第二十五章 锐角的三角比（8个知识归纳+14类题型突破）（原卷版）

第二十五章锐角的三角比（8个知识归纳+14类题型突破）1.掌握正弦、余弦、正切概念；2.掌握特殊角的三角函数值；3.掌握解直角三角形的应用；知识点1．正切与余切1.正切直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切（tangent）．锐角A的正切记作tanA．．2.余切直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫做这个锐角的余切（cotangent）．锐角A的余切记作cotA．．aacABCb知识点2．正弦与余弦1.正弦直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比叫做这个锐角的正弦（sine）．锐角A的正弦记作sinA．．2.余弦直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫做这个锐角的余弦（cosine）．锐角A的余弦记作cosA．．aacABCb知识点3．特殊锐角三角比的值1.特殊锐角的三角比的值30°45°1160°3.通过观察上面的表格，可以总结出：当090，的正弦值随着角度的增大而增大，的余弦值随着角度的增大而减小；的正切值随着角度的增大而增大，的余切值随着角度的增大而减小．知识点4．解直角三角形（1）解直角三角形的定义在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．（2）解直角三角形要用到的关系①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；②三边之间的关系：a2+b2＝c2；③边角之间的关系：sinA=∠A的对边斜边=ac，cos（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）知识点5．解直角三角形的应用——仰角、俯角问题（1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角；视线在水平线下方的角叫俯角；知识点6．解直角三角形的应用——方位角问题（1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数．（2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角．知识点7．解直角三角形的应用—:坡度、坡角问题（1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式．（2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα．（3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．应用领域：①测量领域；②航空领域③航海领域：④工程领域等．知识点8．解直角三角形的综合应用（1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问．如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度．（2）解直角三角形的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．题型一正弦的概念与计算1．（2023秋·上海普陀·九年级校考期中）在中，，那么的值是（

）A．2 B． C． D．2．（2023·上海·九年级假期作业）如图，已知在中，，，垂足为点，那么下列线段的比值不一定等于的是（）A． B． C． D．巩固训练：1．（2023秋·黑龙江大庆·九年级校联考阶段练习）在中，，，，则的值是（

）A． B． C． D．2．（2023秋·山东聊城·九年级校联考阶段练习）在中，，，，则的值为．3．（2021秋·河北邢台·八年级统考期中）如图所示，在中，，，且，求：

(1)的值；(2)的周长及面积．题型二余弦的概念与计算1．（2020秋·上海嘉定·九年级统考期中）如图，的顶点在网格图的格点上，的值为（

）

A． B． C． D．2．（2023·上海杨浦·统考一模）已知点在平面直角坐标系中，射线与x轴正半轴的夹角为α，那么的值为（）A． B．2 C． D．巩固训练1．（2023秋·河北石家庄·九年级石家庄市第二十七中学校考期中）如图，在中，，，，则等于（

）

A． B． C． D．2．（2023秋·上海青浦·九年级校考阶段练习）在中，，，，则的余弦值为.3．（2023秋·江西吉安·九年级统考期末）在中，，，．(1)求的长；(2)求，的值．题型三正切的概念与计算1．（2023·上海·九年级假期作业）在平面直角坐标系中，已知点与原点O的连线与x轴的正半轴的夹角为，那么的值是()A．2 B． C． D．2．（2023·上海·一模）在直角坐标平面内，如果点，点与原点的连线与轴正半轴的夹角是，那么的值是（

）A．4 B． C． D．巩固训练1．（2023秋·辽宁沈阳·九年级东北育才双语学校校考阶段练习）在中，，，则下列式子成立的是（

）A． B． C． D．2．（2023秋·黑龙江大庆·九年级校联考期中）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点、、、都在这些小正方形的顶点上，、相交于点，则t的值是．

3．（2023·上海·九年级假期作业）如图，在中，，，垂足为点Q．

(1)．(2)______，______．（用正切或余切表示）题型四特殊角的三角函数值1．（2023·上海·九年级假期作业）的值等于(

)A． B． C． D．12．（2021·上海·九年级专题练习）在平面直角坐标系内P点的坐标是，则P点关于y轴对称点的坐标为（

）A． B． C． D．巩固训练1．（2022秋·江苏苏州·九年级星海实验中学校考阶段练习）在中，，，则（

）A． B． C． D．2．（2022春·湖北武汉·九年级武汉市常青第一中学校考自主招生）计算：．3．（2022秋·云南红河·九年级统考期末）（1）计算：；（2）解方程：．题型五特殊角三角函数值的混合运算1．（2021·上海·九年级专题练习）下列计算中错误的是（

）A． B．C． D．2．（2019秋·九年级单元测试）计算的结果是（）A．2 B． C． D．1巩固训练1．（2023春·黑龙江大庆·八年级校考期中）下列计算结果是有理数的是（

