2023-2024学年北京市朝阳区高三上册期中数学学情调研模拟试题（附解析）

2023-2024学年北京市朝阳区高三上学期期中数学质量监测模拟试题一、选择题（每题4分，共40分）1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．2．下列命题中，正确的是（

）A．的虚部是2 B．C．的共轭复数是 D．在复平面内对应的点在第二象限3．已知点是角终边上一点，则（

）A． B． C． D．4．已知，表示两条不同的直线，表示平面，则下列说法正确的是（

）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则5．在中，点D在边AB上，．记，则（

）A． B． C． D．6．函数在区间上的最大值为（

）A． B． C．1 D．7．在数列中，已知，则“”是“是单调递增数列”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8．已知函数的部分图象如图所示，将该函数的图象向左平移（）个单位长度，得到函数的图象．若函数的图象关于原点对称，则的最小值（

）A． B． C． D．9．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖，在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1），把三片这样的达·芬奇方砖形成图2的组合，这个组合表达了图3所示的几何体.如图3中每个正方体的棱长为1，则点到平面的距离为（

）图1

图2

图3A． B． C．1 D．10．设函数，给出下列四个结论：①当时，函数有三个极值点；②当时，函数有三个极值点；③是函数的极小值点；④不是函数的极大值点.其中，所有正确结论的序号是（

）A．①② B．②③ C．①④ D．②④二、填空题（每题5分，共25分）11．首项为1的等比数列中，，，成等差数列，则公比.12．若函数为偶函数，则，的最小值为.13．已知正四棱锥，底面边长为2，体积为，则这个四棱锥的侧棱长为.14．已知数列满足，，，.则集合中元素的个数为.15．已知，是空间单位向量，，若空间向量满足，，且对于任意，，，则，.三、解答题（本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．在中，．(1)求的大小；(2)以下三组条件中恰有一组条件使得三角形存在且唯一确定，请选出该组条件并求的面积．条件①：，；条件②：，；条件③：，．注：条件选择错误，第（2）问得0分．17．如图，已知平面平面，四边形是矩形，，点，分别是，的中点.

(1)若点为线段中点，求证：平面；(2)求证：平面.18．已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求的单调区间；（3）若对于任意，都有，求实数的取值范围.19．如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱上一点.(1)求直线与平面所成角的正弦值；(2)求二面角的正弦值；(3)是否存在点，使平面？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由.20．已知函数.(1)求证：函数在区间上为单调递增函数；(2)若函数在上的最大值在区间内，求整数的值.21．已知数列：，，…，.如果数列：，，满足，，其中，则称为的“衍生数列”.(1)若数列：，，，的“衍生数列”是：5，，7，2，求；(2)若为偶数，且的“衍生数列”是，证明：的“衍生数列”是；(3)若为奇数，且的“衍生数列”是，的“衍生数列”是，…依次将数列，，，…第（）项取出，构成数列：，，….求证：是等差数列.1．B【分析】根据一元二次不等式的解法求解集合A，结合交集的定义和运算即可求解.【详解】由题意知，，，所以.故选：B.2．B【分析】根据复数的概念，共轭复数的定义，复数在直角坐标系的表示方法即可求解.【详解】解：A选项：的虚部是，故A错误；B选项：，故B正确；C选项：的共轭复数是，故C错误；D选项：在复平面内对应的点在第四象限，故D错误.故选：B3．D【分析】根据三角函数定义得到，再根据诱导公式计算得到答案.【详解】点是角终边上一点，故，.故选：D4．A根据线面垂直的判定与性质、线面平行的判定与性质依次判断各个选项可得结果.【详解】选项：由线面垂直的性质定理可知正确；选项：由线面垂直判定定理知，需垂直于内两条相交直线才能说明，错误；选项：若，则平行关系不成立，错误；选项：的位置关系可能是平行或异面，错误.故选：本题考查空间中线面平行与垂直相关命题的辨析，关键是能够熟练掌握空间中直线与平面位置关系的判定与性质定理.5．B【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．【详解】因为点D在边AB上，，所以，即，所以．故选：B．6．C【分析】确定，，得到最值.【详解】，，故，故函数的最大值为.故选：C7．C【分析】分别求出当、“是单调递增数列”时实数的取值范围，利用集合的包含关系判断可得出结论.【详解】已知，若，即，解得.若数列是单调递增数列，对任意的，，即，所以，对任意的恒成立，故，因此，“”是“是单调递增数列”的充要条件.故选：C.8．B【分析】结合函数图像求出函数的图像距离原点最近的点的坐标，即可确定的值【详解】解：如图设函数的部分图像与轴的交点为，由图可知，所以，所以点与点关于点对称，设，则，解得，因为将函数函数的图像向左平移（）个单位长度，得到函数的图像，且图像关于原点对称，所以平移后的函数为奇函数，即相当于把的图像与轴最近的交点平移到坐标原点即，由图可知此点为，所以，故选：B9．A【分析】由题意建立如图空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，再由点到平面的距离公式计算即可求解.【详解】建立如图空间直角坐标系，则，所以，设平面的一个法向量为，由，令，得，所以点A到平面的距离是.故选：A.10．D【分析】取特殊值，结合函数图象可判断①③；作出函数图象，数形结合可判断②；讨论a的取值范围，结合函数图象，可判断④.【详解】对于①，不妨取，此时，作出函数图像如图：

