2022-2023学年甘肃省武威市凉州区高二下学期期中考试数学试题（解析版）

高级中学精品试卷PAGEPAGE1甘肃省武威市凉州区2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题总分：150分时间：120分钟一、单选题（每小题5分，共40分）1．函数在区间上的平均变化率是（

）A． B． C． D．2．已知点，则点A关于原点的对称点的坐标为（

）A． B． C． D．3．函数在点处切线的斜率为(

)A． B． C． D．4．空间两点，之间的距离为（

）A． B． C． D．5．给出下列五个导数式：①；②；③；④；⑤.其中正确的导数式共有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个6．在空间，已知，为单位向量，且，若，，，则实数k的值为（

）A．－6B．6 C．3 D．－37．如图，在四面体OABC中，，且，则（

）A． B． C． D．8．函数在定义域内可导，其图象如图所示．记的导函数为，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．二、多选题（每小题5分，共20分）9．一个质点做直线运动，其位移s（单位：m）与时间t（单位：s）满足函数关系式，则（

）A．该质点在前2秒内的平均速度为24m/sB．该质点在第1秒的瞬时速度为12m/sC．该质点在第2秒的瞬时加速度为D．该质点的瞬时加速度取得最小值时的时刻为第1秒10．已知函数，则（

）A．的极小值为2B．有三个零点C．点是曲线的对称中心D．直线是曲线的切线11．关于空间向量，以下说法正确的是（

）．A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面B．若，则是钝角C．设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底D．若对空间中任意一点，有，则四点共面12．如图，已知正方体的棱长为，、分别为棱、的中点，则下列结论正确的为（

）A． B．C． D．为平面的一个法向量三、填空题（每小题5分，共20分）13．已知向量，若，则实数________．14．已知直线的一个方向向量，平面的一个法向量，则直线与平面的位置关系是________．(填“平行”或“相交”)15．函数在点处的切线的方程为___________.16．设，则满足在上恒正的是__________.（填写序号）①；②；③；④.四、解答题（17小题10分，其余小题每小题12分，共60分）17．（10分）在中，已知，，且，，求，.

18．（12分）已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程．（2）求在区间上的最大值和最小值．19．（12分）已知正方体的棱长为1，如图以为原点，为单位正交基底，建立空间直角坐标系.分别是的中点.（1）求直线的一个方向向量；（2）证明：平面.20．（12分）设函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数在区间上的最小值.

21．（12分）如图，在正方体中，为棱的中点．求证：（1）平面；（2）平面平面.22．（12分）已知函数.（1）若曲线在x＝1处的切线与直线2x－y＋3＝0平行，求a的值；（2）求函数的单调区间．