）A． B． C． D．2．（2023秋·山东东营·九年级统考阶段练习）计算：．3．（2022秋·黑龙江大庆·九年级校考期末）计算：(1)；(2)．题型六根据特殊角三角函数值求角的度数1．（2022·上海·九年级专题练习）若cosα＝，则锐角α的度数是（）A．30° B．45° C．60° D．90°2．（2022·上海·九年级专题练习）已知α为锐角，若，则α的度数是(

)A．30° B．45° C．60° D．75°巩固训练1．（2023秋·山东聊城·九年级校考阶段练习）在中，若，，这个三角形一定是（

）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形2．（2022·湖北黄冈·统考模拟预测）在中，如果满足，则．3．（2023·上海·九年级假期作业）求满足下列条件的锐角：(1)；(2)．题型七利用同角三角函数关系求值1．（2022春·九年级单元测试）若，则的值是（

）A． B． C． D．2．（2022春·浙江·九年级专题练习）如图，已知是斜边边上的高，那么下列结论正确的是（

）A． B． C． D．巩固训练1．（2022秋·山东聊城·九年级临清市京华中学校考开学考试）在中，，，则值为（）A． B． C． D．2．（2023春·广东汕头·九年级校考阶段练习）在△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且有，则△ABC的形状是．3．（2019春·九年级单元测试）如图1，2，3，根据图中数据完成填空，再按要求答题：____；____；____．（1）观察上述等式，猜想：在中，∠C=90°，都有____；（2）如图4，在中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，利用三角函数的定义和勾股定理证明你的猜想；（3）已知∠A＋∠B=90°，且，求的值．题型八互余两角三角函数的关系1．（2023春·上海普陀·九年级统考期中）在中，，已知，那么的值是（

）A． B． C． D．2．（2023春·湖北襄阳·九年级统考期中）在中，，下列等式不一定成立的（）A． B．C． D．巩固训练1．（2023秋·全国·九年级专题练习）三角函数，，的大小关系是（

）A． B．C． D．2．（2022秋·江苏泰州·九年级统考期中）在中，，a、b、c分别为、、的对边，若，则的值为．3．（2023春·九年级单元测试）已知，且，求的值．题型九解直角三角形1．（2022·福建南平·统考二模）如图，将矩形ABCD放置在一组等距的平行线中，恰好四个顶点都在平行线上，已知相邻平行线间的距离为1，若，则矩形ABCD的周长可表示为（

）A． B．C． D．2．（2021春·江苏·九年级专题练习）不能判断是直角三角形的条件是（

）．A． B．C． D．巩固训练1．（2023秋·重庆沙坪坝·九年级重庆南开中学校考阶段练习）在中，，若，则（）A． B． C． D．2．（2022秋·吉林长春·九年级校考期末）在Rt△ABC中，∠C＝90，sinA＝，则sinB＝．3．（2023·全国·九年级专题练习）阅读下列材料，并完成相应的任务．初中阶段，我们所学的锐角三角函数反映了直角三角形中的边角关系（如图）：．一般地，当、为任意角时，与的值可以用下面的公式求得：；．例如：．根据上述材料内容，解决下列问题：（1）计算：_______；（2）在中，，请你求出和的长．题型十仰角俯角问题1．（2023秋·江苏常州·九年级统考期末）如图，某数学兴趣小组测量一棵树的高度，小明站在点C处测得树顶A的仰角为，若小明的测量点到地面距离，测量点与树底距离，则这棵树的高度是（

）A．6m B．m C．m D．m2．（2022秋·福建泉州·九年级统考期末）北京2022年冬奥会计划于2月4日开幕，2月20闭幕．如图，表示一条跳台滑雪赛道，在点A处测得起点B的仰角为，底端点C与顶端点B的距离为50米．则赛道的长度为（

）

A．米 B．米 C．米 D．米巩固训练1．（2023·福建泉州·统考模拟预测）如图，线段、分别表示甲、乙建筑物的高，于点，于点，两座建筑物间的距离为．若甲建筑物的高为，在点处测得点的仰角为，则乙建筑物的高约为（）（参考数据：）

A． B． C． D．2．（2022春·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，在一场马拉松比赛中，某人在大楼A处，测得起点拱门的顶部C的俯角为，底部D的俯角为，如果A处离地面的高度米，则起点拱门的高度为．（结果精确到1米；参考数据：，，）

3．（2022秋·陕西宝鸡·九年级校考期末）宝鸡市文化景观标志“天下第一灯”，将炎帝之火、青铜之光和金凤还巢诸多元素综合在一起．小明想用所学的知识来测量该灯的高度．如图所示，他在B处安装了高为1．5米的测倾器（即米），其测得灯顶端E的仰角为37°；他从点B开始沿直线BF方向走了24米（即米），在D处竖立一长为1．5米的标杆CD（即米），发现水平地面上的点P、标杆的顶端C与灯顶E恰好在一条直线上，已知，，，米，根据测量示意图求该灯的高度．（参考数据：，，）