此时函数有2个极值点，故①错误；对于②，当时，，作出函数的大致图象如图：

在单调递减，在单调递增，在上单调递减，在单调递增，此时函数有3个极值点：，②正确；对于③，由①的分析可知，时，是函数的极大值点，③错误；对于④，由以上分析可知当时，，且为的对称轴，此时为函数的极小值点，当时，，此时在上单调递减，在上也单调递减，在上单调递增，不是函数的极大值点，

故不是函数的极大值点，④正确，故选：D方法点睛：题目中分段函数涉及的函数是比较常见的函数，故可作出函数大致图象，数形结合，再结合函数极值点的概念进行判断，即可解决问题.11．2【分析】根据等差中项可得，利用等比数列通项公式代入即可求.【详解】设等比数列的公比为，因为，，成等差数列，所以，所以，因为首项为1，所以，所以，故.故212．2【分析】根据偶函数定义即可求，据函数单调性求函数的最小值.【详解】因为函数为偶函数，所以，即，所以；故，当时，，所以，当且仅当，即时，等号成立；由偶函数图象的对称性，所以当时，，综上，所以，即的最小值为2.故；213．【分析】由棱锥的体积公式计算出高，然后由勾股定理求解即可.【详解】因为正四棱锥，底面边长为2，所以底面积为.设正四棱锥的高为，由，所以.所以侧棱长为.故14．24【分析】利用累加法得到，，即可得到，然后对分奇数和偶数两种情况讨论.【详解】由题意得，，所以，又，所以，，当为偶数时，令，解得，当为奇数时，令，因为函数的对称轴为，当时，，当时，，所以，综上可得集合中元素的个数为.故2415．3【分析】依题意可根据单位向量设出，使其满足条件，可得，再利用即可得，解得，即可求得.【详解】根据题意可令，由可设，设，则由可得，所以,同理可得,所以当，即时，有最小值，解得；所以可得，，即，.故；.方法点睛：在求解空间向量模长以及数量积问题时，将一般向量坐标化使计算和问题得到简化.16．(1)(2)选择条件②，三角形面积为【分析】（1）由余弦定理与已知条件结合可得，再由，所以得；（2）由，再结合，，可判断出条件②能使三角形存在且唯一确定，然后由正弦定理计算，，再代入三角形面积公式计算.【详解】（1）由余弦定理，又，可得，所以，又因为，所以（2）由（1）知，，根据条件②中，，所以也是唯一确定的，从而可得也是唯一确定的，再由，代入正弦定理计算可得边也是唯一确定的，故选择条件②.因为，，所以．由正弦定理，可得，所以所以三角形面积关于解三角形的问题，需要判断清楚选用合适的公式求解，一般涉及二次方以及三边一角的关系时都用余弦定理，涉及两边两角的关系一般用正弦定理.17．(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）连结交于，连结，，，证明四边形是平行四边形，则为的中点，进而有，再根据线面平行的判定定理即可得证；（2）根据面面垂直的性质可得面，则，再证明，即可得证.【详解】（1）连结交于，连结，，，因为四边形是矩形，所以，且，又，分别为的中点，所以，且，所以四边形是平行四边形，所以为的中点，又因为是的中点，所以，因为平面，平面，所以平面；