▁▃▅▇█参*考*答*案█▇▅▃▁一、单选题1．B〖解析〗因为，所以，所以在区间上的平均变化率.故选：B.2．D〖解析〗因为点，所以点A关于原点的对称点的坐标为，故选：D.3．D〖解析〗由题设，则，所以处切线的斜率为2.故选：D.4．B〖解析〗.故选：B.5．A〖解析〗由，①正确；由，②错误；由，③正确；由，④错误；由，⑤错误；正确的共有2个.故选：A6．B〖解析〗由题意可得，，，所以，即2k－12＝0，得k＝6.故选：B.7．D〖解析〗因为，所以，又，所以．故选：D.8．A〖解析〗由题意，知的解集即的单调递减区间，故的解集为．故选：A．二、多选题9．BCD〖解析〗因为该质点在前2秒内的位移为，该质点在前2秒内的平均速度为12m/s，A错误．因为，所以该质点在第1秒的瞬时速度为，B正确．设，则，所以，即第2秒的瞬时加速度为，C正确；当时取得最小值，D正确．故选：BCD.10．CD〖解析〗，，令，解得：或，时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增；∴的极小值为：，的极大值为：，有两个零点，的极小值为0，故A错误、B错误；对C，若点是曲线的对称中心，则有，将函数代入上式验证得：，故C正确；对于D，，解得：，当时，，切线方程为：，即，故D正确.故选：.11．AC〖解析〗选项A，空间中的三个向量，若有两个向量共线，由于空间任意两个向量一定共面，因此这三个向量一定共面，正确；选项B，若，则是钝角或者，错误；选项C，设是空间中的一组基底，则不共面，可得向量也不共面，所以也是空间的一组基底，正确；选项D，对空间中任意一点，有，，四点不共面，错误；故选：AC.12．BC〖解析〗以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、、、、、、、.对于A选项，，，则，A错；对于B选项，，，则，B对；对于C选项，，故，C对；对于D选项，，故不是平面的一个法向量，D错.故选：BC.三、填空题13．〖解析〗因为向量，且，所以，解得：.故〖答案〗为：.14．相交〖解析〗因为，，所以，从而直线与平面不平行且，故直线与平面相交.故〖答案〗为：相交.15．〖解析〗，，，所以在点处的切线的方程为：，整理得：.故〖答案〗为：.16．①③〖解析〗对①：，则，故在上恒成立，①成立；对②：，则，故在上恒成立，在上恒成立，②不成立；对③：，则，故在上恒成立，③成立；对④：由，解得，故的定义域为，则，故在上恒成立，④不成立；故〖答案〗为：①③.四、解答题17．解：在中，，，且，，所以，，，故，则，，则.18．解：（1）由已知，则，所以曲线在点处的切线方程为，即；（2）令，得或，令，得，所以在上单调递减，在上单调递增，又，，，所以在区间上的最大值为，最小值为.19．（1）解：，因此,则直线的一个方向向量为，（2）证明：平面，平面,则，又因为,,平面,故平面，因此取平面的法向量为，由于则，而平面，因此//平面.20．解：（1）函数，求导得：，则有，而，于是得，即，所以曲线在点处的切线方程是.（2）函数，求导得：，当时，，当时，，即函数在上单调递减，在上单调递增，所以当时，.21．证明：（1）以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则，，，，，，所以，，，，设平面的法向量，则，取，得．因为，所以，所以平面；（2）设平面AEC的法向量，则，取，得，，平面平面.22．解：（1）直线2x－y＋3＝0的斜率为，因为，所以由导数的几何意义知，，所以，解得：.（2）的定义域为，，当时，，则在上单调递增，当时，令，解得：，令，得；令，得，所以在上单调递增，在上单调递减.综上所述，当时，则单调递增区间为；当时，单调递增区间为，单调递减区间为.甘肃省武威市凉州区2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题总分：150分时间：120分钟一、单选题（每小题5分，共40分）1．函数在区间上的平均变化率是（

）A． B． C． D．2．已知点，则点A关于原点的对称点的坐标为（

）A． B． C． D．3．函数在点处切线的斜率为(

)A． B． C． D．4．空间两点，之间的距离为（

）A． B． C． D．5．给出下列五个导数式：①；②；③；④；⑤.其中正确的导数式共有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个6．在空间，已知，为单位向量，且，若，，，则实数k的值为（

）A．－6B．6 C．3 D．－37．如图，在四面体OABC中，，且，则（

）A． B． C． D．8．函数在定义域内可导，其图象如图所示．记的导函数为，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．二、多选题（每小题5分，共20分）9．一个质点做直线运动，其位移s（单位：m）与时间t（单位：s）满足函数关系式，则（

）A．该质点在前2秒内的平均速度为24m/sB．该质点在第1秒的瞬时速度为12m/sC．该质点在第2秒的瞬时加速度为D．该质点的瞬时加速度取得最小值时的时刻为第1秒10．已知函数，则（

）A．的极小值为2B．有三个零点C．点是曲线的对称中心D．直线是曲线的切线11．关于空间向量，以下说法正确的是（

）．A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面B．若，则是钝角C．设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底D．若对空间中任意一点，有，则四点共面12．如图，已知正方体的棱长为，、分别为棱、的中点，则下列结论正确的为（

）A． B．C． D．为平面的一个法向量三、填空题（每小题5分，共20分）13．已知向量，若，则实数________．14．已知直线的一个方向向量，平面的一个法向量，则直线与平面的位置关系是________．(填“平行”或“相交”)15．函数在点处的切线的方程为___________.16．设，则满足在上恒正的是__________.（填写序号）①；②；③；④.四、解答题（17小题10分，其余小题每小题12分，共60分）17．（10分）在中，已知，，且，，求，.

