西吉安·九年级校联考期中）如图1，在菱形中，对角线与相交于点，且，．

(1)求菱形的面积及周长；(2)点是射线上一个动点，作射线，交射线于点．将射线绕点逆时针旋转后交射线于点，旋转角为，且，连接．①如图2，当点与点重合时，求的周长；②当时，请直接写出的长为______；40．（2023秋·安徽·九年级阶段练习）如图，在和中，，．

(1)求证：．(2)若点H、G分别是的中点，且，连接，求的值．(3)若在和中，，点H、G分别是的中点，且，连接，求的值．41．（2023春·江西九江·九年级校联考阶段练习）探究（一）：如图1，在中，，D是上一点（不与A，B重合），交于点E，连接．设的面积为S，的面积为．

（1）当时，______，______．（2）设，请你用含字母的代数式表示．探究（二）：如图2，在四边形中，，，，E是上一点（不与A，B重合），，交于点F，连接，设，四边形的面积为S，的面积为．请你利用问题1的解法或结论，用含字母n的代数式表示．42．（2023春·山东烟台·八年级统考期末）已知，矩形，点E是上一点，将矩形沿折叠，点A恰好落在上点F处．

(1)如图1，若，，求的长；(2)如图2，若点F恰好是的中点，点M是上一点，过点M作交于点N，连接，若平分，求证：．43．（2023秋·安徽·九年级阶段练习）阅读理解：如图1，在直角梯形中，，，点P在边上，当时，易证，从而得到，解答下列问题．

(1)模型探究：如图2，在四边形中，点P在边上，当时，结论仍成立吗？试说明理由；(2)拓展应用：如图3，M为的中点，与交于点C，且交于F，交于G．，，求的长．44．（2023春·安徽宿州·九年级校考期中）在矩形中，点是上的一动点，平分，交于点，交于点，连接．

(1)如图（1），若，求证：；(2)如图（2），当点是的中点，时．①求证：；②求的值．45．（2023春·江苏淮安·九年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知矩形中，边，边，且分别在x轴、y轴的正半轴上，点A与坐标原点重合．将矩形折叠，使点A落在边上，设点是点A落在边上的对应点．

(1)当矩形沿直线折叠时（如图1），则点的坐标为（，），b的值为；(2)当矩形沿直线折叠时，①点的坐标为（用k表示）；②求出b和k之间的关系式；③如果折痕所在的直线与矩形的位置如图2，求这种情形时k的取值范围；④如果折痕所在的直线与矩形的位置如图3时，k的取值范围是；如图4时，k的取值范围是．（直接填写结果，不写过程）46．（2023·广东