（2）在矩形中，，因为平面平面，平面平面，平面，所以面，因为平面，所以，因为，点是的中点，所以，又因为平面，所以平面.18．（1）（2）的单调递增区间是；的单调递减区间是（3）.（1）先求得导函数，由导数的几何意义求得切线的斜率，再求得切点坐标，即可由点斜式得切线方程；（2）求得导函数，并令求得极值点，结合导函数的符号即可判断函数单调区间；（3）将不等式变形，并分离参数后构造函数，求得并令求得极值点，结合极值点左右两侧的单调性和端点求得最值，即可确定的取值范围.【详解】（1）因为函数，所以，.又因为，则切点坐标为，所以曲线在点处的切线方程为.（2）函数定义域为，由（1）可知，.令解得.与在区间上的情况如下：－0＋↘极小值↗所以，的单调递增区间是；的单调递减区间是.（3）当时，“”等价于“”.令，，，.令解得，当时，，所以在区间单调递减.当时，，所以在区间单调递增.而，.所以在区间上的最大值为.所以当时，对于任意，都有.本题考查了导数的几何意义，切线方程的求法，由导函数求函数的单调区间，分离参数法并构造函数研究参数的取值范围，由导数求函数在闭区间上的最值，属于中档题.19．(1)(2)(3)存在，【分析】（1）首先以点为原点，建立空间直角坐标系，并求平面的法向量，利用向量法求线面角；（2）根据（1）的结果，再根据向量法求二面角的余弦值，最后转化为正弦值，即可求解；（3）根据（1）的结果，并设点的坐标为，若假设存在，则，即可求解.【详解】（1）以为原点，，，分别为，，轴，建立如图空间直角坐标系，则，，，，，，，，，设平面的一个法向量为，不妨设，则，，，所以平面的一个法向量为设直线与平面所成角为，则.（2）由正方体可得，，，且，且平面，所以平面的一个法向量为，则.因为二面角为锐二面角，所以二面角的正弦值为.（3）存在，设点的坐标为，所以平面的一个法向量为，因为，所以，因为平面，所以平面.此时20．(1)证明见解析(2)【分析】（1）求导，对导函数因式分解，进而得到导函数大于等于0，得到函数单调递增；（2）求导，结合隐零点得到在上单调递增，在上单调递减，求出的最大值，进而构造函数，得到，得到整数的值.【详解】（1），当时，，，，∴单调递增；（2），令，则，所以在上单调递增，因为，，所以存在，使得，即，即，故当时，，当时，，又当时，（等号仅在时成立），所以当时，，当时，（等号仅在时成立），所以在上单调递增，在上单调递减，则，令，，则，，所以在上单调递增，则，，所以，所以.隐零点的处理思路：第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，敏锐捕捉零点存在的区间，有时还需结合函数单调性明确零点的个数；第二步：虚设零点并确定取范围，抓住零点方程实施代换，如指数与对数互换，超越函数与简单函数的替换，利用同构思想等解决，需要注意的是，代换可能不止一次.21．(1)2，1，4，5(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）根据题意中的新定义，列出关于的方程，解之即可；（2）由题意得，进而，，将上