第十四章 整式的乘法与因式分解单元培优卷（解析版）

第十四章整式的乘法与因式分解单元培优卷一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共计30分）1．下列运算不正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据同底数幂的乘法：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即（，都是正整数）；幂的乘方：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即（，都是正整数）；积的乘方：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即（为正整数）；合并同类项：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母连同指数不变．逐项判断选择即可．【详解】解：A、，原选项正确，故不符合题意；B、，原选项正确，故不符合题意；C、，原选项错误，故符合题意；D、，原选项正确，故不符合题意．故选C．2．若的展开式中不含的一次项，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据多项式乘以多项式的运算法则把原式展开，再根据展开式中不含的一次项得出方程，解方程即可得到答案．【详解】解：根据题意得：，的展开式中不含的一次项，，解得：，故选：A．3．已知a、b、c是的三边长，且满足，那么据此判断的形状是（）A．等边三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．等腰直角三角形【答案】A【分析】利用完全平方公式，实数的非负性，等边三角形的判定计算选择即可．【详解】∵，∴，∴，∴，∴，故是等边三角形，故选A．4．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据因式分解的概念逐项判断即可．【详解】解：A．从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故不符合题意；B．右边是最简整式的乘积形式，故符合题意；C．从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故不符合题意；D．分解错误，故不符合题意．故选：B．5．若二次三项式可分解成，则的值是（

）A．﹣16 B．﹣8 C．8 D．16【答案】A【分析】利用十字相乘进行因式分解的方法求得m，n的值，然后将其代入中计算即可求得答案．【详解】解：二次三项式可分解成即，，解得：，，则，故选：A．6．多项式加上一个数或单项式后，使它成为一个多项式的完全平方，那么加上的数或单项式可以从①，②，③，④，⑤中选取，则选取的是（

）A．① B．③ C．②③⑤ D．①②③④⑤【答案】C【分析】根据题意进行分类讨论：当和1是两个平方项时；当是乘积二倍项，1为平方项时，即可解答．【详解】解：当和1是两个平方项时：∵，∴乘积二倍项为，或；当是乘积二倍项，1为平方项时：∵，∴另一个平方项为，综上：加上的数或单项式可以选取的是，，；即可以选取的是②③⑤，故选：C．7．已知满足，，则的值为（

）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】根据题意可得，，两式相加可得，根据完全平方式将其变形为，由非负数的性质即可得出，的值，以此即可求解．【详解】解：，，，，两式相加得：，即，，，，．故选：C．8．阅读材料：数学课上，杨老师在求代数式的最小值时，利用公式，对式子作这样变形：，因为，所以，当时，，因此的最小值是1．类似地，代数式的最小值为（