18．（12分）已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程．（2）求在区间上的最大值和最小值．19．（12分）已知正方体的棱长为1，如图以为原点，为单位正交基底，建立空间直角坐标系.分别是的中点.（1）求直线的一个方向向量；（2）证明：平面.20．（12分）设函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数在区间上的最小值.

21．（12分）如图，在正方体中，为棱的中点．求证：（1）平面；（2）平面平面.22．（12分）已知函数.（1）若曲线在x＝1处的切线与直线2x－y＋3＝0平行，求a的值；（2）求函数的单调区间．

▁▃▅▇█参*考*答*案█▇▅▃▁一、单选题1．B〖解析〗因为，所以，所以在区间上的平均变化率.故选：B.2．D〖解析〗因为点，所以点A关于原点的对称点的坐标为，故选：D.3．D〖解析〗由题设，则，所以处切线的斜率为2.故选：D.4．B〖解析〗.故选：B.5．A〖解析〗由，①正确；由，②错误；由，③正确；由，④错误；由，⑤错误；正确的共有2个.故选：A6．B〖解析〗由题意可得，，，所以，即2k－12＝0，得k＝6.故选：B.7．D〖解析〗因为，所以，又，所以．故选：D.8．A〖解析〗由题意，知的解集即的单调递减区间，故的解集为．故选：A．二、多选题9．BCD〖解析〗因为该质点在前2秒内的位移为，该质点在前2秒内的平均速度为12m/s，A错误．因为，所以该质点在第1秒的瞬时速度为，B正确．设，则，所以，即第2秒的瞬时加速度为，C正确；当时取得最小值，D正确．故选：BCD.10．CD〖解析〗，，令，解得：或，时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增；∴的极小值为：，的极大值为：，有两个零点，的极小值为0，故A错误、B错误；对C，若点是曲线的对称中心，则有，将函数代入上式验证得：，故C正确；对于D，，解得：，当时，，切线方程为：，即，故D正确.故选：.11．AC〖解析〗选项A，空间中的三个向量，若有两个向量共线，由于空间任意两个向量一定共面，因此这三个向量一定共面，正确；选项B，若，则是钝角或者，错误；选项C，设是空间中的一组基底，则不共面，可得向量也不共面，所以也是空间的一组基底，正确；选项D，对空间中任意一点，有，，四点不共面，错误；故选：AC.12．BC〖解析〗以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、、、、、、、.对于A选项，，，则，A错；对于B选项，，，则，B对；对于C选项，，故，C对；对于D选项，，故不是平面的一个法向量，D错.故选：BC.三、填空题13．〖解析〗因为向量，且，所以，解得：.故〖答案〗为：.14．相交〖解析〗因为，，所以，从而直线与平面不平行且，故直线与平面相交.故〖答案〗为：相交.15．〖解析〗，，，所以在点处的切线的方程为：，整理得：.故〖答案〗为：.16．①③〖解析〗对①：，则，故在上恒成立，①成立；对②：，则，故在上恒成立，在上恒成立，②不成立；对③：，则，故在上恒成立，③成立；对④：由，解得，故的定义域为，则，故在上恒成立，④不成立；故〖答案〗为：①③.四、解答题17．解：在中，，，且，，所以，，，故，则，，则.18．解：（1）由已知，则，所以曲线在点处的切线方程为，即；（2）令，得或，令，得，所以在上单调递减，在上单调递增，又，，，所以在区间上的最大值为，最小值为.19．（1）解：，因此,则直线的一个方向向量为，（2）证明：平面，平面,则，又因为,,平面,故平面，因此取平面的法向量为，由于则，而平面，因此//平面.20．解：（1）函数，求导得：，则有，而，于是得，即，所以曲线在点处的切