题型十一方位角问题1．（2022秋·河南南阳·九年级南阳市第三中学校考阶段练习）如图，一艘海轮位于灯塔P的东北方向距离灯塔海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东方向上的B处，则海轮行驶的路程的值为（）

A．海里 B．海里C．海里 D．海里2．（2023春·湖北随州·九年级校联考阶段练习）如图，在一笔直的海岸线上有，两个观测站，观测站在观测站的正东方向，有一艘小船在点处，从处测得小船在北偏西方向，从处测得小船在北偏东的方向，点到点的距离是千米则，两观测站之间的距离为千米注：结果有根号的保留根号（

）

A． B． C． D．巩固训练1．（2022·河北衡水·校考模拟预测）如图，某渔船正在海上处捕鱼，先向北偏东的方向航行到处，然后右转再航行到处．在点的正南方向，点的正东方向的处有一条船，也计划驶往处，那么它的航向是()A．北偏东 B．北偏东 C．北偏东 D．北偏东2．（2023秋·江苏南通·九年级校考阶段练习）已知B港口位于A观测点北偏东方向，且其到A观测点正北风向的距离的长为，一艘货轮从B港口沿如图所示的方向航行到达C处，测得C处位于A观测点北偏东方向，则此时货轮与A观测点之间的距离的长为．

3．（2023秋·上海闵行·九年级统考期中）如图，海中有一小岛P，在以P为圆心，半径为海里的圆形海域内有暗礁．一轮船自西向东航行，它在A处测得小岛P位于北偏东方向上，且A，P之间的距离为32海里．

(1)若轮船继续向正东方向航行，轮船有无触礁危险？(2)如果轮船继续向正东方向航行有危险，轮船自A处开始改变航行方向，沿南偏东度方向航行确保安全通过这一海域，求的取值范围．题型十二坡度坡比问题1．（2023春·浙江宁波·八年级统考期中）如图，大坝横截面的迎水坡的坡比为∶，即∶∶，若坡面长度米，则坡面的水平宽度长为（

）

A． B． C． D．2．（2023春·吉林长春·九年级统考开学考试）如图，一斜坡的坡度，小明同学沿斜坡的坡面从点A向上走了100米到达点B处，则小明上升的高度为（

）

A．米 B．20米 C．米 D．米巩固训练1．（2023·广东广州·统考一模）如图是一个山坡，已知从处沿山坡前进160米到达处，垂直高度同时升高80米，那么山坡的坡度为（）

A． B． C． D．2．（2023·湖北武汉·校考模拟预测）小华和小源利用无人机测量某座山的垂直高度．如图所示，无人机在地面上方130米的D处测得山顶A的仰角为，测得山脚C的俯角为．已知的坡度为，点A，B，C，D在同一平面内，则此山的垂直高度为米．（结果精确到0.1）（参考数据：，，，）

3．（2023秋·山东聊城·九年级聊城市实验中学校考阶段练习）如图，小明为了测量小河对岸大树的高度，他在点A测得大树顶端的仰角为，沿斜坡走米到达斜坡上点，在此处测得树顶端点的仰角为，且斜坡的坡比为，，A，在同一水平线上．

(1)求小明从点A到点的过程中，他上升的高度．(2)大树的高度约为多少米参考数据：，，题型十三三角函数的其他应用1．（2023秋·黑龙江大庆·九年级校联考阶段练习）如图，为了测量河岸，两点的距离，在与垂直的方向上取点，测得，，那么等于（

）

A． B． C． D．2．（2023秋·吉林长春·九年级校考阶段练习）西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表，如图是一个根据北京的地理位置设计的圭表，其中，立柱高为，已知，冬至时北京的正午日光入射角约为，则立柱根部与圭表的冬至线的距离（即的长）约为（

）

A． B． C． D．巩固训练1．（2023秋·河北保定·九年级校考阶段练习）马路边上有一棵树，树底距离护路坡的底端有3米，斜坡的坡角为60度，小明发现，下午2点时太阳光下该树的影子恰好为，同时刻1米长的竹竿影长为0.5米，下午4点时又发现该树的部分影子落在斜坡上的处，且，如图所示，线段的长度为（

）

A． B． C． D．2．（2023·江苏盐城·统考中考真题）如图1，位于市区的“铁军”雕塑“大铜马”是盐城市标志性文化名片，如图2，线段表示“铁军”雕塑的高，点，，在同一条直线上，且，，，则线段的长约为m