）A． B． C． D．4【答案】B【分析】参照样例利用公式变形即可得到答案．【详解】解：==∵，∴，即有最小值，为．故选：B．9．如图，阴影部分是边长为的大正方形中剪去一个边长为的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼，形成新的图形，给出下列3种割拼方法，其中能够验证平方差公式的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】分别在两个图形中表示出阴影部分的面积，继而可得出验证公式，即可得到答案．【详解】解：在图①中，左边的图形中阴影部分的面积为：，右边图形中的阴影部分的面积为：，故可得：，可验证平方差公式，符合题意；在图②中，左边图形中阴影部分的面积为：，右边图形中的阴影部分的面积为：，故可得：，可验证平方差公式，符合题意；在图③中，左边的图形中阴影部分的面积为：，右边图形中的阴影部分的面积为：，故可得：，可验证平方差公式，符合题意；故能够验证平方差公式的是：①②③，故选：D．10．已知两个多项式，，x为实数，将A、B进行加减乘除运算：①当时，则；②若，则或；③若多项式的取值与x无关，则，；④代数式化简后总共有6种不同表达式；⑤多项式的最小值为2023．上面说法正确的有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】B【分析】解：把字母的值代入运算，即可判断①正确；由题意得方程求解，可判断②正确；③得关于参数的方程组求解，，故③正确；④将整式代入化简，根据绝对值的性质公式分情况讨论，可知有四种情况，故④错误；⑤，由配方法知，故⑤错误．【详解】解：，故①正确；②由得，，整理，得：，解得：或，故②正确；③，∴，解得：，，故③正确；④∴；由；；；时，原式；时，原式；时，原式；时，原式；故有四种情况，故④错误；⑤．∵，∴，∴，故⑤错误；故选：B二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共计12分）11．若，，则的值是．【答案】9【分析】逆用同底数幂除法法则将待求式整理为，再代入计算即可．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∴.∴，故答案为：9．12．已知，则．【答案】【分析】首先由已知可得，可得，再由，即可求得．【详解】解：，，，，．故答案为：．13．已知，，，则多项式的值为．【答案】3【分析】根据题意可得，，，再利用提公因式法原式可变形为，再利用完全平方公式可变形为，然后代入，即可求解．【详解】解：∵，，，∴，，，∴故答案为：314．已知实数m、、满足：．①若，则．②若m、、为正整数，则符合条件的有序实数对有个【答案】【分析】①把代入求值即可；②由题意知：均为整数，，则再分三种情况讨论即可．【详解】解：①当时，，解得：；②当m、、为正整数时，均为整数，而或或，或或，当时，时，；时，，故为，共2个；当时，时，；时，，时，故为，共3个；当时，时，；时，，故为，共2个；综上所述：共有个．故答案为：．三、解答题（本大题共8小题，共计58分）15．（本题满分6分）计算：(1)；(2)．【答案】(1)；(2)【分析】（1）利用积的乘方和幂的乘方，同底幂的乘法法则，同底数幂的除法法则来进行计算求解；（2）利用多项式乘以多项式的运算法则来求解．【详解】（1）；（2）16．（本题满分6分）分解因式：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）先提公因式，再利用平方差公式分解；（2）先添括号，再利用完全平方公式分解．【详解】（1）解：；（2）17．（本题满分6分）已知正实数x、y，满足，．(1)求的值；(2)若时，是完全平方式，求n的值．【答案】(1)26；(2)．【分析】（1）根据完全平方公式展开，再代入求值即可；（2）先求出m的值，再根据完全平方公式判断答案.【详解】（1）∵，∴，∴；（2）∵，∴.∵是完全平方式，∴，∴．18．（本题满分6分）阅读下列分解因式的过程：．这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题：(1)分解因式：；(2)三边满足，判断的形状【答案】(1)(2)是等腰三角形，理由见解析【分析】（1）运用完全平方公式分解，再运用平方差公式进行分解即可；（2）运用乘法公式进行分组分解法分解因式即可．【详解】（1）解：．（2）解：，因式分解为：，，，，即，∴是等腰三角形．19．（本题满分6分）如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成正方形．(1)观察图2，试猜想式子，，mn之间的数量关系，并证明你的结论；(2)根据（1）中的数量关系，解决问题：已知，，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由组合图形求面积，在图1，图2中，分别求出4个小长方形面积之和，得出结论；（2）由（1）知，，将已知代数式代入求解．．【详解】（1）解：关系：；由图1，4个小长方形面积之和，由图2，4个小长方形面积之和，∴．（2）解：由（1）知，，∴．∴．20．（本题满分8分）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到，请解答下列问题：(1)写出图2中所表示的数学等式___________．(2)根据整式乘法的运算法则，通过计算验证上述等式．(3)利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若，，则___________．(4)小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为长方形，求的值．【答案】(1)(2)见详解(3)(4)【分析】（1）根据大正方形的面积等于3个正方形和6个长方形的面积即可求解；（2）根据题意，利用多项式乘以多项式进行计算即可求解；（3）依据，进行计算即可；（4）由题可知，所拼图形的面积为:，利用整式的乘法计算，即可求解．【详解】（1）解:大正方形的面积为：；图中3个小正方形和6个长方形的面积之和为：，根据面积不变，有：，故答案为：；（2）证明：；（3）解：∵，，又∵，∴；故答案为：；（4）解：由题可知，所拼图形的面积为：，∵，∴，，，∴，故答案为：．21．（本题满分10分）阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值，最小值等．例分解因式：；又例如：求代数式的最小值：；又；当时，有最小值，最小值是．根据阅读材料，利用“配方法”，解决下列问题：(1)分解因式：___________；(2)已知的三边长、、都是正整数，且满足求边长的最小值；(3)当、为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值．【答案】(1)(2)5(3)时，最大值为16．【分析】（1）根据阅读材料，先将变形为，再根据完全平方公式写成，然后利用平方差公式分解即可；（2）根据配方法得出两个完全平方式，再根据两个非负数的和为0时，每一部分为0可得a，b的值，最后根据三角形三边的关系，可得c的取值范围和最小值；（3）根据题目中的例子，先将所求式子配方，再根据完全平方式的非负性即可得到当x、y为何值时，所求式子取得最大值，并求出这个最大值；【详解】（1）解：原式=；故答案为：（2），，，解得：，、、是的三边长，，又是整数，；边长的最小值是5；（3），，；，当时,即时，取得最大值为16．22．（本题满分10分）已知：在平面直角坐标系中，，，且a，b满足，点C在x轴正半轴，．动点P从点B出发，以1个单位长度/秒的速度沿x轴向点C运动，运动到点C停止，设点P的运动时间为t秒，连接，过点C作的垂线交射线于点交M，交y轴于N．(1)点A的坐标为__________，点B的坐标为__________．(2)当点P在线段上时，如图②所示，求线段的长度（用含t的式子表示）．(3)若，则t的值为__________．(4)若，是否存在以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)，(2)；(3)1或9(4)点P的坐标为或．【分析】（1）根据非负数的性质可得和的值，确定点和的坐标；（2）